安徽省铜陵市第三中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题（含答案）

1PAGE第6页铜陵市第三中学高二级部月考数学试题（卷面值：150分考试时间：120分钟命题：）注意事项：1.本试卷共4页.答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号写在答卷的密封区内.2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须将答案写在答卷的相应题号框内.请保持试卷卷面清洁，不折叠、不破损. 3.考试结束后，请将答卷和答题卡交回.第一卷（选择+填空=73分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，，若，则（）A.1 B. C. D.32.已知空间向量，，若，则实数（）A.0 B.2 C. D.3.已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（）A B. C. D.4.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.向量在向量上的投影向量是C. D.与向量方向相同的单位向量是5.已知角对边分别为满足，则角的最大值为（）A. B. C. D.6.在三棱锥中，是的重心，是上的一点，且，若，则（）A. B. C. D.17.堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.在空间直角坐标系中，四面体SABC各顶点坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积是A B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（）.A.B.若，则C.点关于平面对称的点的坐标为D.10.如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（）A. B.平面C.线段长度的最大值为1 D.三棱锥体积不变11.已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（）A.若为非零向量，且，则B.若四边形为平行四边形，则它的面积等于C.已知点为坐标原点，则D.若，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，且，则向量与的夹角为__________13.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为________.14.点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是_______________.第二卷（解答题77分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知，，且．（1）若，求的值；（2）求与夹角的余弦值．16.设ΔABC的内角所对的边分别为，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，边上的中线，求ΔABC的面积．17.如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，.（1）用，，表示；（2）求的长.18.如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.19.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且.（1）证明：；（2）当取何值时，直线与平面所成角最小?（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.铜陵市第三中学高二级部份月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】D二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.【答案】AB10.【答案】AD11.【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.【答案】14.【答案】第二卷（解答题77分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.【解析】【分析】（1）根据向量垂直，列方程，解方程即可；（2）根据向量夹角公式直接计算即可.【小问1详解】由已知，则，解得；【小问2详解】由已知，且，所以.16.【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案.（Ⅱ），平方，代入公式利用余弦定理得到答案.【详解】（Ⅰ）因为，由正弦定理得，即，所以，因为，所以，又因为，所以．（Ⅱ）由M是中点，得，即，所以，①又根据余弦定理，有，②联立①②，得．所以ΔABC的面积．17.【解析】【分析】（1）由向量的首尾相连原则及图形可得答案；（2）由（1）及计算模公式可得答案.【小问1详解】由图形及向量相加的首尾相连原则，；【小问2详解】由题可得，.则，则，即的长为.18.【解析】分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，由中位线性质知，从而得到平面，由面面垂直判定可得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，由线面角的向量求法可构造方程求得，结合垂直关系可得平面的距离为，利用棱锥体积公式可求得结果.【小问1详解】连接，分别是线段的中点，，底面四边形为正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，又平面，平面平面.【小问2详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，；设直线与平面所成角为，，解得：或（舍），，平面，平面，；，，平面，平面，到平面的距离为，.19.【解析】【分析】（1）建系标点，利用空间向量证明线线垂直；（2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析求解；（3）假设存在，利用空间向量处理面面夹角，列式求解即可.【小问1详解】因为，，则，即，如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，则，可得，，即，，又因为，可得，所以无论取何值，.【小问2详解】由（1）可知：，设平面的一个