2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学九年级（上）第二次月考数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（共10小题.每小题4分，共40分）1．（4分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≤1 C．x≥1 D．x＞0且x≠12．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，配方后的方程是（）A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣3）2＝31 D．（x+3）2＝143．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，那么下列条件中，能判定△AED∽△ABC是（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C．AD•AB＝AE•AC D．DE•AB＝AE•CB4．（4分）若，则实数a的取值范围是（）A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥65．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，则tanA的值为（）A． B． C． D．6．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，BC的中点，F是边DE的中点，若∠B＝36°，则∠DCF的度数为（）A．36° B．40° C．48° D．54°7．（4分）等腰三角形的一边长是4，方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根是三角形的两边长，则m为（）A．7 B．8 C．4 D．7或88．（4分）抛物线y＝﹣2x2﹣4x+1的顶点坐标是（）A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，3）9．（4分）如图，已知：点A（0，1），点B在x的正半轴上．将线段AB绕点A顺时针旋转120°1位置；将线段AB1沿y轴向下平移个单位到A1B2的位置．则点B2的坐标是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝120°，BC＝2，CD＝3（）A． B．5 C．4 D．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知，则＝．12．（4分）已知△ABC∽△DEF，它们的周长分别为3和1，则△ABC∽△DEF面积之比为．13．（4分）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位所得图象的函数关系式是．14．（4分）对于函数y＝ax2+x（a为常数），当x＝﹣1时，y＝0，y＝．15．（4分）如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD），防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，则加固后坝底增加的宽度AF＝．16．（4分）在△ABC中，AB＝AC，BD∥AC，若∠ABD+∠BCD＝90°，6CD＝5CB，则AB＝．三、解答题（本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（8分）计算：．18．（8分）解方程：x2﹣3x﹣4＝0．19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0．（1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；（2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值．20．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，垂足为D．（1）求作∠ACB的平分线，分别交AD，AB于点P（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）的条件下，若∠ACB＝60°，求CQ的长．21．（8分）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件．（1）求每天销售量的平均增长率；（2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，每天可获得最大利润？最在利润是多少元？22．（8分）奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）23．（10分）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，△ABC中，点A、B、C所对的边分别为a、b、c，在Rt△ADC中，CD＝bsinA∴BD＝c﹣bcosA在Rt△BDC中，由勾股定理：CD2+BD2＝BC2（c﹣bcosA）2+（bsinA）2＝a2，整理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA同理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．利用上述结论解答下列问题：（1）在△ABC中，∠A＝45°，b＝2，求a和∠C的大小（2）在△ABC中，a＝，b＝，（c＞a＞b），求边长c的长度．24．（14分）综合与实践在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，E为射线BC上一动点（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处基础探究：①如图1，若，则∠AFB的度数为．深入探究：②如图2，当，且EF＝EC时，求AB的长．拓展探究：（2）在②所得矩形ABCD中（仅保留AB，BC长），将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，C'，D三点共线时25．（14分）若关于x的方程有一个解为x＝1，那么称这样的方程为“实一方程”．例如方程：x2﹣x＝0有解x＝1，所以x2﹣x＝0为“实一方程”．（1）下列方程是“实一方程”的有；①2x﹣2＝0；②|x﹣2|＝4；③x2+x﹣2＝0．（2）已知直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△AOB＝，且当y＝4时，关于x的方程y＝kx+b为“实一方程”；（3）已知x1，x2为“实一方程”ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a＞b＞c）的两个根，试求|x1﹣x2|的取值范围．

2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案BBCBCDDDCA一、选择题（共10小题.每小题4分，共40分）1．（4分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≤1 C．x≥1 D．x＞0且x≠1【解答】解：∵二次根式有意义，∴1﹣x≥5，解得：x≤1．故选：B．2．（4分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，配方后的方程是（）A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣3）2＝31 D．（x+3）2＝14【解答】解：∵x2﹣6x﹣7＝0，∴x2﹣7x＝5，则x2﹣6x+9＝5+7，即（x﹣3）2＝14，故选：B．3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，那么下列条件中，能判定△AED∽△ABC是（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C．AD•AB＝AE•AC D．DE•AB＝AE•CB【解答】解：由题意知，∠DAE＝∠CAB，∠C≠∠AED，选项A、B错误；∵AD•AB＝AE•AC，∴，又∵∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，C正确，故符合题意；∵DE•AB＝AE•CB，∴，但无法判定△AED∽△ABC，D不符合要求；故选：C．4．（4分）若，则实数a的取值范围是（）A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥6【解答】解：∵＝|a﹣6|，，∴6﹣a≥0．∴a≤8．故选：B．5．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，则tanA的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵AC＝5，BC＝4，∴，∴，故选：C．6．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，BC的中点，F是边DE的中点，若∠B＝36°，则∠DCF的度数为（）A．36° B．40° C．48° D．54°【解答】解：∵D，E分别是边AC，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠B＝36°，∵∠ACB＝90°，F是边DE的中点，∴DF＝CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC＝36°，∴∠DCF＝90°﹣∠FCE＝54°，故选：D．7．（4分）等腰三角形的一边长是4，方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根是三角形的两边长，则m为（）A．7 B．8 C．4 D．7或8【解答】解：∵一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是方程x2﹣8x+m+1＝0的两个根，①当腰长为7时，把x＝4代入原方程得16﹣24+m+1＝8，∴m＝7，∴原方程变为：x2﹣8x+8＝0，设方程的另一个根为a，则4+a＝6，∴a＝2，∴能构成三角形；②当底边为2时，那么x的方程x2﹣6x+m+2＝0的两根是相等的，∴Δ＝（﹣6）3﹣4（m+1）＝5，∴m＝8，∴方程变为x2﹣4x+9＝0，∴方程的两根相等为x6＝x2＝3，∴能构成三角形．综上，m的值是4或8，故选：D．8．（4分）抛物线y＝﹣2x2﹣4x+1的顶点坐标是（）A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，3）【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣8x+1＝﹣2（x3+2x）+1＝﹣3（x2+2x+3）+2+1＝﹣4（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，3）．故选：D．9．（4分）如图，已知：点A（0，1），点B在x的正半轴上．将线段AB绕点A顺时针旋转120°1位置；将线段AB1沿y轴向下平移个单位到A1B2的位置．则点B2的坐标是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）【解答】解：∵A（0，1），∴OA＝4，由题意可得：AB1＝AB，∠B1AB＝120°，∴∠AB6O＝∠ABO＝30°，∴在Rt△AB1O中，AB1＝4AO＝2，∴利用勾股定理可得：，∴，∵将线段AB1沿y轴向下平移个单位到A1B2，∴．故选：C．10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝120°，BC＝2，CD＝3（）A． B．5 C．4 D．【解答】解：延长AD，BC，如图，∵∠C＝120°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A＝60°，∠E＝30°，∵BC＝2，CD＝3，∴EC＝5，BE＝BC+EC＝8，∵，∴，∴，故选：A．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知，则＝．【解答】解：由题意，设x＝3k，∴＝＝．故答案为：12．（4分）已知△ABC∽△DEF，它们的周长分别为3和1，则△ABC∽△DEF面积之比为9：1．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们的周长分别为3和1，∴△ABC∽△DEF的相似比是5：1，∴△ABC∽△DEF面积之比为9：5，故答案为：9：1．13．（4分）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位所得图象的函数关系式是．【解答】解：二次函数的图象向左平移1个单位（x+1）2+5．故答案为：．14．（4分）对于函数y＝ax2+x（a为常数），当x＝﹣1时，y＝0，y＝2．【解答】解：将x＝﹣1，y＝0代入中8+（﹣1），解得：a＝1，∴y＝x5+x，令x＝1，则y＝12+1＝2，故答案为：3．15．（4分）如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD），防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，则加固后坝底增加的宽度AF＝（）米．【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AB于点G，依题意：EG＝DH＝10（米），ED＝GH＝3（米），在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，∴AH＝DH＝10（米），在Rt△EFG中，，∴（米），∴（米），答：加固后坝底增加的宽度AF为（）米．16．（4分）在△ABC中，AB＝AC，BD∥AC，若∠ABD+∠BCD＝90°，6CD＝5CB，则AB＝．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵BD∥AC，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠6＝∠3，∵∠ABD+∠BCD＝90°，∴∠1+∠3+∠5＝90°，∵CF⊥BD，∴∠CFD＝90°，∴∠3+∠8+∠4＝90°，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠4，又∵∠F为公共角，∴△CFD∽△BFC，∴，∵3CD＝5CB，即，∴，∴，∴，设AE＝5x，则BE＝6x，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2BE＝12x，∵△ABC的面积为7.5，∴，∴，∴，（舍去），在Rt△ABE中，由勾股定理得，故答案为：．三、解答题（本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（8分）计算：．【解答】解：．＝1+﹣3﹣2×＝1+﹣5﹣＝3．18．（8分）解方程：x2﹣3x﹣4＝0．【解答】解：∵原方程可化为：（x+1）（x﹣4）＝5，∴x+1＝0或x﹣4＝0，解得，x1＝2，x2＝﹣1．19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）＝0．（1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；（2）如果当m＝2时，α、β为方程的两个根，求α2﹣5α+β的值．【解答】解：（1）∵x2﹣2（m+8）x+m（m+2）＝0，∴Δ＝[﹣7（m+1）]2﹣4m（m+2）＝4＞5，∴不论实数m取何值，方程总有实数根；（2）当m＝2时，其方程为x2﹣4x+8＝0，∵α、β为方程的两个根，∴α4﹣6α＝﹣8，α+β＝4，∴α2﹣5α+β＝α4﹣6α+α+β＝﹣8+7＝﹣2．20．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，垂足为D．（1）求作∠ACB的平分线，分别交AD，AB于点P（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）的条件下，若∠ACB＝60°，求CQ的长．【解答】解：（1）如图，以点C为圆心，与AC，得到两个交点，大于两个交点距离的一半为半径分别作弧，CQ为所作；（2）∵CQ平分∠ACB，∴，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∵CD＝3，∴AC＝6CD＝6，在Rt△ACQ中，∠ACQ＝30°，∴．21．（8分）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件．（1）求每天销售量的平均增长率；（2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，每天可获得最大利润？最在利润是多少元？【解答】解：（1）每天销售量的平均增长率为x，根据题意得：25（1+x）2＝36，解得：x5＝0.2，x4＝﹣2.2（不合题意，舍去），∴每天销售量的平均增长率为20%；（2）设将钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元，∴•W＝（60﹣35﹣y）（36+6y）＝﹣2y2+14y+900＝﹣6（y﹣3.5）8+924.5，∵α＝﹣2＜6，∴当y＝3.5时，W最大＝924.6，∴将钥匙扣的销售价定为每件56.5元时，每天可获得最大利润．22．（8分）奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AD，设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x，∴AD＝90+x，∴tan58°＝＝＝1.60，解得：x＝150，∴AD＝90+150＝240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．23．（10分）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，△ABC中，点A、B、C所对的边分别为a、b、c，在Rt△ADC中，CD＝bsinA∴BD＝c﹣bcosA在Rt△BDC中，由勾股定理：CD2+BD2＝BC2（c﹣bcosA）2+（bsinA）2＝a2，整理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA同理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．利用上述结论解答下列问题：（1）在△ABC中，∠A＝45°，b＝2，求a和∠C的大小（2）在△ABC中，a＝，b＝，（c＞a＞b），求边长c的长度．【解答】解：（1）在△ABC中，a2＝b2+c8﹣2bccosA＝（2）2+4﹣2×2×4×＝4解得，a＝2，23+22＝（3）2∴△ABC为直角三角形，a＝c＝2，∴∠C＝45°；（2）∵b2＝a2+c5﹣2accosB，∴c2﹣c+1＝0，解得，c＝，∵c＞a＞b，∴c＝．24．（14分）综合与实践在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，E为射线BC上一动点（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处基础探究：①如图1，若，则∠AFB的度数为60°．深入探究：②如图2，当，且EF＝EC时，求AB的长．拓展探究：（2）在②所得矩形ABCD中（仅保留AB，BC长），将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，C'，D三点共线时【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵，∴，在Rt△ABD中，，∴∠ABD＝60°，由折叠的性质知AB＝AF，∴△ABF是等边三角形，∴∠AFB＝60°，故答案为：60°；②由折叠的性质知BF⊥AE，EF＝EB，∴∠BGE＝90°，∵EF＝EC，∴EF＝EB＝EC，∴BC＝2BE，即，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CBD＝90°，∴∠BAE＝∠CBD，∴△BAE∽△CBD，∴，即，解得（负值已舍）；（2）如图3，由题意得，，∵四边形ABCD是矩形，∴，AD∥BC，∴∠DCE＝90°，∠CED