新教材适用2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.2空间向量运算的坐标表示及应用课后训练北师大版选择性必修第一册

3.2空间向量运算的坐标表示及应用A组1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则|3a+b|等于().A.15 B.4 C.5 D.172.已知点A(3,3,3),B(6,6,6),O为原点,则向量OA与BO的夹角是(A.0 B.π C.323.设点A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为().A.534 B.532 C.534.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且AB=3AC,则C的坐标为().A.72,-12,52 B.83,C.103,-1,73 D.52,-725.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有().(第5题)A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E=12EB D.E与B6.(多选题)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的有().A.a+b=(10,-5,-2)B.a-b=(2,-1,-6)C.a·b=22D.|a|=67.已知向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a,b夹角的余弦值为89,则实数λ等于8.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,过点B作BM⊥AC1于点M,求点M的坐标.(第8题)9.已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),求证:四边形ABCD是一个梯形.B组1.从点P(1,2,3)动身,沿着向量v=(-4,-1,8)方向取点Q,使|PQ|=18,则点Q的坐标为().A.(-7,0,19)B.(9,4,-13)C.(-7,0,19)或(9,4,-13)D.(-1,-2,3)或(1,-2,-3)2.已知空间向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是().A.(0,1,2) B.(0,-1,-2)C.0,15,25 D.0,-15,-3.已知点A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),向量OA+λOB与OB的夹角为120°,则实数λ的值为(A.±66 B.66 C.-64.已知O为坐标原点,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为(A.12,34,1C.43,43,85.若△ABC的三个顶点分别为A(0,0,2),B-32,12,2,C(-1,0,2),则∠6.已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ=,μ=.

7.如图,在棱长为1的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤1,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(第7题)(1)求证:A1F⊥C1E;(2)若A1,E,F,C1四点共面,求证:A18.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=2,∠CDA=45°.设AB=AP,在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?并说明理由.(第8题)

参考答案3.2空间向量运算的坐标表示及应用A组1.D3a+b=3(1,1,0)+(-1,0,2)=(3,3,0)+(-1,0,2)=(2,3,2),故|3a+b|=4+9+4=2.BOA=(3,3,3),BO=(-6,-6,-6),则OA·BO=3×3×(-6)=-54,|OA|=33,|BO|=63,所以cos<OA,BO>=OA·BO|OA3.C∵AB的中点为M2,32,3,∴CM=2,12,3,故|CM|=|CM|=224.C设C(x,y,z),则AC=(x-4,y-1,z-3).又AB=(-2,-6,-2),AB=3AC,∴(-2,-6,-2)=(3x-12,3y-3,3z-9).∴3x-5.A如图,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2).设E(2,2,z),则D1F=(0,1,-2),DE=(2,2,z),所以D1F·DE=0×2+1×2-2z=0,所以(第5题)6.ACDa+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6),a·b=24+6-8=22,|a|=42+(-7.-2或255cos<a,b>=a1×解得λ=-2或λ=2558.解由题意知A(a,0,0),B(a,a,0),C1(0,a,a).所以AC1=(-a,a,a设M(x,y,z),则AM=(x-a,y,z),BM=(x-a,y-a,z).因为BM⊥AC1,所以所以-a(x-a)+a(y-a)+az=0,即x-y-z=0. ①因为A,M,C1三点共线,所以可令AM=λAC所以x-a=-λa,y=λa,z=λa(λ∈R),即x=a-λa,y=λa,z=λa. ②由①②,得x=2a3,y=a3,所以点M的坐标为2a3,9.证明因为AB=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),CD=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),-24=3-又因为AB与CD不共线,所以AB∥CD.所以A,B,C,D四点共面.因为AD=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),BC=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2),0-2≠-4所以四边形ABCD为梯形.B组1.A设Q(x0,y0,z0),则存在实数λ,使得PQ=λv,即(x0-1,y0-2,z0-3)=λ(-4,-1,8).由|PQ|=18,得(-4λ)2+(-因为PQ与v同方向,所以λ=2.所以(x0-1,y0-2,z0-3)=2(-4,-1,8),解得x2.D∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),∴a+b=(0,1,2),|a+b|=5,∴与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是-15(0,1,2)=0,-15,-253.C∵OA=(1,0,0),OB=(0,-1,1),∴OA+λOB=(1,-λ,λ).∴(OA+λOB)·OB=λ+λ=2λ,|OA+λOB|=1+λ2+λ2=∴cos120°=(OA+λOB)·OB|OA+λOB||OB|=2λ4.C由题意知存在实数λ,使得OQ=λOP,则QA=OA-OQ=OA-λOP=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=OB-OQ=OB-λOP=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA·QB=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+所以当λ=43时,QA·QB最小,此时OQ=43OP=43,45.30°由题意,知AB=-32,12,0,AC=(-1,0,0),所以|AB|=1,|AC|=所以cosA=AB·AC|AB||AC6.00AB=(λ-1,1,λ-2μ-3),AC=(2,-2,6),由A,B,C三点共线,得AB∥AC,即λ-12=-12=7.证明(1)由已知条件,得A1(1,0,1),F(1-x,1,0),C1(0,1,1),E(1,x,0),则A1F=(-x,1,-1),C1E=(1,所以A1F·C1E=-x+(所以A1F⊥C1E,即A(2)由(1)知,A1F=(-x,1,-1),A1C1=(-1,1,0),A1E=(0,x,-1).设A解得λ=12,μ=1所以A18.解因为PA⊥平面ABCD,且AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又AB⊥AD,所以AP,AB,AD两两垂直.(第8题)如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz.在平面ABCD内,作CE∥AB交AD于点E,则CE⊥AD.在Rt△CDE中,∠CDE=45°,CD=2,则CE=DE=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t,所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0).假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.设G(0,m,0)(0≤m≤4-t)