福建省泉州市部分校2023届高三下学期数学1月联考试卷

福建省泉州市部分校2023届高三下学期数学1月联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={x|2x+13x≥1}A．{x|x>1} B．{x|x≤0或x>1}C．{x|0<x<1} D．{x|x<0或x>1}2．已知复数1−i是关于x的方程x2+px+q=0(p，A．4 B．5 C．22 D．3．已知椭圆x2a2+y2bA．14 B．34 C．124．设y>0，xy+2y=2，则z=4x+2y的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．45．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为（）A．f(x)C．f(x)6．等比数列{an}的公比为q(q>0)，“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，若AB⊥BC，AC=2，球O的表面积为36π，则三棱锥O−ABC的体积最大值为（）A．33 B．23 C．238．将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（）A．1880种 B．2940种 C．3740种 D．5640种二、多选题9．已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，（参考数据：①P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6827；A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分B．σ的值越大，成绩不低于100分的人数越多C．若σ=15，则这次考试分数高于120分的约有46人D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为110．已知函数f(x)=sinA．f(x)是偶函数B．f(x)在区间(−3πC．f(x)的周期为πD．f(x)的最大值为311．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x+1)=1，f(x+1)−g(x)=3，则（）A．g(x+2)为偶函数 B．f(x)−2为奇函数C．f(x)是以3为周期的周期函数 D．g(x)是以4为周期的周期函数12．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，M为棱AB的中点，点A．当λ=μ时，BP//平面AB．当λ=μ=12C．当λ+μ=13时，三棱锥D．当点P落在以A为球心，2为半径的球面上时，λ+μ的取值范围是[1三、填空题13．已知单位向量a，b，c满足⟨b，c⟩=⟨c，14．写出与直线y=−43x和y=015．双曲线C：x2−y2=1的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，直线PA，PB与x=16．若关于x的方程cos(x+π6)−mx+4πm3四、解答题17．已知正项等差数列{an}（1）求{a（2）求数列{2na18．口袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个，每次从口袋中取一个球，若取出的是白球，则不放回，若取出的是黑球，则放回袋中.（1）求在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率；（2）求取了3次后，取出的白球的个数的分布列及数学期望.19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcos（1）证明：B=2C；（2）求a+bc20．如图所示，在四棱锥A−BCDE中，△ABC是等边三角形，CD//BE，BD⊥CD，记平面ACD与平面ABE的交线为l.（1）证明：l//CD.（2）若AD=BE=2CD=2，21．已知F为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，M(−4，（1）求p；（2）若点P在直线x+y+3=0上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求|AF||BF|的最小值.22．已知函数f(x)=x（1）求f(x)的图象在x=1处的切线方程；（2）已知a>0，对∀x∈(1，+∞)，

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】2x+13x≥1⇒1−x则A={x|0<x≤1}，则∁RA={x|x≤0或故答案为：B

【分析】根据分式不等式的解法，先求得集合A={x|0<x≤1}，再结合集合补集的概念与运算，即可求解.2．【答案】C【解析】【解答】由题意可得(1−i)2即1−2i+i所以p+q−(p+2)i=0，所以p+q=0p+2=0，解得p=−2所以|p+qi|=|−2+2i|=(−2)故答案为：C

【分析】根据题意，利用复数相等列出方程组，求得p，q的值，再利用复数的模的计算公式，即可求解.3．【答案】D【解析】【解答】∵椭圆x2a2左、右两焦点分别为F1，F若△AF由椭圆的对称性知：b=c，又∵a可得：a=2∴e=2故答案为：D.

【分析】根据△AF1F2为直角三角形，结合椭圆的对称性，求得4．【答案】A【解析】【解答】由xy+2y=2，则y=2x+2，即由y>0，则2x+2>0，即故z=4(x+2)+4x+2−8≥8−8=0，当且仅当4(x+2)=故答案为：A.

【分析】由题意，得到y=2x+2，化简5．【答案】A【解析】【解答】对于A，f(x)的定义域为R，所以ff(π对于B，f(x)的定义域为R，所以f对于C，f(x)的定义域为R，所以f对于D，f(x)的定义域为R，所以f(−x)=由图可知，f(x)的图象关于原点对称，排除B，D，当x=π16时，故答案为：A.

【分析】根据函数的奇偶性的定义，得到选项B、D分别为偶函数，可排除B、D；根据f(π6．【答案】C【解析】【解答】由数列{an}当a2>a若a1>0，则有q>1，an+1若a1<0，则有0<q<1，an+1所以由a2>a因此“a2>a故答案为：C

【分析】由数列{an}是单调递增一定能得到a2>a1；反之，当a2>7．【答案】D【解析】【解答】设球O的半径为R，则4πR2=36π因为AB⊥BC，AC=2，所以△ABC的外接圆的半径为12所以点O到平面ABC的距离为32设AB=a，BC=b，则a2+b所以三棱锥O−ABC的体积为13故答案为：D.

【分析】设球O的半径为R，利用球的表面积公式，求得R=3，再利用求得性质求得点O到平面ABC的距离为22，设AB=a，BC=b8．【答案】B【解析】【解答】5名女老师分配到三个社区，分配的方案有1：1：对于1：1：3型，女老师的分配情况有C53A对于1：2：则将5名男老师分配去两个社区，则分配方案有0：5型、1：4型与即总分配情况为32×90=2880；综上所述，2880+60=2940.故答案为：B.

【分析】根据题意，5名女老师分配方案有1：1：9．【答案】B,D【解析】【解答】对A，根据正态分布知，数学考试成绩X的平均值为90，A不符合题意；对B，根据N(90，σ2对于C，σ=15时，P(故这次考试分数高于120分的约有20000×0.对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为C3故答案为：BD

【分析】根据正态分布的定义，得到数学考试成绩X的平均值，可判定A不符合题意；根据标准差的意义，可判定B符合题意；当σ=15时，根据P(X>120)10．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A：f(−x)对于B：当x∈(−3π2，−π)时，sin|x|=所以f(x)对于C：f(π2)=3对于D：由函数为偶函数，研究当x≥0时，当x∈[2kπ，2kπ+π](k∈N)时，f(x)=sinx+2sinx=3sin故答案为：ABD.

【分析】化简f(−x)=sin|−x|+2|sin(−x)|=sin|x|+2|sinx|=f(x)，可判定A符合题意；根据正弦函数的性质，化简得到f11．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于选项A，由f(x)+g(x+1)=1，将x换成即g(x+2)=−g(x)所以g(x+2)对于选项B，由f(x+1)−g(x)=3可得：g(x)=f(g(−x)=f(−x+1)−3，因为g(x)为偶函数，所以f(所以3+g(x)=f(x+1)3+g(x+1)=f(则f(−x)对于选项C，由B的分析可知：函数f(x)关于直线x=1则f(x+4)对于选项D，由选项A的分析可知：g(x+2)所以g(x+4)故答案为：ABD.

【分析】根据题意，化简得到f(x+1)+g(x+2)=1，进而得到g(x+2)=−g(x)−2，将x换成−x得出g(x+2)=g(−x+2)，可判定A正确；由f(x+1)−g(x)=3，得到g(x)=f(x+1)−3，将x换成−x，得到g(−x)=f(−x+1)−3，根据g(x)为偶函数，得到f(x+112．【答案】A,B,D【解析】【解答】以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、则A(1，0，0)、B(1，1，0)、C(0，D1(0，对于A选项，当λ=μ时，BP=λ所以，BP//AD1，∵BP⊄平面AD1C，AD1对于B选项，当λ=μ=12时，DP=DB+则MP=(−12所以，MP⋅D1对于C选项，设平面AD1M的法向量为m=(x，则m⋅AM=12AP=所以，点P到平面AD1M而△AD1M对于D选项，因为BP=λBB1+μBC，其中λ∈[0，∵AB⊥平面BB1C1C，BP⊂所以，BP=2−A所以，点P的轨迹是以B为圆心，半径为1的14因为BB1⊥BC，BP所以，λ2因为λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，设λ=cosθ，所以，λ+μ=cos故答案为：ABD.

【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，当λ=μ时，根据向量的运算，求得BP→=λAD1→得到BP//AD1，进而证得BP//平面AD1C，可判定A正确；当λ=μ=12时，得到BP→=(−12，0，12)和DP→=(12，113．【答案】6【解析】【解答】|a由a，b，c为单位向量，则|a|=|b|=|c由⟨b，c⟩=⟨c则|a−b故答案为：6.

【分析】由|a14．【答案】(x−12)2+(y−1)2【解析】【解答】设圆心坐标为(a，由题意可得，|4a+3b|5=1|b|=1，解得a=12b=1，或所求圆的方程为(x−12)2+(y−1)2故答案为：(x−12)2+(y−1)2

【分析】设圆心坐标为(a，b)，根据题意列出方程组|4a+3b|515．【答案】3【解析】【解答】由题意A(−1，0)，B(1，0直线PA方程为y=y0x0+1直线PB方程为y=y0x0−1|MN|=|3设f(y)f'(y0<y<3时，f'(y)∴f(y)在(y=3时，f所以|MN|min故答案为：3．

【分析】设P(x0，y0)，由直线PA方程为y=y0x0+1(x+1)，求得y=16．【答案】−【解析】【解答】方程cos(x+π6)−mx+4πm而y=m(x−4π3)恒过(4π3，0①y=cos(x+π6)则−sin(x3+由诱导公式，得tan(x3②如下图，y=m(x−4π3)在两虚线之间时恰好有3个交点，且x综上，tan(故答案为：−4π

【分析】根据题意转化为y=cos(x+π17．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d所以1==所以a12=1解得a1所以an（2）解：由（1）可得2nSn=1×2Sn①−②得−S所以Sn【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，得到1anan+1=1d(18．【答案】（1）解：设第一次取出白球为事件A，第二次取出黑球为事件B，P(B)=25×在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率P(A|B)=P(AB)（2）解：设取出白球的个数为X，则X=0，P(X=0)=(35P(X=2)=3所以X的分布列为X012P2754947E(X)=0×【解析】【分析】（1）设第一次取出白球为事件A，第二次取出黑球为事件B，结合独立事件的概率计算公式和条件概率的计算公式，即可求解.

（2）设取出白球的个数为X，得到X=0，19．【答案】（1）证明：由bcos根据正弦定理得，sinBcos则sin(B−C)=sinC，∴B−C=C或B−C=π−C，∴B=2C或B=π（舍），∴B=2C.（2）解：由（1）知，B=2C，∴A=π−(B+C)=π−3C，又0<π−3C<π，且0<2C<π，0<C<π，∴0<C<π3，∴==2co令t=cosC，t∈(12，根据二次函数性质，可知4t2+2t−1∴a+b【解析】【分析】（1）由bcosC−ccosB=c，根据正弦定理化简得到sin(B−C)=sinC，即可得到B=2C；

（2）由（1）得到B=2C，根据正弦定理和三角恒等变换得到a+bc20．【答案】（1）证明：在四棱锥A−BCDE中，CD//BE，又因为BE⊂面ABE，CD⊄面ABE，所以CD//面ABE，又因为平面ACD与平面ABE的交线为l，CD⊂面ACD，所以l//CD.（2）解：因为CD//BE，BD⊥CD，所以在直角△DBE中，因为DE=6，BE=2，所以因为在直角△BCD中，因为BD=CD=2，所以BC=2取BC的中点O，连接OA，OD，在等边△ABC中，在等腰直角△DBC中，OD⊥BC在△OAD中，因为OA=3，OD=1以O点为原点，OC，OD，O(0，设Q(x，y，z)由(1)知l//CD，且l过点A，则AQ=λCD，即设平面QBD的法向量为m=(am⋅令a=1，则b=−1，则平面QBD的法向量为m设BC与平面QBD所成角为θ，BC与平面QBD的法向量m=(1，−1则sinθ=|0<12+c2≤【解析】【分析】（1）在四棱锥A−BCDE中，由CD//BE，根据线面判定定理得到CD//面ABE，再结合线面平行的性质，即可证得l//CD；

（2）分别证得BD⊥BE和OD⊥OA，以O点为原点，建立空间直角坐标系，设Q(x，y，z)由(1)得到Q(−λ，λ，21．【答案】（1）解：设点M到抛物线准线的距离为d，则d=|MF|=5，即m+p由M(−4，m)是抛物线C上的点，则联立可得2m+p=108=mp，消去m可得p分解因式可得(p−2)(p−8)=0，解得p=2或8，当p=2时，m=4>p2满足题意，当p=8时，所以p=2；（2）解：任意取点(x，y)位于抛物线C上，设点P(a，b)，则由抛物线方程4y=x2，可得函数y=x令y−b