电路-第五版邱关源-第11章-电路的频率响应

第十一章

电路的频率响应谐振的概念、频率响应。网络函数的定义与含义；串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况；Bode图学习要点重点与难点与其它章节的联系

第九、十章的继续12/18/20241§11-1网络函数到目前为止，在正弦电路分析中，电源的频率都是常数。本章将分析电源频率的变化对电路中电压和电流的影响，分析结果就是频率响应。网络函数定义为：电路和系统的工作状态随频率而变化的现象，称为电路和系统的频率特性，或频率响应。无源网络I1(jw)+-+-ZLI2(jw)U2(jw)U1(jw)....H(jw)=Esj(jw).Rk(jw).为描述频率特性，需要建立输入变量与输出变量之间的函数关系，这一函数关系称为网络函数。12/18/20242为转移电压比；无源网络I1(jw)+-+-ZLI2(jw)U2(jw)U1(jw)....H(jw)=U1(jw).U2(jw).H(jw)=I1(jw).U2(jw).为转移阻抗；为转移导纳；H(jw)=I2(jw).U1(jw).H(jw)=I2(jw).I1(jw).为转移电流比；若激励与响应在同一端口：H(jw)=U1(jw).I1(jw).为输入阻抗。H(jw)=U1(jw).I1(jw).为输入导纳。网络函数不仅与电路结构、参数有关，还与输入输出变量的类型及端口对的相互位置有关。根据激励、响应是电压或电流，输入或输出，网络函数有多种类型：12/18/20243§11-1RLC串联电路的谐振引言：一个含有RLC的无源一端口，其端电压u与输入电流

i一般是不同相的。如果改变C或L或电源频率f，使端口电压和电流达到同相，则电路中就发生了谐振现象，简称谐振。(谐振的定义)

谐振可以发生在串联电路中，也可以发生在并联电路中，当然，在混联电路里也会发生谐振。

谐振是正弦交流电路中可能发生的一种现象，在在无线电和电工技术中，一方面获得了广泛的应用，另一方面又可能产生危害。研究谐振的现象目的是掌握它的规律，在需要时加以利用，在产生危害时设法预防。12/18/202441.串联谐振的条件+-+-RjwL+-

.UR

.UL

.UCjwC1+-

.US.I若谐振发生在串联电路中，就称为串联谐振。因为Z=R+j(XL+XC)所以当XL+XC=0时Z=R电流与电压同相。谐振条件wL

=wC1谐振频率w0=LC1谐振频率仅由电路参数决定，这是电路的固有性质。因此谐振频率又称固有频率。每一个RLC串联电路，只有一个固有频率，由L、C决定，与R无关。或

f0=2pLC112/18/20245如果电路不满足谐振条件，通常称为失谐。而使电路产生谐振的方法叫做调谐。根据谐振频率表达式可知，调谐的方法有：(1)L、C不变，改变f，可用于L或C的测量；(2)电源频率f不变，改变L或C(常改变C)，常用于选择信号。2.谐振时的特征(1)电路端口电压与端口电流同相位；(2)输入端阻抗Z(jw0)=R最小，且呈纯电阻。电路中的电流达到最大；+-+-RjwL+-

.UR

.UL

.UCjwC1+-

.US.I|I(jw0)|=|US(jw0)|R12/18/20246|Z(jw)|频响曲线Z(jw)=R+jw

L-ow|Z(jw)|XL=wLwC1X(w)w<w0，X为容性电抗。w>w0，X为感性电抗。w=w0，X=0。wow0R1<

R2wC1XC=-w0R|Z(jw)||I(jw)||I(jw0)||I(jw0)|R1R2|I(jw)|=US

+-+-RjwL+-

.UR

.UL

.UCjwC1+-

.US.I|Z(jw)|电流的特性12/18/20247(3)内部出现过电压现象谐振时的相量图.I.UL.UR.UC.US为谐振电路的品质因数。+-+-RjwL+-

.UR

.UL

.UCjwC1+-

.US.I相当于短路虽然谐振时电抗电压UX(jw0)=0，但UL(jw0)UL(jw0)

=

w0LI(jw0)

=w0LRUS=

QUS和UC(jw0)分别不为零：UC(jw0)

=w0C1I(jw0)

=w0C1RUS=

QUSQ=w0LR=w0CR1=R1CL=USUL(jw0)=USUC(jw0)w0L=w0C1＞R，Q＞1UL(jw0)

=UC(jw0)＞US12/18/20248串联谐振可能会在L、C上引起高电压。所以串联谐振又称为电压谐振。串联谐振引起的高电压在无线电等工程领域十分有用。例如，用来选择接收信号。但是在电力工程中，输送的电压已经很高，发生串联谐振可能会击穿L和C的绝缘，造成设备损坏。

12/18/20249例：某收音机的输入回路如图，L=0.3mH，R=10W，为收到中央电台560kHz信号，求调谐电容C值；若输入电压为1.5mV，求谐振电流和此时的电容电压。

解：由串联谐振的条件得C

=(2pf0)2L1=269pFR+-Lu(f0)C+-u2收音机的接收回路-u(fn)+I0I0

=UR=101.5=0.15mAUC=I0w0C1=158.5mV＞1.5mV电路的Q值约106。为提高电路的Q值，中波段的L常采用多股漆包线绕制，短波段常采用单股镀银导线绕制而成。12/18/202410(4)谐振时功率关系有功功率为：P(jw0)=USI(jw0)=I2(jw0)R

即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。无功功率为：Q(jw0)=QL(jw0)+QC(jw0)=w0LI2(jw0)-

w0C1I2(jw0)=0

即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。RLC+-

.US.IQP12/18/202411(5)谐振时的能量关系设i=Imcosw0t则uC=UCmsinw0t=Imw0Lsinw0t能量总和：W(jw0)=WL(jw0)+WC(jw0)总能量是常量，不随时间变化，正好为最大值。电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，且最大值相等。电感储能wL(jw0)=

Li221=LI2cos2w0t电容储能wC(jw0)=

21CuC2=LI2sin2w0t=LI2(jw0)

=CUC2(jw0)

=CQ2US2

12/18/202412电感、电容储能的总值与品质因数的关系为：

即品质因数Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量。Q越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般应用于谐振状态的电路希望尽可能提高Q值。Q=w0LR=w0RI2(jw0)LI2(jw0)=P(jw0)|QL(jw0)|=P(jw0)|QC(jw0)|=2pLI2(jw0)T0

RI2(jw0)谐振时电路中磁场总储能谐振时一周期电路消耗的能量

12/18/202413§11-3RLC串联电路的频率特性保持输入信号uS的幅度不变，只改变w，分别以R、L、C上的电压为输出，这些网络函数的频率特性就是电路的频率响应。+-+-RjwL+-

.UR

.UL

.UCjwC1+-

.US.I为便于在同一个尺度下比较，横坐标以w0为基值：即以

h

=w0w为坐标。显然，电路在h

=1处谐振。这样绘制的频率响应曲线称为通用曲线。

1.以电阻电压作为输出变量网络函数HR(jh)=US(jw).UR(jw).=Z(jw)R12/18/202414HR(jh)=US(jw).UR(jw).=Z(jw)R=1+jQ

(h-1h1)=wCR+jw

L-1R

1.幅频特性

2.相频特性12/18/202415分析幅频特性：h=1(w=w0)：电流或电压出现最大值；h<1和h>1(偏离谐振点w0)，曲线逐渐下降。只有在w0附近(h1～h2)，才有较大的输出幅度。ho1Q1Q2Q1>Q21.00.5HR(jh)具有选择w0附近信号的能力，称工程上称选择性。Q值越大，曲线在w0附近的形状越尖锐。w

稍有偏移，输出就急剧下降，说明选择性越好。

12/18/202416

通频带(或称频带宽度)的概念(wj2-wj1)称为通频带。按上述规定：工程上规定：频率升高或降低，使曲线下降为原来的0.707倍时所对应的频率分别为上截止频率wj2和下截止频率wj1。0.7071Q1Q2Q1>Q2ho1.00.5HR(jh)BW21+Q2(h-h1)21=21或Q2(h-h1)2=1Q(h

-h1)

=±1解之得到BW=hj2-hj1=Q1BW=wj2-wj1=Qw0hj2hj112/18/202417Q越大，BW越窄，选择性越好。从提高抗干扰能力和选择性的角度出发，谐振曲线越尖锐越好，因此应尽量提高Q值。从减少信号失真的观点出发，要求通频带有一定宽度，而且在通频带范围内谐振曲线平坦一些为好，因此又不希望Q值太高。BW=wj2-wj1=Qw00.7071Q1Q2Q1>Q2ho1.00.5HR(jh)BW1BW2实践中要视具体情况兼顾两方面的要求。12/18/2024182.以电容电压作为输出变量HC(jh)=US(jh).UC(jh).=h+jQ

(h2-1)-jQUC(jh).滞后UR(jh).90o，相频特性的分析从略。幅频特性：|HC(jh)|

=h2

+Q2

(h2-1)2Q2用数学的方法绘制曲线：令d|HC(jh)|dh=0求得：出现峰值时的频率为hC2=1-4Q21峰值为|HC(jhC2)|

=Q1-4Q2112/18/202419出现峰值时的频率1.00.5HC(jh)1hohC2Q＜0.707Q>>1hC2=1-4Q211-4Q21|HC(jhC2)|

=Q谐振峰值＜1＞Q当Q＞时，有峰值。21Q

越高，hC2越靠近1，峰值频率越靠近谐振频率。|HC(jhC2)|的分母小于1，故谐振峰值＞Q。低通函数，具有低通滤波特性。12/18/202420RL+-CuSuC+-0.707wj令|HC(jh)|=21可求出上截止频率：wj≈1.55w0。通频带0~wj。3.以电感电压作为输出变量|HL(jh)|与|HC(jh)|镜像对称。1.00.5HC(jh)ho1Q>>1HL(jh)分析过程同上。12/18/202421§11-4RLC并联谐振电路.I.ICjwCjwL1.IL.IGG.U+-.IS若谐振发生在并联电路，则称为并联谐振。谐振的定义和分析过程与串联电路相同。Y(jw)=G+j(wC-wL1)电路的导纳为1.谐振条件w0C-

w0L1=0谐振频率w0=LC1或

f0=2pLC1f0是电路的固有频率，由L、C决定，与G无关。12/18/2024222.并联谐振的特征(1)电路端口电压与端口.I.ICjwCjwL1.IL.IGG.U+-.IS电流同相位；(2)输入端阻抗Y(jw0)=G最小，且呈纯阻性。或者电路的抗阻达到最大；(3)电源电压U一定时，总电流I最小；但是，若采用电流源供电(或提供信号)，由于电路的抗阻达到最大，所以端口处电压U

最高。(4)局部可能出现过电流：IL=IC>I。谐振时的相量图

.U.IC.IG.IL.IS因此，并联谐振也称为电流谐振。12/18/202423IL(w0)

=并联谐振电路的品质因数.I.ICjwCjwL1.IL.IGG.U+-.ISw0LU=w0LG1IS=

QISIC(w0)

=w0CU=Gw0CIS=

QISQ=ISIL(w0)=ISIC(w0)=w0LG1=w0CG=G1LC因此，电容或电感中的电流是电流源电流的Q倍。如果Q>>1，电容或电感中会出现过电流。12/18/2024243.谐振时的无功功率QQC

=

-w0CU2QL

=

w0L1U2.I.ICjwCjwL1.IL.IGG.U+-.ISQC+

QL=0能量交换发生在L、C之间，不用外电路提供无功功率。能量总和保持不变：W(w0)=WC(w0)+WL(w0)=LQ2IS212/18/2024254.实用的并联谐振电路根据谐振定义，当Im[Y(jw0)]=0时，电路发生谐振。Y(jw0)=jw0C+>0

时，当.IC.I1.U+-.IsRjwLjwC1电路的输入导纳为R+jw0L1=R2+(w0L)2R+j[w0C-R2+(w0L)2w0L]由C-R2+(w0L)2L=0得w0=LC11-LCR21-LCR2R

CL，w0是实数。R>

CL电路不发生谐振。调电阻也能改变谐振。12/18/202426j1

.U.I1.IS.IC.IC.I1.U+-.IsRjwLjwC1将w0代入

C-R2+(w0L)2L=0得Y(jw0)=LRCZ(jw0)=LRC

谐振时导纳不是最小，因此阻抗和端电压也不是最大。谐振时的相量图实用电路的电感线圈电阻很小，损耗也很小。j1很大时，IC=I1sinj1=IStgj1L和C支路会出现过电流。12/18/202427有选频作用。常用于正弦波振荡器、调谐放大器中。右图是变压器耦合的正弦波振荡器。LC为并联谐振电路，其主要作用是选频。L的直流电阻很小，故振荡频率为：

f0=2pLC1改变C，能方便地调整振荡频率，以满足不同需要。**+UCCRLTRb2Rb1CbReCeCLLf12/18/202428§11-5波特(Bode)图lgw00.20.50.811234610w1022-10.1Bode图又称为对数坐标图。横坐标即频率坐标按对数lgw进行线性分度。lgw

增大1w增大10倍频率轴上每一线性单位表示频率的十倍变化，称为每十倍频程，用dec表示。幅频特性的纵坐标也是对数值：HdB=20lgH(jw)。单位是分贝(dB)。HdB[dB]0-202040-40相频特性的纵坐标用度(或者弧度)，横坐标同上。

12/18/202429对数坐标图的优点：展宽频带；

将乘除变成加减，绘制方便；用分段直线(渐进线)近似表示。-20-400402020lgH(jw)[dB]w0.10.21231020102103-90o-180o0o180o90oj

(jw)12/18/202430例11-4绘出右边网络函数的Bode图。H(jw)=(jw+2)(jw+10)j200w解：改写成标准形式：(1+jw/2)(1+jw/10)j10w幅频特性和相频特性分别为：HdB=20lg(10w)-20lg|1+jw/2|-20lg|1+jw/10|j=90o-arctg(w/2)-arctg(w/10)分析幅频特性20lg(10w)：w=0.1，20lg(10w)=0dB；w=1，20lg(10w)=20dB。这是一条过(0.1，0)点，斜率为20dB/dec的直线。转折频率有两个，分别为：w=2和w=10。12/18/202431HdB=20lg(10w)-20lg|1+jw/2|-20lg|1+jw/10|-20lg|1+jw/2|：可用两段渐近线逼近。w＜0.2，用-20lg|1+jw/2|=0dB的水平线逼近。w＞20，-20lg|1+jw/2|

-20lg(w/2)。这是一条过(2，0)点，斜率为-20dB/dec的直线。-20lg|1+jw/10|：也是用两段渐近线逼近。w＜1，用-20lg|1+jw/10|=0dB的水平线逼近。w＞100，是过(10，0)点，斜率为-20dB/dec的直线。w=2，-20lg(w/2)=0；w=20，-20lg(w/2)=-20dB。12/18/202432-20-400402020lgH(jw)[dB]w0.10.21231020102103-90o-180o0o180o90oj(jw)+20dB/dec-20dB/dec-20dB/dec12/18/202433分析相频特性：j=90o-arctg(w/2)-arctg(w/10)第二、三项也可以用折线近似：高于20倍转折频率为-90o直线；第一项显然是90o直线；低于0.2倍转折频率，为0o直线；(0.2~20)倍转折频率之间，是一条-45o/dec的直线。将以上各线段叠加，可得近似相频特性曲线。相频特性用折线近似误差较大，通常要逐点描绘。12/18/202434-20-400402020lgH(jw)[dB]w0.10.21231020102103-90o-180o0o180o90oj(jw)-45o/dec-45o/dec-45o/dec-90o/dec12/18/202435§11-6滤波器简介滤波器是电子产品的重要部件，其主要功能是作为各种电信号的提取、分隔、抑止干扰等。在具有特定功能的电子产品中均有滤波器的踪迹可寻。滤波器分为有源和无源二大类。无源滤波器按构成元件不同最常见的有：RC滤波器、LC滤波器、陶瓷滤波器、晶体滤波器、机械滤波器、声表面波滤波器；另外还有螺旋滤波器、介质滤波器、微波滤波器等。滤波器按其功能可以分为：中频滤波器、边带滤波器、话路滤波器、线性相移滤波器、相位恒定滤波器、相位配对滤波器、电源滤波器等。12/18/202436滤波器按其主要特性可分为：带通、带阻、高通、低通、可变通带等滤波器。滤波器还有经典滤波器和现代滤波器之分。目前，现代滤波器主要有：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器等。经典的无源滤波器利用L、C彼此相反又互补的频率特性构成。LCG型低通LCCLCLT型低通P型低通

12/18/202437G型低通的幅频特性为LCG型低通+-ui+-uowo-20dB/dec转折频率L、C的位置换一下，就是高通滤波器。带通滤波器L1C1C2L2L1C1C2L2带阻滤波器12/18/202438习题11-19(1)H(jw)=10+jw1解：化为标准形式H(jw)=1+jw/100.1转折频率w=10

。幅频特性：HdB=20lg0.1-20lg|1+jw/10|w

10时，第2项≈0，起点是一条高度为-20dB的水平线；w

10时，HdB≈20lg0.1-20lg(w/10)，是一条过点(10，-20)，斜率为-20dB/dec的直线。心算绘制：从低频段画一条-20dB的水平线，并向高频端延伸；当遇到转折频率w=10时，直线斜率改变-20dB/dec后继续向高频端延伸，一直延伸到最右端。相频特性：j=-arctg(w/10)用三段直线构成的折线近似。12/18/202439相频特性为：低于0.1倍转折频率(w

=10)，为0o直-40-60-2020020lgH(jw)[dB]w0.10.21231020102103-180o-270o-90o90o0oj