江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高三下学期数学1月联考试卷

江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高三下学期数学1月联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={x|xA．3 B．4 C．8 D．162．(1+1x2A．15 B．20 C．30 D．403．已知向量a=(3，1)，b=(1A．33 B．1 C．3 4．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）.已知某球的表面上有四个点A、B、C、D，满足BA，BC，BD两两垂直且BA=BC=BD=2cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由该球的内部挖去由ABCD组成的四面体后剩余的部分，打印所用原料密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（参考数据：取π≈3.A．17.7g B．18.4g C．19.1g D．20.4g5．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为AA．3−52 B．12 C．56．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2A．128 B．64 C．32 D．167．已知tanα=3tan(α+A．−1 B．−32 C．128．已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时有f(x+1)=−f(x)，且x∈[0，1)时，f(x)=2x−1，若a=f(A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a二、多选题9．某社区通过公益讲座以普及社区居民的传染病预防知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份传染病预防知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%C．讲座后问卷答题的正确率的70百分位数是90%D．讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差10．寒假期间，甲，乙，丙，丁，戊共5位同学被安排到A，B，C，D四个小区参加社会实践活动，要求每个小区至少安排一位同学，且每位同学只能到一个小区参加实践活动，则下列结论正确的是（）A．不同的安排方法共有240种B．甲同学被安排到A小区的概率是1C．甲乙两位同学被安排在同一小区的概率为1D．在甲同学被安排到A小区的前提下，A小区有两位同学的概率是211．已知函数f(x)=xA．点(0，1)是曲线B．当a>0时，函数f(x)有两个极值点C．当a>1时，函数f(x)有三个零点D．过原点可作曲线y=f(x)的切线有且仅有两条12．已知⊙M：(x+1)2+yA．⊙M关于直线l的对称圆方程(x−1)B．若Q是⊙M上动点，则线段PQ的最大值为2C．线段AB的最小值是2D．若∠APB≥π3三、填空题13．记复数z的共轭复数为z，若z(2+i)=1−2i，则|z|=14．已知O为坐标原点，直线x=a与抛物线C：y2=2x交于A，B两点，若OA⋅OB15．设函数f(x)=sinωx−3cosωx+t(ω>0)，将y=f(x)的图像向右平移π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，ω取最小值时，若f(x)≥016．最早的数列从何而来，也许结绳记事便是人类最早跟数列打交道的朴素方式，人类所认识并应用于生活、生产的第一个数列便是自然数列现有数列{an}满足：第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，记Sn为数列{an}的前n项和.则四、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知p=(sinB，1−（1）求证：a+c=2b；（2）若C=2π3，求18．记Sn为数列{an}的前n项和，已知（1）求{a（2）设bn=an×19．如图在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=3，∠B1BC=60°（1）当B1C1=2B（2）当B1C120．2023年的春节期间，某市举办了趣味射击过关比赛.比赛时，有甲、乙两个靶，比赛规则如下：射手先向甲靶射击两次，再向乙靶射击一次，每命中甲靶一次得1分，每命中乙靶一次得4分，没有命中均得0分.现已知A射手向甲靶射击一次，命中的概率为p(0<p<1)，再向乙靶射击一次，命中的概率为23（1）当p=1（2）现规定射手总得分的数学期望超过4，比赛过关，若A射手过关，求实数p的取值范围.21．已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)（1）求双曲线E的方程；（2）过点F1作斜率为k1(k1≠0)的直线l交双曲线E于M，N两点，直线MD，ND分别交双曲线E于P，Q两点，设直线PQ的斜率为k2，问是否存在实数22．已知函数f(x)=sinx−ax，（1）若x∈[0，+∞)，（2）判断方程g(x)=e1−2x+

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】A={x|x2≤1故答案为：B

【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法和元素与集合的关系，进而得出集合A，再结合子集的定义，进而得出集合A的子集的个数。2．【答案】C【解析】【解答】(1+x)6因此所展开式x2的系数为C故答案为：C．

【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出(1+1x23．【答案】C【解析】【解答】cos⟨a，b⟩=3×1+1×0故答案为：C

【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，再结合投影向量的求解方法和向量的模求解方法，进而得出a在b上的投影向量的模。4．【答案】D【解析】【解答】由题意题设中的球可以看作是以BA，BC，模型所占体积为V=4质量为G=20.40×1=20.故答案为：D．

【分析】利用已知条件，则将球可以看作是以BA，5．【答案】C【解析】【解答】由已知F(−c，0)，B1(∵OE⊥B1F，∴kOEkB1解得e=5−12故答案为：C．

【分析】利用已知条件得出F(−c，0)，B1(0，b)6．【答案】A【解析】【解答】由S2=2a2−4即a4−a因为a2≠0，所以q2−q−2=0，解得由S2=2a2−4得a则a6故答案为：A．

【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而得出满足要求的首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式，进而得出等比数列第六项的值。7．【答案】B【解析】【解答】tanα=3tan(α+α=kπ+2πsin(2α+故答案为：B．

【分析】利用已知条件结合两角和的正切公式以及诱导公式，进而得出sin(2α+8．【答案】B【解析】【解答】f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，则函数f(x)的周期为2.因为函数f(x)在[0，1)上单调递增，所以函数f(x)在(−1，0)上单调递减，所以函数f(x)在(1，2)上单调递减.a=f(log故答案为：B

【分析】利用已知条件结合函数的周期性、函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。9．【答案】B,D【解析】【解答】讲座前问卷答题的正确率从小到大排列后第5个是70%，第6个是75%，因此其中位数是72.5%，A不符合题意；讲座后问卷答题的正确率为85%的有4个，其他的都少于4个，因此众数为85%，B符合题意；10×70%=7，讲座后问卷答题的正确率从小到大排列后第7个是90%，第8个是95%，因此70百分位数是讲座前问卷答题的正确率最小是60%，最大是95%，相差较大，总体偏差大，即标准差较大，而讲座后问卷答题的正确率最小80%，最大100%，都集中在85%至90%上下，总体偏差较小，即标准差较小，D符合题意，故答案为：BD．

【分析】利用已知条件结合中位数求解公式、众数的求解公式、百分位数求解方法、标准差的求解公式，进而求出正确的选项。10．【答案】A,B,D【解析】【解答】对A，甲、乙、丙、丁、戊共5位同学被安排到A，B，C，D四个小区参加社会实践活动，则共有C5对B，甲同学被安排到A小区，若A小区只有一个人，则有C42A33=36种安排方法，若A小区只有2个人，则有对C，甲乙两位同学被安排在同一小区，共有A44=24对D，甲同学被安排到A小区有60种安排方法，在甲同学被安排到A小区支教的前提下，A小区有两名同学的安排方法有24种，所以在甲同学被安排到A小区支教的前提下，A小区有两名同学的概率是2460故答案为：ABD

【分析】利用已知条件结合组合数和排列数求计数问题的方法、古典概型求概率公式，进而找出结论正确的选项。11．【答案】A,B【解析】【解答】A：因为f(x)+f(−x)=x3−ax+1+(−x3B：因为a>0，所以f令f'(x)>0解得x<−a3或x>a所以f(x)在(−∞，−a3)所以f(x)在x=−a3处取得极大值，在C：f(x)在x=−a3处取得极大值，在x=f(a3)=−2a3a3D：f'(x)=3x所以在点C处的切线方程为：y−(x又因为切线过点A(0，0)解得2x03即过点A(0，0)可以作曲线故答案为：AB

【分析】利用已知条件结合图形对称中心求解方法、求导的方法判断函数的单调性得出函数的极值点、零点存在性定理、求导的方法求出曲线过原点的切线方程的方法，进而找出正确的选项。12．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A：设⊙M的圆心M(−1，0)关于直线l的对称的点为则y1−0x则⊙M关于直线l的对称圆方程(x−1)2A符合题意；对于B：Q是⊙M上动点，P是直线l：则线段PQ的最小值为圆心M到直线l的距离减去圆的半径，即|−1+0−1|1无最大值，B不符合题意；对于C：根据题意分析，若线段AB最小，则点P到圆心M的距离最小，则此时的切线长为(2此时线段AB的长度的为：2×1×1C符合题意；对于D：若∠APB≥π3，则则|MP|≤|MA|则点P的轨迹长度为22D符合题意；故答案为：ACD.

【分析】设⊙M的圆心M(−1，0)关于直线l的对称的点为(x1，y1)，再结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出对称点的坐标，再结合对称圆半径相等，进而得出⊙M关于直线l的对称圆方程；利用Q是⊙M上动点，P是直线l：x+y−1=0上动点，则线段PQ的最小值为圆心13．【答案】1【解析】【解答】由条件可知z=所以z=i，|z|=1.故答案为：1

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和共轭复数的定义，进而得出复数z，再结合复数求模公式得出复数z的模。14．【答案】2【解析】【解答】显然a>0，由y2=2a得y=±2a，不妨设AOA⋅OB=a2−2a=−1故答案为：22

【分析】利用已知条件结合直线与方程联立求出交点A，B的坐标，再结合向量的坐标表示和数量积的坐标表示，进而得出a的值，再结合弦长公式得出A，B两点的距离。15．【答案】[−2【解析】【解答】f(x)=sinωx−3cosωx+t(ω>0)=2sin(ωx−π3)+t，y=f(x)的图像向右平移π个单位长度后变为y=2sin[ω(x−π)−π3]+t=2sin(ωx−ωπ−π3)+t，且与y=2sin(ωx−π3)+t重合，所以−ωπ=2kπ，ω=−2k，k∈Z故答案为：[−2

【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象变换和正弦型函数的图象求最值的方法，进而得出实数t的取值范围。16．【答案】1013；440【解析】【解答】设第一组为20，第二组为20，21，第三组为20，21，22，第k组为20，21，22，⋅⋅⋅即S==(2−1)+(=2(1−当k(k+1)2>200，即若前n项和为前k组的和，即S==(2−1)+(=2(1−由已知得2k+1−k−2=由此可知2k+1−k−3为2的整数幂，其中2k+1为2故若前n项和应再加上k+1组的部分项，设应加上k+1组的前t项时−k−3才能被消去，即−k−3+20+则t=5，k=28为等式成立的最小值，此时故S==(2−1)+(=2(1−所以229+1=2m+1则m+n的最小值为411+29=440.故答案为：1013，440.

【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法和等差数列前n项和公式得出k的值，从而得出数列的前9组共45项，再利用分组求和的方法和等比数列前n项和公式得出k≥20，若前n项和为前k组的和，再结合分组求和的方法和等比数列前n项和公式得出Sn=2(1−2k)1−2−k=2k+1−k−2，由已知得2m=2k+1−k−3，由此可知2k+1−k−3为2的整数幂，其中2k+1为2的整数幂，则−k−3应该被消去，故若前n17．【答案】（1）证明：因为p∥q，所以即sinAsinB+sinB由正弦定理可得，a+c=2b（2）解：由C=2π3，c=2b−a以及余弦定理可得即5ab−3b2=0，因为b≠0所以cosA=b2+c【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量共线的坐标表示和正弦定理，进而证出a+c=2b。

（2）利用已知条件结合余弦定理和三角形中角A的取值范围，进而结合同角三角函数基本关系式得出角A的正弦值。18．【答案】（1）解：因为nSn+1−(n+1)SS11=a1n≥2时，an=S所以an（2）解：由（1）得bnTn于是4T两式相减得−3T所以Tn【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的定义，从而判断出数列{Snn}是等差数列，公差为1，再结合等差数列的通项公式得出Sn=n2，再利用an，Sn的关系式和分类讨论的方法，进而结合检验法得出数列{a19．【答案】（1）证明：连接DF，D，F分别是CA，BA中点，则B1C1=2B1E所以DF与B1E平行且相等，DFBB1F⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，所以B1（2）解：取BC中点O，连接OB1，因为AB=AC，则OA⊥BC，BB1=BC，∠B1BC=60°，则平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1所以B1O⊥平面OA=A以OA，OC，则B(0，−1，0)，E(BD=(2设平面EBD的一个法向量是m=则m⋅BD=2x+32y=0m平面BEC的一个法向量是n=设锐二面角D−BE−C的大小为θ，则cosθ=【解析】【分析】（1）连接DF，D，F分别是CA，BA中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，则DF//BC且DF=12BC，B1C1=2B1E，则BCC1B1是平行四边形，因此B1E//BC且B1E=1BB1=BC，∠B1BC=60°，则△BB1C是正三角形，再结合正三角形三线合一，所以OB1⊥BC，进而得出OB1的长，再结合平面BCC1B

20．【答案】（1）解：记“A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数”为事件B.事件B发生包含：“射击甲靶击中两次，射击乙靶不中或命中”和“射击甲靶的两次中只击中一次，射击乙靶不击中”，所以P(（2）解：设A射手总得分为X，则X的所有可能取值为：0，P(X=0P(X=2P(X=5所以E(则当E(X)>4时，【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数的概率。

（2）设A射手总得分为X，利用已知条件得出X的所有可能取值，