《电路与信号》课件模块7

模块7信号的频谱分析——傅里叶分析7.1非正弦周期信号

7.2非正弦周期信号的频谱分析

7.3非周期信号的频谱分析——傅里叶变换

7.4傅里叶变换的性质

7.5电路无失真传输信号的条件

本模块小结习题7

7.1非正弦周期信号

7.1.1非正弦周期信号的分解——傅里叶级数

1.三角形式的傅里叶级数

设周期信号为f(t)，其基本周期为T，角频率w1=2p/T，当f(t)满足狄里赫利条件时，它可以展开成三角形式的傅里叶级数，即(7.1.1)其中，直流分量:

余弦分量幅度:

正弦分量幅度:(7.1.2c)(7.1.2b)(7.1.2a)

2.余弦形式的傅里叶级数

若将式(7.1.1)加以整理合并，即可得到余弦形式的傅里叶级数:

式(7.1.3)与式(7.1.1)中各系数之间有如下关系：(7.1.4)(7.1.3)

3.指数形式的傅里叶级数

将欧拉公式:

代入三角形式的傅里叶级数展开式中，得(7.1.5)令

考虑到an是n的偶函数，bn是n的奇函数(见式(7.1.2(b))、式(7.1.2(c)))，而且

将式(7.1.6)和式(7.1.7)代入式(7.1.5)，得到(7.1.8)(7.1.7)(7.1.6)再令 ，并考虑到

可以得到f(t)的指数形式傅里叶级数为

其系数可以通过下式

求取。其中，n为从－∞到∞的整数。(7.1.10)(7.1.9)由式(7.1.4)和式(7.1.6)可得出傅里叶级数的三角形式、余弦形式以及指数形式的系数关系为(7.1.11)(7.1.12)

【例7.1.1】将图7.1.1所示的函数展开成指数形式和三角形式的傅里叶级数。图7.1.1例7.1.1图

解：在0<t<2π周期内，f(t)的表达式为

由图7.1.1可见，T=2π，则

将上面f(t)的表达式代入式(7.1.10)中，得即

而

于是，由式(7.1.9)可得f(t)的指数形式的傅里叶级数为

若将上式转换成三角形式，则可以得到另一种形式的f(t)表达式为7.1.2非正弦周期信号电路的响应

1.非正弦周期信号的有效值

任何周期信号在电路中都是以电压或电流的形式出现的，若以周期电流i的有效值I为例讨论一般关系，则其定义式为

设i为非正弦周期电流，分解为傅里叶级数为(7.1.13)将i代入式(7.1.13)中，可以得到

对上式中I的展开式进行平方后将会有下列各项：(7.1.14)这样，可以求得I的有效值为

式中，I0，I1，I2…分别为直流分量和各次谐波分量的有效值。

同理，非正弦周期电压u的有效值为(7.1.16)(7.1.15)

2.非正弦周期信号的功率

任意无源单口网络(如图7.1.2所示)的端口电压u、端口电流i的傅里叶级数展开式分别为图7.1.2任意无源单口网络

根据平均功率的定义可知，该无源单口网络吸收的平均功率为

将u和i的表达式代入式(7.1.17)展开积分可以发现，不同频率的正弦电压与电流乘积积分为零(即不产生平均功率)；同频率的正弦电压、电流乘积积分不为零。因而可得出如下结论：(7.1.17)(7.1.18)

【例7.1.2】流过10Ω电阻的电流i=10+14.14cost+7.07cos(2t)A，求电流的有效值和电阻消耗的功率。

解：先计算电流的有效值:

电阻消耗的功率为

P=I2R=225×10=2250W

【例7.1.3】已知电流i=10

cos(ωt60°)+5

cos(3ωt)+10

cos(5ωt+90°)A通过一个元件，并在其上产生电压降u=141cos(ωt)+11cos(3ωt－45°)V，试求：

(1)电流i的有效值；

(2)电压u的有效值；

(3)该元件吸收的功率。

解：(1)电流i的有效值为

(2)电压u的有效值为

(3)该元件吸收的功率为

3.非正弦周期信号的响应

求取非正弦周期信号的响应的步骤如下：

(1)将非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数，并取有限项进行计算(取到哪次谐波项需根据准确度而定)。

(2)分别求直流响应和谐波响应。求直流响应时电容C开路，电感L短路。求谐波响应时应用相量法，注意感抗和容抗对于不同的谐波频率，其阻抗值是变化的，谐波频率增高时，感抗增大，容抗减小。需要分别求取每个谐波分量对应的相量形式的响应。

(3)将以上计算求得的谐波响应分别转换成正弦交流电的瞬时表达式形式，再进行叠加，因为不同频率的电压或电流相量直接相加没有意义。

下面通过例题熟悉上述步骤。

【例7.1.4】如图7.1.3(a)所示的电路中，L=5H，C=10μF，负载电阻R=2kΩ，us的波形为正弦全波整流波形，如图7.1.3(b)所示，设ω1=314rad/s，Um=157V，求负载两端

电压UR的各谐波分量。

解：首先将us展开成傅里叶级数，得

再分别求取各个响应，设负载两端电压的第n次谐波为 (采用复振幅相量)，用节点电位法列公式为图7.1.3例7.1.4图

移项得

在计算中要注意感抗与容抗在不同的谐波分量中的值。

对于2次谐波，感抗2ω1L=2×314×5=3140Ω，容抗对于4次谐波，感抗4ω1L=4×314×5=6280Ω，容抗 。

求得直流响应：

UR0=100V

2次谐波响应：

URm(2)=3.53V

4次谐波响应:

URm(4)=0.171V图7.1.3(a)所示电路为一全波整流电路的滤波电路。它利用了接在串臂上的电感对于高频电流的抑制作用，和接在并臂上的电容对于高频电流的分流作用，使得输入电压中的2次和4次谐波分量大大削弱，而负载两端的电压接近直流电压。

感抗和容抗对于各次谐波的反应不同，这种性质被广泛应用于工程上。可以将电感和电容组成各种不同的电路，以便让某些所需要的频率分量顺利通过，而抑制某些不需要的分量，这种电路称为滤波器。图7.1.4(a)为简单的低通滤波器，图(b)为简单的高通滤波器。滤波器的具体工作原理可以按照例7.1.4的思路考虑。图7.1.4简单滤波器原理 7.2非正弦周期信号的频谱分析

本节将以具体信号为例来说明傅里叶级数在非正弦周期信号的频谱分析中的应用。图7.2.1所示为电信技术中常见的周期信号，根据其形状将它称为矩形脉冲信号。该脉冲信号的周期为T1，脉冲信号的宽度为τ，简称为脉宽。

利用式(7.1.1)和式(7.1.2)可以把矩形脉冲信号f(t)展开成三角形式的傅里叶级数，其中(7.2.1)图7.2.1周期性矩形脉冲信号余弦分量的幅度为

根据抽样函数 ，可将上式写为(7.2.2)由于f(t)是偶函数，因此由式(7.1.2(c))可得出bn=0，同时根据式(7.1.4)可知，此时余弦形式An=an，这样，矩形脉冲的三角形式傅里叶级数可以写为

或

由式(7.1.9)以及ω1T1=2π，可以直接写出矩形脉冲的指数形式傅里叶级数为(7.2.3)(7.2.4)(7.2.5)图7.2.2所示为矩形脉冲周期信号的频谱图。图(a)的纵坐标每条谱线是各谐波的振幅值，为单边频谱图的幅度谱；图(b)中，每条谱线只代表各谐波的振幅值的一半，只有把正、负频率相对应位置上的两条谱线矢量加起来才代表一个谐波分量的振幅，称为双边频谱图的幅度谱；图(c)反映的是各谐波的初相与频谱的关系，称为频谱图的相位谱；图(d)是复数频谱，振幅的正负表示的是相位在0和π之间变化。图7.2.2周期信号的频谱图选择不同的T和τ，将它们的频谱图作比较，如图7.2.3和图7.2.4所示。图7.2.3不同T值对频谱的影响图7.2.4不同τ值对频谱的影响7.3非周期信号的频谱分析——傅里叶变换

7.3.1傅里叶变换的引出

下面仍以周期矩形信号为例进行介绍。图7.3.1(a)所示为周期信号f(t)与它的离散频谱，谱线间隔 ；图(b)所示为T扩大一倍后，谱线间隔ω1变小，即谱线变密了；图(d)所示为当T→∞时，周期信号变为非周期信号，谱线间隔ω1趋于无限小，即ω1→dω，离散频谱变为连续频谱。图7.3.1从周期信号的离散频谱到非周期信号的连续频谱由式(7.1.10)可知，T趋于无限大，谱线的长度 趋于零。但是从物理概念上考虑，既然为一个信号，必然含有一定能量，无论信号怎样分解，其所含能量是不变的，所以无论周期增大到什么程度，频谱的分布依然存在。从数学的角度来看，在极限情况下，无限多的无穷小量之和仍可等于一有限值，此有限值的大小取决于信号的能量。基于以上原因，引入一个新的量——频谱密度函数。其推导如下：

设有一周期信号 ，其基本周期为T1，复数频谱为两边同乘以T1得

由于T1→∞时，ω1→dω，nω1→ω，记

就得到傅里叶变换的定义式：(7.3.1)同样，对于傅里叶级数

将由于T1→∞而引起的上述变化代入上式，可得傅里叶反变换的定义式

式(7.3.1)和式(7.3.2)是用周期信号的傅里叶级数通过极限的方法导出的非周期信号频谱的表示式，称为傅里叶变换(简称为傅氏变换)。式(7.3.1)通常称为傅氏正变换，式(7.3.2)

称为傅氏反变换，在表述时，可写为(7.3.1)

或

F(ω)一般是复函数，可以写为

必须指出的是，前面推导傅里叶变换时并未遵循数学上的严格步骤。从理论上讲，傅里叶变换也应该满足一定的条件才能存在。傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内满足绝对可积条件，即要求7.3.2几种常见信号的频谱

利用傅里叶变换公式可以直接求一些常见信号的傅里叶变换。

【例7.3.1】求单边指数信号的傅氏变换。

解：单边指数信号的时域表达式为

式中，a>0。

傅氏变换为其中：

可以记为

由式(7.3.3)作频谱图，如图7.3.2所示。图7.3.2例7.3.1图

【例7.3.2】求冲激信号的傅氏变换。

解：冲激信号的时域表达式为

及

其傅里叶变换为

记为

由式(7.3.4)作频谱图，如图7.3.3所示。图7.3.3例7.3.2图

【例7.3.3】求f(t)=A的傅氏变换。

解：例7.3.2已经推知，脉宽与带宽成反比，现假设某函数的F(ω)=δ(ω)，求f(t)。利用反变换定义式:

记为

及

其频谱图如图7.3.4所示。图7.3.4例7.3.3图

【例7.3.4】求矩形脉冲的频谱函数。

解：用阶跃函数表示矩形脉冲为

则

记为(7.3.6)矩形脉冲信号的幅度谱和相位谱分别为

F(ω)是实函数，通常用一条F(ω)曲线同时表示幅度与相位关系，如图7.3.5所示。图7.3.5例7.3.4图

【例7.3.5】求正负号信号sgn(t)的频谱函数。

解：如图7.3.6(a)所示，可用阶跃函数表示正负号函数:

sgn(t)=ε(t)－ε(－t)

如图7.3.6(b)所示，正负号函数还可以表示为

而图7.3.6例7.3.5图因此

记为

其频谱虚部I(ω)如图7.3.6(c)所示。

常见信号及其频谱函数如表7.3.1所示。 7.4傅里叶变换的性质

7.4.1线性

若

， ，则

(7.4.1)

由傅氏变换的定义式很容易证明上述结论，显然傅氏变换是一种线性运算。

【例7.4.1】求单位阶跃信号的频谱函数，如图7.4.1所示。图7.4.1例7.4.1图

解：单位阶跃函数ε(t)不满足绝对可积条件，不能直接由定义求傅氏变换，可将它看做幅度为1/2的直流信号与幅度为1/2的符号函数之和，即

所以

可记为(7.4.2)7.4.2对称性

若 ，则

证明：由傅氏反变换式

得(7.4.3)将变量t与ω互换，可以得到

所以

F［F(t)］=2πf(－ω)

(7.4.4)

若f(t)是偶函数，则上式变成

F［F(t)］=2πf(ω)

(7.4.5)

7.4.3时延性

若 ，则(7.4.6)

证明：

令x=t－t0，则

所以

同理可得

【例7.4.2】利用时延性重新求矩形脉冲Gτ(t)的频谱函数。

解：

根据时延性

所以

7.4.4频移性

若 ，则

(ω0为实常数)

证明：设

则

即F1(ω)=F(ω－ω0)，所以

同理有(7.4.7)(7.4.8)由于

所以设 ，根据频移性，得(7.4.9)

【例7.4.3】已知矩形调幅信号f(t)=EGτ(t)cos(ω0t)，试求其频谱函数F(ω)，并画出频谱图。

解：控制信号EGτ(t)为如图7.4.2所示的矩形脉冲，现重画出于图7.4.3(a)，载波cos(ω0t)是高频等幅波，如图7.4.3(b)所示，两者相乘即为载波幅度随矩形脉冲变化的矩形调幅波，如图7.4.3(c)所示。图7.4.2例7.4.3图一图7.4.3例7.4.3图二

已知 ，其频谱图如图7.4.3(d)所示，而

由式(7.4.7)和式(7.4.8)可得f(t)的频谱函数F(ω)为

F(ω)-ω如图7.4.3(e)所示。

【例7.4.4】已知f(t)=cos(ω0t)，试确定其频谱F(ω)。

解：由于 ，且已知 ，根据频移性，则有

根据线性得

同理可得

由式(7.4.10)可知，周期信号cos(ω0t)和sin(ω0t)的频谱是两个强度为π、位于±ω0处的冲激。其频谱图如图7.4.4所示。(7.4.10(b))(7.4.10(a))图7.4.4例7.4.4图

【例7.4.5】试确定有始信号f(t)=cos(ω0t)ε(t)的频谱F(ω)。

解：由于 ，根据频移性有

根据线性，则有(7.4.11)7.4.5尺度变换性(时频展缩性)

若 ，则

证明：设 ，则

若a＞0，设at=x，则有 和 ，将它们一起代入式①后，得①即

若a＜0，设at=－bt=x，则有 和

，将它们一起代入式①后，得所以无论是a＞0，还是a＜0，必有

若a=－1，则得

式(7.4.12)表明，f(t)的反折信号f(－t)的频谱函数等于f(t)的频谱函数F(ω)的反折。也就是说，信号在时域中沿纵轴反折对应于在频域中频谱也沿纵轴反折。

尺度变换特性可由图7.4.5所示的矩形脉冲加以说明。图7.4.5尺度变换性用图尺度变换性还揭示了信号的持续时间(即脉宽)与它所占有的频带宽度间存在的反比关系。这与前面对周期信号频谱分析的结论是一致的。所以在通信技术中，欲使通信速度提高(即压缩脉宽)，就不得不以展宽信道的带宽作为代价。

当f(t)既发生时移运算，又发生尺度运算，即由f(t)变成f(at+b)时，不难证明：(a、b均不为零)(7.4.13)

【例7.4.6】求图7.4.6(a)所示的偶双边指数衰减信号f(t)=e－a|t|(a＞0)的频谱函数F(ω)，并画出频谱图。图7.4.6例7.4.6图

解：图7.4.6(a)所示信号f(t)可看成左右两指数信号的合成，即f(t)=f1(t)+f2(t)，其中

f1(t)=e－atε(t)

f2(t)=eatε(－t)=f1(－t)

已知

由式(7.4.12)得根据线性得

即

其频谱图如图7.4.6(b)所示。(7.4.14)7.4.6微分性

傅氏变换的微分性分为时域微分性与频域微分性。

1.时域微分性

若 且f(－∞)=f(∞)=0，则

证明:

将傅氏反变换式

的等号两边同时对t微分，有

当f(－∞)=f(∞)=0时，上式可改写为

即

同理可证得时域微分性表明：信号在时域中对t取n阶导数对应于在频域中乘以因子(jw)n。

此性质的简单应用实例为：若已知 ，

则可应用此性质求出冲激d(t)和二次冲激d'(t)的傅氏变换为

2.频域微分性

若

，则

证明：将傅氏正变换式

的等号两边同时对ω微分，有即

同理可证得

【例7.4.7】求f(t)=Ete－atε(t)的频谱函数。

解：由于

根据频域微分性，得

【例7.4.8】已知 ，求(t－t0)f(t－t0)的频谱函数。

解法一：由于

根据时延性，得

解法二：由于

(t－t0)f(t－t0)=tf(t－t0)－t0f(t－t0)

根据时延性，有根据频域微分性，有

根据线性性质，得

【例7.4.9】已知 ，求其原函数f(t)。

解：由于 ，对频率ω微分一次，为

根据频域微分性，得

所以

f(t)的波形如图7.4.7所示。图7.4.7例7.4.9图7.4.7时域积分性

若 ，则

证明：因为

由傅氏正变换的定义，有对上式交换积分次序(使内层对t积分，外层对τ积分)，并考

虑到延时阶跃信号ε(t－τ)的傅氏变换为 ，则上式演变为

即上式中，F(0)为F(ω)在ω=0处的值，即

从几何意义上讲，说明F(0)就是信号f(t)与横轴t围成的净面积。很明显，如果F(0)=0(即f(t)与t轴围成的净面积为零)，则时域积分性可简化为

进一步可得出(7.4.16(b))(7.4.16(a))

【例7.4.10】求图7.4.8(a)所示三角脉冲f(t)的频谱函数F(ω)。

解：图7.4.8(a)所示的三角脉冲f(t)的表达式为

直接求f(t)的频谱计算繁琐，可先求其导函数的频谱。由于

f'(t)与f''(t)的波形分别如图7.4.8(b)、(c)所示。图7.4.8例7.4.10图因为 ，所以根据时延性和线性性质，得

因为 (或因f(t)满足绝对可积条件)，所以选用式(7.4.16(b))，得

【例7.4.11】求图7.4.9(a)所示信号f(t)的频谱函数F(w)。

解：由于f(－∞)+f(∞)≠0，所以不能直接套用例7.4.10的办法求解，但可这样处理：先将f(t)分解为图(b)所示的直流信号f1(t)与图(c)所示的信号f2(t)之和；然后分别求出f1(t)、

f2(t)的频谱函数，再代数相加求得F(w)。在求f2(t)的频谱函数时可采用上例的办法。

由图(b)可得

F1(w)=F［f1(t)］=F［1］=2pd(w)

由图(d)可知，为脉宽τ=2、幅度 的门信号，所以图7.4.9例7.4.11图

选用式(7.4.16)，得

根据线性性质，可得7.4.8卷积定理

1.时域卷积定理(时域的卷积对应于频域的乘积)

若 ， ，则

证明：由于

所以(7.4.17)

即

【例7.4.12】已知 ，求f(t)=f1(t)*f1(t)的频谱函数F(ω)。

解：由于f1(t)是幅度E=1、脉宽τ=1的门信号，因此，有

根据时域卷积定理，得

2.频域卷积定理(频域的卷积对应于时域的乘积)

若 ， ，则

其中：

证明：(7.4.18)

【例7.4.13】试利用频域卷积定理重解例7.4.3。

解：例7.4.3的内容是求取f(t)=EGt(t)cos(w0t)的频谱函数。

已知：

根据频域卷积定理，得

即所得结果与例7.4.3用频移性所得完全相同。

到此为止，共讨论了傅里叶变换常用的8个基本性质，现列于表7.4.1，以便查阅。表7.4.1傅里叶变换的基本性质 7.5电路无失真传输信号的条件

一个给定的线性时不变电路，在输入信号f(t)激励下将产生零状态响应y(t)。从信号变化的角度看，电路是一个加工或处理信号的装置，其功能是根据电路本身的特性，将输入信号f(t)经过加工或处理使之成为输出信号y(t)。电路的这种功能在时域分析中表示为

y(t)=f(t)*h(t)

(7.5.1)

根据卷积定理，这种功能在频域分析(频域输出与频域输入关系)中表示为

Y(ω)=F(ω)·H(ω)

(7.5.2)

其中，F(ω)=F［f(t)］，H(ω)=F［h(t)］，Y(ω)=F［y(t)］。由式(7.5.2)可得

H(w)是一个与输入无关、具有频域表征电路本身特性的重要函数，称为频响函数或网络函数。因此，信号通过电路时，从时域观点看，改变输入波形成为新的波形输出；从频域观点看，改变输入信号的频谱结构，组成新的频谱结构输出。显然，这种波形或频谱的改变将直接取决于电路本身的特性，即取决于其冲激响应h(t)或频响函数H(w)。通常把电路对信号的这种处理、加工功能称做“加权”(或滤波)，并把频响函数H(w)称为加权函数。一般H(w)是w的复函数，可写成为

H(ω)=|H(ω)|ejq(w)(7.5.3)如果要求信号不失真地传输，那么对传输信号的电路有何要求呢？

所谓无失真传输，是指电路的输出与输入信号相比，只有幅度大小和出现时间先后的不同，而波形形状应保持不变。此时，输出与输入信号之间的关系为

y(t)=Kf(t－t0)

(7.5.4)

即输出y(t)的幅度为输入f(t)的K倍，但在时间上延迟了t0秒，如图7.5.1所示。对式(7.5.4)等号两边同取傅氏变换，根据时移性，有(7.5.5)图7.5.1无失真传输示意图因此，无失真传输电路的频响函数为

其中:

|H(ω)|=K

θ(ω)=－ωt0

(7.5.7)

这说明无失真传输电路应满足两个条件：电路频响函数的幅频特性|H(ω)|在整个频率范围内必须为常数，即电路的通频带为无限大；电路的相频特性θ(ω)在整个频率范围内与角频率成正比。频谱图如图7.5.2所示。(7.5.6)图7.5.2无失真传输电路的条件

【例7.5.1】已知某电路在输入信号f(t)=(e－t+e－3t)ε(t)激励下的零状态响应为y(t)=(2e－t－2e－4t)ε(t)，试求：

(1)该电路的频响函数H(ω)；

(2)该电路的冲激响应h(t)。

解：(1)由于所以

(2)由于

所以

【例7.5.2】在图7.5.3所示的传输网络中，已知输入信号f(t)=4cos(400t)，载波信号s(t)=cos(500t)，而低通滤波网络h(t)的傅里叶变换为H(ω)=ε(ω+120)－ε(ω－120)，求输出信号y(t)。

解：调制器的输出：

r(t)=f(t)s(t)=4cos(400t)·cos(500t)=2［cos(900t)+cos(100t)］

由式(7.4.10)知：

所以

R(ω)=F［r(t)］=2π［δ(ω+900)+δ(ω－900) +δ(ω+100)+δ(ω－100)］由于

Y(ω)=F［y(t)］=F［r(t)*h(t)］=R(ω)·H(ω)=2π ［δ(ω+100)+δ(ω－100)］

所以

y(t)=F－1［Y(ω)］=2cos(100t)图7.5.3例7.5.2图

【例7.5.3】图7.5.4(a)为一抑制载波振幅调制的解调网络，其中低通滤波器的幅频特性如图(b)所示，相位特性θ(ω)=0。若输入信号 ，已调信号x(t)=f(t)cos(1000t)，本机振荡信号s(t)=cos(1000t)，调制器的输出信号r(t)=x(t)s(t)，试求网络的总输出信号y(t)。

解：第一步，利用对称性先确定输入 的频谱函数F(ω)。

由于(－∞＜t＜∞)图7.5.4例7.5.3图所以