《z随机过程Ch》课件

《随机过程》课程概览随机过程是一门研究随机现象随时间变化规律的学科，涵盖了广泛的应用领域，例如金融、工程、物理和生物学等。在本课程中，我们将深入探讨随机过程的定义、性质、模型和应用。随机过程的定义和特征随机性随机过程是随时间变化的随机现象，其未来状态具有不确定性。时间序列随机过程可以用时间序列来表示，它是一系列随机变量，每个变量对应一个特定的时间点。概率分布随机过程的特征由其概率分布确定，描述了不同状态出现的可能性。状态空间随机过程可以处于不同的状态，其状态空间定义了所有可能状态的集合。随机变量与随机过程的关系随机变量是随机过程的组成部分。随机过程是一个随机变量的集合，其值随时间变化。1随机过程随机变量的集合2随机变量随时间变化的值3时间随机过程变化的维度随机过程的分类时间类型根据时间变量是离散还是连续，可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。状态空间类型根据随机变量取值的集合是离散还是连续，可分为离散状态随机过程和连续状态随机过程。过程类型根据随机过程的性质和结构，可分为平稳随机过程、非平稳随机过程、马尔可夫过程等。离散时间随机过程11.时间离散在时间轴上，随机变量的取值只在某些特定时刻被观察到，时间之间是连续的。22.观察值独立不同时刻的随机变量之间相互独立，不受之前时刻的影响。33.统计规律虽然随机变量的具体取值是随机的，但它们服从一定的统计规律，可以用概率分布描述。44.应用广泛离散时间随机过程在许多领域都有应用，如金融市场，信号处理，天气预报等。连续时间随机过程时间连续性随机变量的值在时间上连续变化。时间参数时间参数可以是任意实数。应用场景广泛金融市场、物理过程和生物系统等领域。马尔可夫过程的定义马尔可夫过程的特点未来状态仅依赖于当前状态，与过去状态无关。可用于描述各种随机系统，例如金融市场、天气变化和疾病传播。数学表示使用状态转移概率来描述状态之间转换的可能性。可以通过转移矩阵或转移概率图来可视化。马尔可夫链的性质无记忆性马尔可夫链的未来状态仅取决于当前状态，与过去状态无关。这意味着系统没有记忆，过去状态不会影响未来状态的演化。齐次性马尔可夫链的转移概率不随时间变化，即在任何时间点，从一个状态转移到另一个状态的概率都是相同的。这使得我们能够用一个转移概率矩阵来描述系统的演化。马尔可夫链的转移概率矩阵转移概率矩阵是描述马尔可夫链状态转移规律的关键工具。矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率，矩阵的行和为1。状态状态1状态2状态3状态1P11P12P13状态2P21P22P23状态3P31P32P33例如，P12表示从状态1转移到状态2的概率。转移概率矩阵可以用来预测马尔可夫链的未来状态。稳态分布与平稳分布稳态分布系统长时间运行后，各状态的概率不再随时间变化，达到平衡状态，称为稳态分布。平稳分布如果系统从初始状态开始，各状态的概率分布一直保持不变，则称为平稳分布。两者关系稳态分布是平稳分布的特例，但平稳分布不一定存在稳态分布。泊isson过程的定义11.事件发生率泊isson过程是一种统计模型，用于描述一段时间内事件发生的随机性。22.时间间隔该过程假设事件发生的时间间隔服从指数分布。33.独立性事件之间相互独立，即一个事件的发生不影响其他事件。44.平稳性事件发生率在任何时间段内保持不变。泊isson过程的性质独立增量性在不相交的时间段内，泊isson过程的增量是独立的。平稳增量性泊isson过程的增量分布仅取决于时间间隔的长度。无记忆性泊isson过程的未来行为与过去的行为无关，只与当前状态有关。泊isson过程的参数估计泊isson过程的参数估计是通过观测到的事件发生次数来估计泊isson过程的强度。例如，如果在时间间隔为1小时内观察到5个事件，则可以使用最大似然估计法估计强度。指数分布与泊isson过程的关系1泊isson过程事件发生率恒定2事件间隔事件发生时间间隔的分布3指数分布泊isson过程事件间隔的分布指数分布是描述泊isson过程中事件发生时间间隔的概率分布。指数分布的参数与泊isson过程的发生率密切相关，两者互为倒数。一般的计数过程计数过程概述计数过程是随机过程中的一种重要类型。它描述的是在特定时间段内发生的事件次数。计数过程的定义计数过程是指一个随机变量，它记录了在某个时间间隔内发生的事件的次数。计数过程的特点计数过程具有以下特点：非负性，单调性，独立增量性。计数过程的应用计数过程在许多领域都有广泛应用，例如通信网络，排队论，金融市场。广义泊isson过程时间非齐次性广义泊isson过程的到达时间间隔不是独立同分布的，即到达率可能随时间变化。事件相关性事件的发生可能相互依赖，例如，一个事件的发生可能会影响下一个事件的发生时间。应用广泛广泛应用于金融、保险、网络流量等领域，用于建模和分析非齐次事件的发生。连续时间马尔可夫链连续时间状态变化可发生在任意时间点，而非仅限于离散时间点。状态转移当前状态仅取决于先前状态，不受更早历史的影响。转移概率状态之间转移的概率由转移速率矩阵决定。连续时间马尔可夫链的转移概率连续时间马尔可夫链的转移概率是指，在某个时间点，系统从一个状态转移到另一个状态的概率。它取决于当前状态和时间间隔。该概率可以用一个矩阵来表示，矩阵的元素是各个状态之间的转移概率。转移概率矩阵可以用于预测系统的未来状态，并进行各种分析，例如状态分布、平均停留时间等。连续时间马尔可夫链的稳态分布稳态分布定义稳态分布表示马尔可夫链在经过足够长的时间后，其状态分布不再随时间变化。它描述了系统最终达到平衡状态时的概率分布。计算稳态分布可以使用平衡方程或矩阵方法来计算连续时间马尔可夫链的稳态分布。平衡方程是指每个状态的进出概率相等。矩阵方法则利用转移概率矩阵的特征向量来求解稳态分布。布朗运动的定义随机运动布朗运动描述了微小粒子在液体或气体中随机运动的现象。连续时间布朗运动是一种连续时间随机过程，粒子位置随时间变化。无记忆性布朗运动具有无记忆性，未来状态仅取决于当前状态。应用广泛布朗运动在金融、物理、生物等领域都有重要应用。布朗运动的性质11.平稳增量布朗运动的增量是独立且平稳的，这意味着增量的大小和方向不依赖于过去。22.连续性布朗运动的路径是连续的，这意味着它没有跳跃或断裂点。33.自相似性布朗运动在不同的时间尺度上具有相似的统计特性，这意味着它在任意时间段内的行为都具有相同的模式。44.马尔可夫性布朗运动的未来状态只依赖于其当前状态，而与过去的状态无关。布朗运动的应用布朗运动在金融市场中有着广泛的应用，例如股票价格的波动可以用布朗运动来建模。布朗运动也被用于物理学和工程学，例如模拟气体粒子的随机运动。连续时间随机过程的状态空间描述状态空间随机过程在每个时刻可能取值的集合被称为状态空间。状态空间可以是离散的或连续的。状态变量状态空间中的每个元素被称为状态变量，用于描述随机过程在特定时刻的状态。状态转移随着时间的推移，随机过程的状态会发生变化，称为状态转移。连续时间随机过程的微分方程表示1描述过程变化微分方程可用于描述随机过程随时间变化的趋势和模式。2确定过程特性通过求解微分方程，我们可以推导出随机过程的均值、方差和其他重要统计量。3预测未来行为微分方程模型可以预测随机过程在未来某个时刻的行为，为决策提供参考。随机微分方程定义随机微分方程（SDE）包含一个随机项，该项通常由维纳过程表示，该过程描述了随机运动。维纳过程维纳过程是一个连续时间随机过程，其增量服从正态分布。应用随机微分方程在金融、物理、生物等领域有广泛应用，例如描述股票价格的波动。扩散过程随机游走扩散过程可以看作是连续时间随机游走的推广，它描述了粒子在随机环境中运动的轨迹。扩散过程在物理学、化学、金融学等领域都有广泛的应用，例如，它可以用来模拟股票价格的波动，或者描述分子在溶液中的运动。随机微分方程扩散过程可以用随机微分方程来描述，随机微分方程是一个包含随机项的微分方程，它描述了随机变量随时间的变化规律。例如，布朗运动就是一个重要的扩散过程，它可以用一个随机微分方程来描述，这个方程描述了粒子在液体中运动的随机性。扩散过程的应用1金融市场扩散过程在金融市场中被广泛应用于建模股票价格，期权定价和风险管理。2物理科学扩散过程可以模拟物质在空间中的扩散，例如热量传递和分子运动。3生物学扩散过程可用于描述种群的增长和扩散，以及疾病在人群中的传播。4工程领域