中学数学教案导数在函数中的应用

导数在函数中的应用一.基础知识1.函数的导数与单调性在某个区间内，若>0，则函数在这个区间内单调递增；若<0,则函数在这个区间内单调递减.2.函数的导数与极值（1）极大值：如果在附近的左侧>0，右侧<0，且=0，那么是极大值；（2）极小值：如果在附近的左侧<0，右侧>0，且=0，那么是极小值；3.函数的导数与最值(1)函数在区间[a,b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a,b]上，函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数在区间[a,b]上最大值与最小值的步骤：①求函数在区间（a,b）内的极值；②将函数的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．注意事项1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．2.(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．3.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．4.(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．二.题型训练题型一求曲线切线的方程例1.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．变式1.曲线y＝xex＋1在点(0,1)处的切线方程是()A．x－y＋1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x－2y＋2.直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则a－b的值为()A．－4B．－1C．3D题型二.求函数的单调区间例2.已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．练习：1.设函数f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2，则函数f(x)的单调增区间为________．2.已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋bx(a，b∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)＝eq\f(1,3)，且函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上不存在极值点，求a的取值范围．题型三.分类讨论求函数的单调区间例3.已知函数f(x)＝x2＋ax＋blnx(x>0，实数a，b为常数)．(1)若a＝1，b＝－1，求函数f(x)的极值；(2)若a＋b＝－2，讨论函数f(x)的单调性．练习：1.已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx＋2a＋2，其中a≤2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．2.已知a∈R，函数（1）求的单调区间（2）证明：当0≤≤1时，+＞0.3.设函数(Ⅰ)求的单调区间(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，，求k的最大值小结：利用导数研究函数的单调性关注四点(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论．(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(3)在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．(4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．题型四.单调性的逆用例4.已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．练习：1.已知函数f(x)＝(x＋a)2－7blnx＋1，其中a，b是常数且a≠0.(1)若b＝1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)当b＝eq\f(4,7)a2时，讨论f(x)的单调性．2.若函数f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数，则a的取值范围是()A．[－1,0]B．[－1，＋∞)C．[0,3] D．[3，＋∞)3.函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________．4.已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2(Ⅰ)求实数a,b的值；(Ⅱ)设g（x）=f(x)+是[]上的增函数，求实数m的最大。5.已知函数（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求在上的最大值和最小值.题型五.求函数的极值、最值例5.已知函数在处取得极值为（1）求、的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值．练习：1.关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．2.已知是实数，1和是函数的两个极值点．（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数．3.已知函数f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值；(3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．4.已知函数f(x)＝ax－eq\f(2,x)－3lnx，其中a为常数．(1)当函数f(x)的图象在点(eq\f(2,3)，f(eq\f(2,3)))处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在[eq\f(3,2)，3]上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．题型六.导数与方程例6.设a为实数，函数（1）求极值（2）求与x轴只有一个交点时a的取值范围变式：若与x轴有2个交点时a的取值范围？练习：1.设函数（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围.（Ⅲ）已知当恒成立，求实数k的取值范围.2.已知函数上为增函数.（1）求k的取值范围；（2）若函数的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.题型七.利用导数证明不等式例7.设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－