2025年新高考数学一轮复习第5章第五章平面向量与复数(测试)(学生版+解析)

第五章平面向量与复数（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．2．已知向量，则（

）A． B．2 C． D．33．复数在复平面内对应的点位于（

）A．直线上 B．直线上C．直线上 D．直线上4．若复数满足，则等于（

）A． B． C． D．5．设是关于的方程的两根其中，若（为虚数单位）.则（

）A． B． C． D．26．已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知，都是正实数，若向量，，且满足，则的最小值是（

）A．50 B． C． D．8．是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（

）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知平面向量，.(1)求的值；(2)求与夹角的余弦值.16．（15分）已知复数与．(1)求及的值；(2)设，满足的点Z的集合是什么图形？17．（15分）在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根．(1)直接写出复数的3次单位根，并指出那些是复数的3次本原单位根（无需证明）．(2)①若是复数的8次本原单位根，证明：．②若是复数的次本原单位根，证明：．18．（17分）如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点.(1)求的值；(2)若为线段的中点，求的值；(3)试确定点的位置，使得最小.19．（17分）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为.(1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值；(2)写出函数的“伴随向量”为，并求；(3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为.①若，求的取值范围；②求证：向量的充要条件是.第五章平面向量与复数（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为向量均为单位向量，即，且，，则，两边平方可得，即，所以，又，所以与的夹角为．故选：C．2．已知向量，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】由两边平方得，，所以，所以，所以，故选：D.3．复数在复平面内对应的点位于（

）A．直线上 B．直线上C．直线上 D．直线上【答案】B【解析】易知，所以，可得复数在复平面内对应的点的坐标为，位于直线上.故选：B4．若复数满足，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】复数满足，.故选：A5．设是关于的方程的两根其中，若（为虚数单位）.则（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】因为关于的方程的一个根为，所以另一个根，所以.故选：A.6．已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，由两边平方得，，整理得，，因是非零不共线向量，则，即，解得，，此时函数是增函数，故，即的取值范围为.故选：D.7．已知，都是正实数，若向量，，且满足，则的最小值是（

）A．50 B． C． D．【答案】A【解析】因为向量，，且，则，所以，化简可得，整理可得，因为，都是正实数，所以，即，所以，解得或（舍），所以，即，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值是.故选：A8．是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，（且），则（且），则在线段上，如图所示，当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为；当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最大值为；则在上的投影向量的长度的取值范围是．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（

）A．若，，则B．已知向量，，则C．若，则和在上的投影向量相等D．已知，，，则点A，B，D一定共线【答案】CD【解析】对于A，若，，则与可能平行，故A错误；对于B，设，则，解得，所以，故B错误；对于C，若，则，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正确；对于D，因为，，所以,所以点A，B，D一定共线，故D正确.故选：CD.10．已知复数，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A，设，显然，但，故A错；对于B，设，则，，，所以，故B对；对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量，复数加减法对应向量加减法，故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，所以，，故C对，D对.故选：BCD.11．已知点，，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若， D．的最大值为【答案】ACD【解析】由题意可知，，对于A，当时，，所以,即，故，故A正确；对于B，因为，所以存在实数，使得，即，解得，故或，故B错误；对于C，因为，所以，解得，故C正确；对于D，因为，所以，其中，所以当时，，故D正确.故选：ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则.【答案】【解析】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，，所以.故答案为：13．已知复数，且，则的最小值是．【答案】1【解析】因为复数，且，所以，所以，得，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即或（舍去）时取等号，所以的最小值是1.故答案为：114．如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为.若在线段上有一个动点，则的最小值为.【答案】6【解析】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为，所以，，则；，显然，当为的中点时，，所以故答案为：6；．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知平面向量，.(1)求的值；(2)求与夹角的余弦值.【解析】（1），（3分）故；（6分）（2）设与夹角为，，（12分）故与夹角的余弦值为（13分）16．（15分）已知复数与．(1)求及的值；(2)设，满足的点Z的集合是什么图形？【解析】（1），；（7分）（2）由（1）知，设（x、）．因为不等式的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合，不等式的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合，（12分）所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．（15分）17．（15分）在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根．(1)直接写出复数的3次单位根，并指出那些是复数的3次本原单位根（无需证明）．(2)①若是复数的8次本原单位根，证明：．②若是复数的次本原单位根，证明：．【解析】（1）由题意可得的解为，（3分）则复数的3次单位根为，由于因为，的一次方以及2次方均不等于1，故复数的3次本原单位根为.（6分）（2）证明：①因为是复数的8次本原单位根，所以.当时，即时，最小.（17分）法二：建立如图平面直角坐标系，则，，，，设()，则，当时，即时，最小．（17分）19．（17分）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为.(1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值；(2)写出函数的“伴随向量”为，并求；(3)已知，的“伴随函数”为，