自动控制原理 课件 4.1 根轨迹法的基本概念

4.1根轨迹法的基本概念通过前面的分析可知，闭环控制系统的稳定性和动态特性主要由闭环系统特征方程的根（即闭环极点）决定。因此，研究闭环特征根在平面的分布可以间接分析控制系统的性能。对于高阶系统而言，直接求解特征根非常困难。因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征根，进而分析控制系统性能的有效方法。WalterRichardEvans（1920-1999）1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了根轨迹法，并且在控制系统的分析与设计中得到广泛的应用。这是一种由开环传递函数间接判断闭环特征根的概略图解法，从而避免了直接求解系统闭环特征根的困难。4.1.1根轨迹的定义根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹。3例子如图4-1-1所示二阶系统，系统的开环传递函数为（4-1-1）开环传递函数有两个极点p1=0、p2=-2，没有零点，开环增益为K。闭环特征方程闭环特征根

闭环传递函数（4-1-2）如果令开环增益K:0→∞，可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值标注在s平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-1-2所示。图上，粗实线就称为系统的根轨迹，根轨迹上的箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的开环增益K的数值。利用图4-1-2所示的系统根轨迹图能方便地分析系统性能随参数K变化的规律。稳定性：当K由0→∞变化时，系统的闭环极点s1，s2均在s平面的左半平面，因此，系统对所有的K值均是稳定的。动态性能：当0<K<0.5时，闭环极点s1，s2为两个不相等的负实极点，系统过阻尼；当K=0.5时，闭环极点为两个相等的负实极点，系统临界阻尼；当K>0.5时，闭环极点为一对具有相同负实部的共轭复数极点，系统欠阻尼。稳态性能：系统在坐标原点有一个开环极点，系统属于Ⅰ型系统，因而根轨迹上的K值就是稳态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。根轨迹与系统的特性有着密切的关系。有了系统的根轨迹，就可以了解系统性能随参数变化的情况。4.1.2根轨迹方程系统闭环传递函数为闭环控制系统一般可用图4-1-3所示的结构图来描述。图4-1-3闭环控制系统结构图（4-1-2）系统开环传递函数为（4-1-3）式中，K*是根轨迹增益，从零到无穷大变化；zi、pj分别是开环零点、开环极点。并假定n≥m。闭环特征方程即将式（4-1-3）带入式（4-1-4），得

（4-1-5）满足式（4-1-5）的点，必定是根轨迹上的点，称式（4-1-5）为根轨迹方程。不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。（4-1-4）模值方程相角方程（4-1-6）（4-1-7）方程（4-1-6）和（4-1-7）是根轨迹上的点同时满足的两个条件。根据这两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应的K*值。由式（4-1-7）可知，相角条件与根轨迹增益K*无关，因此，相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件，而模值条件可以作为确定根轨迹上各点的K*值的依据。例4-1已知单位负反馈系统的开环传递函数

试判断是否在根轨迹上。解：系统有三个开环极点p1=0，p2=-2，p3=-5，无开环零点。将开环零、极点及K*同时标注在复平面上，如图4-1-4所示。点s1若在根轨迹上，必须满足相角条件。将p1、p2、p3带入式(4-1-7)，得显然，点s1不满足相角条件，所以点s1不在根轨迹上。例4-2已知单位负反馈控制系统开环传递函数为，确定根轨迹上点所对应的K*值。解：系统有三个开环极点p1=0，p2=-1，p3=-5，无开环零点。将根轨迹上点

代入式(4-1-6)，得得到根轨迹法可以在已知开环零、极