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文档简介

专项培优①章末复习课考点一空间向量的概念及运算(1)空间向量可以看作是平面对量的推广,有很多概念和运算与平面对量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加减法的三角形法则和平行四边形法则,数乘运算与向量共线的推断、数量积运算、夹角公式、求模公式等.(2)通过对空间向量的概念及运算的学习,提升学生的数学运算素养.例1(1)如图,空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,则MN=()A.-23a+12b+12cB.12a-2C.12a+12b-12cD.23a+2(2)正四面体ABCD的棱长为2,点E,F分别为棱BC,AD的中点,则EF·BA的值为()A.4B.-4C.-2D.2考点二利用空间向量证明线面位置关系(1)用空间向量推断空间中位置关系的类型有:线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直;推断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量,利用向量的共线和垂直进行证明.(2)通过对用空间向量证明直线、平面的平行与垂直的驾驭,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.例2如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=2,CE=EF=1.求证:(1)AF∥平面BDE;(2)CF⊥平面BDE.考点三利用空间向量计算距离(1)空间距离的计算思路直线l外一点P到直线l的距离:PQ=AP2-AQ2=a2-a·u2(其中A是l上的定点,AQ是AP在平面α外一点P到平面α的距离:PQ=AP·nn=AP·nn=AP·nn(2)通过对利用空间向量计算距离的学习,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.例3长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,M是A1C1的中点,P在线段BC上,且|CP|=2,Q是DD1的中点,求:(1)M到直线PQ的距离;(2)M到平面AB1P的距离.考点四利用空间向量求空间角1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2的夹角θ满意cosθ=|cos〈m1,m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α的夹角θ满意sinθ=|cos〈m,n〉|.(3)设n1,n2分别是两个平面α,β的法向量,则两平面α,β夹角θ满意cosθ=|cos〈m,n〉|.2.通过对利用向量计算空间角的学习,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.例4如图,在四棱锥P­ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是梯形,AD∥BC,CD⊥PB,PD=AD=AB=12BC(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为30°,点E在线段AP上,且PA=3PE,求平面PBD与平面BDE夹角的余弦值.考点五利用空间向量解决探究性问题(1)对于存在推断型问题的求解,应先假设存在,把要成立的结论当条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解或是否有规定范围内的解”等.(2)对于位置探究型问题,通常借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式,解出参数.(3)通过对利用空间向量解决探究性问题的学习,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.例5在四棱锥P­ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.(1)求证:BM∥平面PAD;(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存在,确定N的位置;若不存在,请说明理由.例6如图,在四棱锥S­ABCD中,四边形ABCD是矩形,△SAD是等边三角形,平面SAD⊥平面ABCD,AB=1,E为棱SA上一点,P为棱AD的中点,四棱锥S­ABCD的体积为23(1)若E为棱SA的中点,F是SB的中点,求直线BC与平面PEF所成的角的大小;(2)是否存在点E,使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为235?若存在,确定点章末复习课考点聚焦·分类突破例1解析:(1)MN=MA+AB+BN=13OA+OB-OA+12BC=-23OA+OB+12OC-12OB=-(2)∵EF=EA+AB+∴EF·BA=12DA+AB+12BC·BA=12×22×cos60°-22+12×2答案:(1)A(2)C例2解析:(1)证明:设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=12AC所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG,因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz,则C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),F所以CF=22,22,1,BE=(0,-2,1),DE=(-2,0,1).所以所以CF⊥BE,CF⊥DE.又BE∩DE=E,所以CF⊥平面BDE例3解析:如图,建立空间直角坐标系Bxyz,则A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2),B1(0,0,4).(1)∵QM=(-2,-3,2),QP=-4∴QM在QP上的射影的模为QM·QPQP=8+6∴M到直线PQ的距离为QM2-566(2)设平面AB1P的法向量n=(x,y,z),则n⊥AB1,∵AB1=(-4,0,4),∴n·AB1=-4x+4z=0∴n=(1,1,1),又MA=(2,-3,-4),∴M到平面AB1P的距离d=MA·nn=2例4解析:(1)证明:取BC中点F,连接DF.∵AD∥BF,且AD=BF,∴四边形ABFD为平行四边形.则DF=AB=12BC,于是CD⊥BD又∵CD⊥PB,PB∩BD=B,∴CD⊥平面PBD又∵PD⊂平面PBD,∴CD⊥PD.又∵平面PCD⊥平面ABCD且交线为CD,∴PD⊥平面ABCD.(2)∵PD⊥平面ABCD.∴∠PCD即为直线PC与平面ABCD所成的角,∴∠PCD=30°.又PD=2,∴CD=AF=23,BD=2.以DB,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),B(2,0,0),A(1,-3,0),P(0,0,2).PA=(1,-3,-2),DB=(2,0,0),DP=(0,0,2).∵PA=3PE,∴DE=DP+13PA=(0,0,2)+13设平面BDE的法向量n=(x,y,z),由DB·n=0,DE·n由(1)可知,DC⊥平面PBD,∴平面PBD的法向量DC=(0,23,0)∴cos〈DC,n〉=DC·nDCn=∴平面PBD与平面BDE夹角的余弦值为419例5解析:如图,以A为原点,以AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1).(1)证明:∵BM=(0,1,1),平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0),∴BM·n=0,即BM⊥n,又BM⊄平面PAD,∴BM∥平面PAD.(2)BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2),假设平面PAD内存在一点N,使MN⊥平面PBD.设N(0,y,z),则MN=(-1,y-1,z-1),从而MN⊥BD,MN⊥PB,∴MN·BD∴y=12,z=∴在平面PAD内存在一点N0,12,1例6解析:(1)取BC的中点Q,连接PQ,则PQ∥AB,PQ⊥AD,因为△SAD是等边三角形,P为棱AD的中点,所以SP⊥AD,因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SP⊂平面SAD,所以SP⊥平面ABCD,又PQ⊂平面ABCD,所以SP⊥PQ,则VS­ABCD=13SP·AD·AB=36AD2=233,所以AD=2,则如图,以点P为原点建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),C(-1,1,0),E12,0,CB=(2,0,0),EF=0,12设平面PEF的法向量n=(x,y,z),直线BC与平面PEF所成的角为θ,θ∈0,则有n·EF=12所以sinθ=|cos〈n,CB〉|=232×所以直线BC与平面PEF所成的角的大小为π3(2)假设存在,设SE=λSA,λ∈[0,1],B(1,1,0),Q(0,1,0),A(1,0,0),S(0,0,3),由(1)得PQ⊥AD,SP⊥PQ,因为SP∩AD=P,所以PQ⊥平面SAD则PQ=(0,1,

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