初中数学复习几何模型专题讲解16-三角形内外角平分线的交角

1/43初中数学复习几何模型专题讲解专题16三角形内外角平分线的交角一、填空题1．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记，，则以下结论①，②，③，④，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判断．【详解】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE＝（∠ACD−∠ABC）＝∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝180°−（∠ABC＋∠ACB）＝180°−（180°−∠1）＝90°＋∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠OCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．2．如图，在△中，，如果与的平分线交于点，那么＝_________度．【答案】125【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，进而可求的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案．【详解】，．∵BD平分，CD平分，，．故答案为：125．【点睛】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键．3．（2018育才单元考）如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得（1）若，则_______，________，________（2）若，则________．【答案】40°20°10°【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，进而可求∠A2和∠A3；（2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，…，以此类推可知∠A2015即可求得．【详解】解：（1）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC∵和的角平分线交于点，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=40°同理可证：∠A2=∠A1=20°，∠A3=∠A2=10°故答案为：40°；20°；10°．（2）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC∵和的角平分线交于点，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=°同理可证：∠A2=∠A1=°，∠A3=∠A2=°∴∠A2015=°故答案为：°．【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并依此找出规律．4．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．【答案】15°【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．【详解】解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，

∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=∠E=×30°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．二、解答题5．（1）如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+∠A．（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠A=180°−2∠D，理由见解析；②∠A=2∠D，理由见解析【分析】（1）首先利用角平分线性质得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°，据此进一步加以变形求证即可；（2）①首先理由角平分线性质得出∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A−2(∠DBC+∠DCB)=-180°，据此进一步加以分析证明即可；②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D，然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可.【详解】（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−(180°−∠A)=180°−90°+∠A=90°+∠A，即：∠D=90°+∠A；（2）①∠A=180°−2∠D，理由如下：∵BD，CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，∴∠EBC=2∠DBC，∠FCB=2∠DCB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC=180°−(∠A+∠ACB)=180°−2∠DBC，∠ACB=180°−(∠A+∠ABC)=180°−2∠DCB，∴∠A+180°−2∠DBC+180°−2∠DCB=180°，∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=−180°，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠DBC+∠DCB=180°−∠D，∴∠A−2(∠DBC+∠DCB)=∠A−2(180°−∠D)=−180°，即：∠A−360°+2∠D=−180°，∴2∠D=180°−∠A，即：∠A=180°−2∠D；②∠A=2∠D，理由如下：∵∠DCE是△ABC的一个外角，∴∠DCE=∠DBC+∠D，∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴2∠DBC=∠ABC，2∠DCE=∠ACE，∵∠A+∠ABC=∠ACE，∴∠A+2∠DBC=2∠DCE，∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，∴∠A=2∠D.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.6．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为．（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．【答案】（1）2；（2）22.5°＜α＜30°；（3）45°或36°【分析】（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．【详解】解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC为2倍角三角形，故答案为：2；（2）∵最小内角为α，∴3倍角为3α，由题意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．故答案为22.5°＜α＜30°．（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴∠E＝×90°或×90°，∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠E＝∠ABO，∴∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解题的基础和关键．7．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．求∠BDC的大小（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，求∠BFC的大小（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．【答案】（1）∠BDC＝90°+；（2）∠BFC＝；（3）∠BMC＝90°+．【分析】（1）由三角形内角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分线的性质可求∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，由三角形的内角和定理可求解；（2）由角平分线的性质可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，由三角形的外角性质可求解；（3）由折叠的性质可得∠G＝∠BFC＝，方法同（1）可求∠BMC＝90°+，即可求解.【详解】解：（1）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，∴∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+；（2）∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC，∴∠BFC＝∠A＝；（3）∵∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M，∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+，∵将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∴∠G＝∠BFC＝，∴∠BMC＝90°+.【点睛】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质定理，折叠的性质.8．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，斜边AB与y轴交于点C．（1）若，求证：；（2）如图（2），延长AB，交x轴于点E，过点O作，且，求度数；（3）如图（3），OF平分，的平分线交FO的延长线于点P，当绕O点旋转时，斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C，在（2）的条件下，试问的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）的度数不变，．【分析】（1）易证∠B与∠BOC分别是∠A与∠AOC的余角，等角的余角相等，就可以证出；（2）易证∠DOB＋∠EOB＋∠OEA＝90°，且∠DOB＝∠EOB＝∠OEA就可以得到；（3）∠P＝180°−（∠PCO＋∠FOM＋90°）根据角平分线的定义，就可以求出．【详解】（1）是直角三角形，．，．（2），，即．，，；（3）的度数不变，．，．，OF平分，CP平分，，．．由（2）知，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和直角三角形的性质，关键是根据三角形的内角和和角平分线的定义解答．9．如图1，△ABC的外角平分线交于点F．（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为；（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【答案】（1）70°（2）（3）①见解析②不成立；或【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系．【详解】解：（1）如图1，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°；（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，故答案为：α+β﹣∠A＝90°；（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．分两种情况：如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α﹣∠A＝90°；如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β﹣∠A＝90°；综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．【点睛】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图．10．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．【答案】（1）130°；（2）；（3）60°或120°或45°或135°【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．【详解】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．11．如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数【答案】40°【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．【详解】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，

则有，

①-2×②可得∠A=2∠E，

∴∠E=∠A=40°．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．12．如图，AC∥DE，BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D，∠A的度数．【答案】【分析】根据BD平分∠ABC，∠ABC=70°得出,再根据得出,从而计算．【详解】∵根据BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°∴又∵∴∴∴综上所述：【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，转化相关的角度是解题关键．13．如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；（2）如图（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．【答案】（1）见解析；（2）∠E+∠F＝108°，证明见解析；（3）不变，是定值，值为15°【分析】（1）依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到∠P＝180°﹣90°＝90°，进而得到AP⊥CP；（2）过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，依据平行线的性质即可得到∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，再根据∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，即可得到∠E＋∠F＝108°；（3）过Q作QE∥AB，依据平行线的性质可得∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，依据∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，即可得出∠AQC＝30°，再根据∠M＝∠MQH﹣∠K进行计算，即可得出∠QMK的大小不变，是定值15°．【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，∴∠CAP∠CAB，∠ACP∠ACD，∴∠CAP＋∠ACP（∠BAC＋∠ACD）180°＝90°，∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；（2）∠E＋∠F＝108°．证明：如图2，过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC＋∠DCA＝180°，∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，∵∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，∴∠BAE∠BAC，∠DCF∠DCA，∴∠AEC∠BAC∠ACD，∠AFC∠BAC∠DCA，∴∠AEC＋∠AFC∠BAC∠ACD∠BAC∠DCA∠ACD∠BAC（∠BAC＋∠DCA）180°＝108°；（3）如图，过Q作QE∥AB，∵AB∥CD，QE∥CD，∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，∴∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，由（1）可得∠BAP＋∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，∴∠AQC＝∠BAQ＋∠DCQ∠BAP∠DCP（∠BAP＋∠DCP）＝30°，∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，∴∠K∠AQH，∵QM是∠CQH的平分线，∴∠MQH∠CQH，∵∠MQH是△MQK的外角，∴∠M＝∠MQH﹣∠K∠CQH∠AQH（∠CQH﹣∠AQH）∠AQC30°＝15°，即∠QMK的大小不变，是定值15°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角性质以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是过拐点作平行线．14．（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，，则_________．（3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；（2）根据以及和分别平分和，算出和,从而算出【详解】如图边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为∴又∵∴∵在四边形中，内角和为∴（2）∵和分别平分和∴又∵∴∴∴（3）如图：连接AC∵，∴∴又∵和分别平分和∴∴∴【点睛】三角形的内角和定理以及角平分线的定义是解决本题的关键．15．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【详解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【点睛】此题也是属于规律的题型，但也涉及到已经学过的知识，读懂题目是关键，融合已学知识，进行运用.16．中，．（1）如图①，若点是与平分线的交点，求的度数；（2）如图②，若点是与平分线的交点，求的度数；（3）如图③，若点是与平分线的交点，求的度数；（4）若.请直接写出图①，②，③中的度数，(用含的代数式表示)【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分别为：①；②；③【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P的度数；

（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB=（∠CBD+∠BCE）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P=∠A，即可得出结果；

（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．【详解】解:（1），，点是与平分线的交点，，，，；（2），，点是与平分线的交点，，；（3）点是与平分线的交点，，，，，，；（4）若，在（1）中，；在（2）中，同理得：；在（3）中，同理得：．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、三角形的外角性质、邻补角关系等知识点；熟练掌握三角形内角和定理，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．17．（1）如图1所示，在中，和的平分线将于点O，则有，请说明理由．（2）如图2所示，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与之间的关系，不必说明理由．（3）如图3所示，AP，BP分别平分，，则有，请说明理由．（4）如图4所示，AP，BP分别平分，，请直接写出与，之间的关系，不必说明理由．【答案】(1)理由见解析；(2)∠BAC=2∠BOC；(3)理由见解析；(4)【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；(3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果；(4)AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=∴∠BOC=(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD∵∠BAC+∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC=∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC=∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C∴(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y∴x+y=∴∴【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．18．如图1