浙江省丽水发展协作体2022-2023学年高三上学期数学1月期末试卷

浙江省丽水发展协作体2022-2023学年高三上期数学1月期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．设集合A={x|0<x≤1}，B={x|x2−2x≤0}A．[0，+∞) B．[0，1] C．2．设z=3+4i，则zi+zA．−1+2i B．−1−2i C．1+2i D．1−2i3．已知向量|a|=2A．5 B．6 C．7 D．24．已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为（）A．π3 B．3π3 C．π5．有5本不同的书，其中语文书2，数学书3，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A．110 B．15 C．3106．将函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)的图像向右平移2πA．2 B．3 C．4 D．67．已知a=3A．c>a>b B．b>c>a C．a>c>b D．c>b>a8．将菱形ABCD沿对角线AC折起，当四面体B−ACD体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（）A．13 B．15 C．110二、多选题9．已知正方体ABCD−A1BA．AE//面A1BBC．A1E⊥AD1 10．已知函数f(x)定义域为R，且f(0)=0，A．函数f(x)对称中心为(1，1) C．f(3)+f(−1)=−2 D．f(−3)+f(1)=−211．抛物线C：x2=4y，过焦点F的直线l与抛物线C交于A．|AB|最小值为4B．∠AMB有可能是钝角C．当直线l的倾斜角为π6时，△AFM与△BFMD．当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，|12．已知e为自然对数的底数，设f(x)=(x−1)(A．当k=1时，f(x)既有极小值又有极大值B．当k=1时，f(x)只有极小值无极大值C．当k=2时，f(x)既有极小值又有极大值D．当k=2时，f(x)只有极小值无极大值三、填空题13．(x−214．已知圆C1：x2+y2=415．若函数f(x)=ax+sinx的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a是16．已知F1，F2是椭圆E：x2a2四、解答题17．已知数列{an}的前n项和为S（1）求an（2）求数列{bn}前n18．已知锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bsinB−csinC=(b−a)sinA.（1）求C；（2）若c=3，求a−b19．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折得到四面体D1（1）求点B到平面D1（2）求二面角C−AD20．为了解学生玩手机游戏情况，随机抽取100名男生和100名女生，通过调查得到如下数据：100名女生中有10人会玩手机游戏，100名男生中有40人会玩手机游戏.附：K2=n（1）判断是否有99%认为性别与玩手机游戏有关联；（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中玩手机游戏人数为X，求X的分布列、数学期望和方差.P(0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82821．已知A(−1，0)，B(1，0)为双曲线C：x2a2−y2b（1）求双曲线的标准方程；（2）直线CD是否经过定点？若是，求出该定点.22．已知函数f(x)=e（1）求函数f(x)在点(1（2）若x1，x（i）f(x)≥e（ii）|x

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由x2−2x≤0得：0≤x≤2，即B=[0，2]，又故答案为：C.

【分析】解一元二次不等式可求得集合B=[0，2．【答案】B【解析】【解答】因为z=3+4i，所以z=3−4i则zi+z故答案为：B

【分析】根据共轭复数的概念得z=3−4i3．【答案】C【解析】【解答】解：因为向量|a所以a2+b所以|a故答案为：C

【分析】利用平面向量数量积的运算得a⋅4．【答案】B【解析】【解答】解：设圆锥的母线为l，由题意得π×l×1=2×π×1解得l=2，所以圆锥的高为h=l所以圆锥的体积为V=1故答案为：B

【分析】设圆锥的母线为l，根据圆锥的侧面积是底面积2倍，求得l=2，进而得到圆锥的高h=35．【答案】A【解析】【解答】若同一科目的书都不相邻，则先将3书排序，然后将2语文书插入中间2空，所以，同一科目的书都不相邻的概率是P=A故答案为：A.

【分析】利用插空法以及古典概型的概率公式可求得同一科目的书都不相邻的概率.6．【答案】B【解析】【解答】由题有sin[ω(x−则2ωπ3=2kπ，k∈Z，得ω=3k，k∈Z，结合故答案为：B

【分析】由题有sin[ω(x−2π37．【答案】D【解析】【解答】因为1<e<π，所以1<e3<设f(x)=ln则f'令f'当0<x<e时，f'(x)>0，当x>e时，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在因为e<3，所以lne因为3e>0，所以3ln即lne由函数y=lnx在所以e3>3所以c>b>a，故答案为：D.

【分析】因为1<e<π，所以1<e3<π3，所以c>b，然后构造新函数f(x)=lnxx，x>0，利用函数导数得到f(x)在8．【答案】C【解析】【解答】不妨设菱形的边长为3，AC=2x，0<x<3外接球半径为R，内切球半径为r，取AC中点为O，连接OB，因为BA=BC，所以BO⊥AC，当平面BAC⊥平面DAC时，平面BAC∩平面DAC=AC，BO⊂平面BAC，所以BO⊥平面DAC，此时四面体B−ACD的高最大为BO=3−因为DA=DC，所以DO⊥ACS所以VB−ACDV'令V'B−ACD=−令V'B−ACD=−所以VB−ACD=13(所以当x=1时VB−ACD最大，最大体积为V此时AC=2x=2，以四面体的顶点构造长方体，长宽高为a，则有a2+b2=3所以外接球的表面积为4πRS又因为BA=DA=3所以S△BADBC=DC=3所以S△BCD所以13所以r=24，所以内切球的表面积为所以内切球和外接球表面积之比为12故答案为：C.

【分析】不妨设菱形的边长为3，AC=2x，0<x<3，外接球半径为R，内切球半径为r，取AC中点为O，连接OB，OD，BD，当平面BAC⊥平面DAC时，此时四面体B−ACD9．【答案】B,C【解析】【解答】AE与平面A1BB∵AC⊥DD1，AC⊥BD∴AC⊥面BDBD1∴AC⊥BD连接A1B，∵E为BC∴A1E⊥BC1由于A1B1⊥B1C，故A故答案为：BC.

【分析】AE与平面A1BB1相交于点A，判断选项A，体对角线与异面的面对角线相互垂直，判断选项B，连接A1B，A1C1，△A1B10．【答案】B,D【解析】【解答】令g(x)=f(x−1)+1对A：g(x)可以认为是由f(x)向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，若g(x)为奇函数，则g(x)的对称中心为(0，0)，故函数f(x)对称中心为对B：若g(x)为定义在R上的奇函数，则g(0)=f(−1)+1=0，B符合题意；对C、D：若g(x)为奇函数，则g(−x)+g(−x)=0，即[f(x−1)+1]+[f(−x−1)+1]=0，得f(x−1)+f(−x−1)=−2，令x=4，得f(3)+f(−5)=−2，但无法确定f(−1)与f(−5)是否相等，C不符合题意；令x=2，得f(1)+f(−3)=−2，D符合题意；故答案为：BD.

【分析】根据奇函数的定义与性质逐项判断即可.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】抛物线C：x2=4y的焦点为(0，1)，过焦点对于A，由题意知l的斜率必存在，设直线l方程为y=kx+1，设A(联立y=kx+1x2=4y，则x则x1+x故|AB|=y1+即|AB|最小值为4，A符合题意；对于B，MA=故MA=(则cos∠AMB=即∠AMB不可能是钝角，B不符合题意；对于C，当直线l的倾斜角为π6时，直线l方程为y=由A的分析知x2−4kx−4=0即解得x1又△AFM与△BFM面积之比为12对于D，因为点A在第一象限，当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，直线AM与抛物线C一定相切，直线AM的斜率存在，设直线AM的方程为y=mx−1，所以由y=mx−1x2=4y故Δ'又因为点A在第一象限，所以m>0，则m=1，则x2−4mx+4=0即x2−4x+4=0，解得此时直线l的斜率为1−12−0=0，即直线l的方程为此时B(−2，故答案为：ACD

【分析】设直线l方程为y=kx+1，联立抛物线方程得根与系数的关系，利用抛物线弦长公式可判断A；利用向量的夹角公式计算cos∠AMB=MA⋅MB|MA||MB|=412．【答案】B,C【解析】【解答】对于AB选项，当k=1时，f(x)=(x−1)(ln则f'(x)=lnx−1得f'(x)=g(x)在又f'(1)=−1<0，则f'故∃x0∈(1，2)，则x∈(0，x0x∈(x0，+∞)，fx=x对于CD，当k=1时，f(x)=(x−1)(则f'(x)=(ln令h(x)=lnx+1−2x，x>0，则h'(x)=1x结合h(x)和函数y=lnx−1均在则当x∈(0，x1当x∈(x1，当x∈(e，+∞)，故f(x)在x=x1时取得最大值，在故答案为：BC

【分析】k=1时，f'(x)=lnx−1x，令g(x)=lnx−1x，x>0，则g13．【答案】60【解析】【解答】由题意(x−2令3−3r故(x−2故答案为：60

【分析】利用二项式展开式通项公式Tr+1=C14．【答案】2【解析】【解答】将圆C1：x即得AB的方程为x+y+2=0，则C1：x2+则(0，0)到直线故|AB|=22故答案为：2

【分析】将两圆方程相减求得公共弦AB的方程x+y+2=0，则(0，0)到直线AB的距离为15．【答案】0【解析】【解答】注意到，f'若函数f(x)上存在两条切线垂直，则存在x1、xf⇔⇔⇔cosx故答案为0

【分析】f'(x)=a+cosx，若函数f(x)上存在两条切线垂直，则存在x1、x16．【答案】(【解析】【解答】设A(x1，则F1因为F1A=3F2由x12a2+因为E上存在不同的两点A，B，且F1A=3又0<e<1，所以12故答案为：(1

【分析】设设A(x1，y1)，B(x2，y217．【答案】（1）解：Sn=当n≥2时，Sn−1=①−②得a又a1故an（2）解：因为bn=a所以Tn=12T③−③得：1即1即Tn【解析】【分析】（1）由n≥2时，an=Sn-Sn−1，可求得数列an=n(n≥2)，又a18．【答案】（1）解：由正弦定理，bsinB−csinC=(b−a)sinA⇒又c2=a（2）解：因为c=3所以csinCa−b=2(sinA−sinB)=2[sinA−sin(π−A−π3)]=2[sinA−sin(A+所以0<A<π20<B=令t=A−π3，所以所以a−b∈(−1，【解析】【分析】（1）利用正弦定理将bsinB−csinC=(b−a)sinA化为b2−c2=(b−a)a，再利用余弦定理可得答案；

（2）利用正弦定理得到c19．【答案】（1）解：由题意可得AD又AD1⊥CD1，BD1设点B到平面D1AC的距离为利用等体积法：VD所以13×1（2）解：以B点为原点，BC为x轴，BD1为y轴，过B平行与D1A的射线为z轴建立空间直角坐标系，B(0，0，设平面CAD1法向量为n1=(xn1⋅AC=0n故n1=(n2⋅AB=0n故n2=(cos⟨n结合图形可知，二面角的大小是锐角，故二面角C−AD1−B的余弦值为3【解析】【分析】（1）根据题干数据，先可以证明AD1⊥面BCD1，设点B到平面D1AC的距离为h，然后利用等体积法：VD1−ABC=13S△BCD1⋅AD1=13S△D120．【答案】（1）解：列联表如下：不玩手机游戏玩手机游戏合计男6040100女9010100合计15050200χ有99%认为性别与玩手机游戏有关联.（2）解：由题意可得，经常玩手机游戏的频率为50200则在本校中随机抽取1人玩手机游戏的概率为14随机变量X的所有可能取值为0由题意可得，X∼B(3，P(X=k)=故X的分布列为：X0123P272791故E(X)=3×D(X)=3×1【解析】【分析】（1）根据题意列列联表，计算得χ2=24>6.635，有99%认为性别与玩手机游戏有关联；

（2）本校中随机抽取1人玩手机游戏的概率为14，随机变量X21．【答案】（1）解：依题可知a=1，双曲线的渐近线方程为y=±bx所以焦点到渐近线的距离为bca2+（2）解：设C(x1，由x=my+tx2−y又A，P，CB，P，D联立①②得y1x1即(2t−4)y将y1+y2=所以t=2，即直线CD是否经过定点(2，【解析】【分析】（1）依题可知a=1，然后结合点到直线的距离公式及双曲线的性质可求b=3，所以双曲线方程为C：x2−y23=1；

（2）设C(x1，y1)，D(x2，y2)22．【答案】（1）解：∵f'(x)=ex∴所求切线方程为：y−2e14（2）证明：（i）令g(x)=ex