湖北省部分市州2023-2024学年高三上学期元月期末联考数学试卷

湖北省部分市州2023-2024学年高三上学期元月期末联考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知i为虚数单位，则(1A．−i B．i C．-1 D．12．定义全集R，A={x∣x⩾1}，A．(−∞，1) B．(−∞，e) C．3．设命题p：数列{an}是等比数列，命题q：数列{a2k−1}和A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，且如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式是唯一的.如12=2A．25 B．20 C．15 D．125．某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%，选择另一项活动的人数占50%到55%，则下列说法正确的是（）A．同时选择两项参加的人数可能有100人B．同时选择两项参加的人数可能有180人C．同时选择两项参加的人数可能有260人D．同时选择两项参加的人数可能有320人6．圆锥SO中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为3，侧面展开图面积为63π，底面圆周上有两动点A，A．4 B．25 C．337．抛物线C的方程为x2=4y，过点P(0，2)的直线交C于A，B两点，记直线A．-2 B．-1 C．−12 8．已知函数f(x)A．f(x)的一个周期为πB．f(x)在区间(−πC．f(x)的图象关于点(πD．f(x)的最小值为2二、多选题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.9．新能源汽车相比较传统汽车具有节能环保､乘坐舒适､操控性好､使用成本低等优势，近几年在我国得到越来越多消费者的青睐.某品牌新能源汽车2023年上半年的销量如下表：月份123456销量（万辆）11.712.413.813.214.615.3针对上表数据，下列说法正确的有（）A．销量的极差为3.6B．销量的60%分位数是13.2C．销量的平均数与中位数相等D．若销量关于月份的回归方程为y=0.7x+b10．已知圆x2+(y−1)2=1与y轴交于OA．|AB|B．∀x∈R，C．−2⩽D．令OA=λOB+μOC11．设f(x)=x3−3x2+a，点A是直线A．0条 B．1条 C．2条 D．3条12．如图，某工艺品是一个多面体PABCD，AC=BD=42cm，AB=BC=CD=DA=213A．异面直线AD与BC所成角的余弦值为9B．当点E为AD的中点时，线段EF的最小值为4cmC．工艺品PABCD的体积为48cD．工艺品PABCD可以完全内置于表面积为64πcm三、､填空题：每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=x⋅lg(x2+1−ax)14．若角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(−35，415．已知方程eax−1+(a−1)x−1−lnx=0有唯一实根，则实数a的取值范围是16．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A，B，Q为椭圆上异于A，四、解答题：共70分.解答题需要在答题卡上写出必要的说明或推理过程.17．如图，在△ABC中，AB=AC=6，点D是边BC上一点，且AD⊥AB，cos∠CAD=（1）求△BCE的面积；（2）求线段AD的长.18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60∘，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，（1）求二面角A−BE−F的正弦值；（2）是否存在点H使得GH∥平面BEF？若存在，求EHED19．第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行.这是中国为世界呈现的体育盛会，也是亚洲人民携手写就的崭新篇章.现有某场乒乓球比赛采用5局3胜制，先赢3局的一方获胜，比赛结束.若参加比赛的甲每局比赛战胜对手乙的概率均为23（1）求比赛恰好进行4局甲获胜的概率；（2）设比赛进行的总局数为X，求X的分布列和数学期望；（3）如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择，从概率角度考虑，乙如何选择对自己有利？请直接写出选择方案.20．已知正项数列{an}的前n项和为S（1）证明：数列{S（2）若数列{bn}满足bnbn+1−bn21．已知0<x<π（1）证明：tanx−xx−sinx（2）若tanx+2sinx−ax>0恒成立，求实数a的取值范围.22．已知双曲线C与双曲线y24−（1）已知M(0，t)(t>4)，（2）已知动直线l：y=kx+m(k≠±2)与曲线C有且仅有一个交点P，过点P且与l垂直的直线l1与两坐标轴分别交于A(（i）求点Q的轨迹方程；（ii）若对于一般情形，曲线C方程为y2a2−x2b

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】已知i为虚数单位，则(12+32．【答案】A【解析】【解答】定义全集R，A={x∣x⩾1}，B={y|y=ex，x∈A|=yy≥e，所以A∪3．【答案】A【解析】【解答】设命题p：数列{an}是等比数列，命题q：数列{a2k−1}和{a2k}(k∈N*)均为等比数列，

先证充分性，因为数列{an}是等比数列，所以其中奇数列{a2k−1}和偶数列{a4．【答案】B【解析】【解答】由题意，因为2000=24×53，则2000的不同的正因数由2与5的乘积组成，

又因为有4个2，3个5，

则选2时，有0，1，2，3，4共5种取法，同理，选5时，有0，1，2，3共4种取法，

即2000的不同正因数个数为5．【答案】B【解析】【解答】依题意，参加两项活动的最低人数为1200×(60%+50%-1)=120人，参加两项活动的最高人数为1200×(65%+55%-1)=240人，所以参加两项活动的人数范围为[120，240]。

故答案为：B.

【分析】利用已知条件先求出两项活动的最低人数和最高人数，再根据这个范围选出合适的选项。6．【答案】D【解析】【解答】设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，底面周长C=2πr=6π，所以r=3，

因为圆锥侧面展开图面积为63π，所以πrl=63π，所以l=23，

所以SA=SB=23，

设AB之间的距离为x，(0≤x≤6)，取AB的中点D，

则AD=BD=12x，

在Rt∆ODB中，OB2=OD2+BD2，

OD2=r2-(12x)2=9-14x2，

7．【答案】C【解析】【解答】抛物线C的方程为x2=4y，设过点P（0，2）的直线方程为y=kx+2，

过点P(0，2)的直线交抛物线C于A，B两点，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立直线与抛物线的方程，则y8．【答案】D【解析】【解答】依题意，对于A，f(x+π4)=|sin(x+π4)|3+|cos(x+π4)|3≠f(x)，

所以函数f(x)的一个周期不为π4，所以A错；

对于B，f(-π6)=sin(-π6)3+cos(-π6)3=18+338=1+338，f(0)=sin9．【答案】A,C,D【解析】【解答】由题意可知，对于A，销量的极差为15.3-11.7=3.6万辆，所以A对；

对于B，将销量从小到大排序得出11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，

因为6×60%=3.6，所以销量的60%分位数是第四个数为13.8，所以B错；

对于C，将销量从小到大排序得出11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，

所以销量的中位数为13.2+13.82=272=13.5万辆，

销量的平均数为11.7+12.4+13.2+13.8+14.6+15.36=13.5万辆，所以C对；

对于D，若销量关于月份的回归方程为y=0.7x+b，因为线性回归直线恒过样本中心点(x-10．【答案】A,C【解析】【解答】已知圆x2+(y−1)2=1与y轴交于O（原点），C两点，点A是圆上的动点，B(2，0)，

对于A，由圆的标准方程得出圆心M(0，1)，半径长r=1，

所以MB=22+（-1）2=5，所以ABmax=MB+r=5+1，所以A对；

对于B，由题意可知C(0，2)，所以OB→−xBC→=(2+2x，-2x)，

所以OB→−xBC→=(2+2x)2+(-2x)2=22x2+2x+1=22(x+11．【答案】B,C【解析】【解答】设A(m，a+1-3m)为直线上任意一点，切点为B(x0，f(x0))，

f(x0)=x03-3x02+a，f'(x)=3x2-6x，f'(x0)=3x02-6x0，12．【答案】B,C【解析】【解答】根据题意可以构造长宽高分别为6cm，4cm，4cm的长方体，

对于A，因为BM∥CN，且BM=CN，则BCNM为平行四边形，可得BC∥MN，可知异面直线AD与BC所成的角为∠DEM（或其补角），

在∆DEM中，可知DE=EM=13，DM=4，由余弦定理可得，

cos∠DEM=DE2+EM2-DM22DE·EM=513，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为513，所以A错；

13．【答案】±1​​​​​​​【解析】【解答】已知函数f(x)=x⋅lg(x2+1−ax)是偶函数，则f(x)=f(-x)，

所以x⋅lg(x2+1−ax)=-xlg((-x)2+1+ax)=xlg(x2+114．【答案】7【解析】【解答】若角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(−35，45)，

则tanα=-4535=-15．【答案】(−∞，0]∪{1}(写【解析】【解答】因为eax−1+(a−1)x−1−lnx=0，x>0，所以eax−1+ax-1=x+lnx，

令f(x)=ex+x，则f(ax-1)=f(lnx)，而函数f(x)在R上单调递增，所以ax-1=lnx，

所以a=lnx+1x，令g(x)=lnx+1x，则g'(x)=-lnxx2，

当x∈(0，1)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，

当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，

所以函数g(x)的最大值为g(1)=1，

当x→0时，g(x)→-∞，当x→+∞时，g(x)→0，作出函数g(x)的图象，如下图所示，16．【答案】(【解析】【解答】设椭圆右焦点为F，直线x=a2c与x轴交于点H，

因为AP=λPC(1⩽λ⩽2)结合图形知，λ=APPC=AFFH=a+ca2c-c=c2+aca2-c2=e2+e17．【答案】（1）解：∵而S△ABC∴S（2）解：解法（1）：∵cos∠CAD=∴cos∠CAB=cos(∠CAD+在△ABC中，B∴BC=46，∴在等腰∴Rt△ABD中，cosB=∴AD=B解法（2）：由SABC12【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量共线定理和三角形的面积公式和三角形中角的关系以及诱导公式，进而得出三角形△BCE的面积。

（2）用两种方法求解。

解法一：利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和三角形中角的取值范围以及诱导公式，进而得出cos∠CAB的值，再利用余弦定理得出BC的长，再利用等腰三角形和直角三角形的结构特征和余弦函数的定义，进而得出BD的长，再结合勾股定理得出AD的长。

解法二：利用已知条件可知SABC18．【答案】（1）解：连接AC，BD交于点O，则建系如图，则A(3∴AB设平面ABE，平面BEF的法向量分别为n1由AB⋅n由BF⋅n设二面角A−BE−F的大小为θ，∴∴sinθ=所以二面角A−BE−F的正弦值为77（2）解：存在H符合题意，且EHED解法①：（几何法）取FC中点M，连接GM，则GM∥BF，而GM⊄平面BEF，BF⊂平面∴GM∥平面BEF；过M作MN∥EF交ED于N，连接MN，NG.同理可知，MN∥平面由GM∩MN=M，∴平面GMN∥平面∴GN∥平面BEF，∴点N即为所求的点∵四边形EFMN为平行四边形，EN=FM，DE=2FC=2，所以∴H为DE靠近点E的四等分点（即EH=解法②：（向量法）令EH=λED∴若GH∥平面BEF，∵GH⊄∴0−【解析】【分析】（1）由菱形的结构特征得出对角线互相垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面ABE，平面BEF的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式，进而得出二面角A−BE−F的正弦值。

（2）用两种方法求解。

解法一：（几何法）利用中点作中位线的方法和中位线的性质，进而得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，再利用线面平行证出面面平行，再由面面平行的性质定理证出线面平行，进而得出点N即为所求的点H，再利用平行四边形的性质得出EHED的值，从而得出点H为DE靠近点E的四等分点；

解法二：（向量法）利用向量共线的坐标表示和三角形法则以及向量的坐标运算，从而由线面平行结合两向量垂直数量积为0的等价关系，进而由数量积的坐标表示得出EH19．【答案】（1）解：比赛进行4局后甲获胜，则甲在前3场需要胜2局，第4局胜，∴P=（2）解：由题意知，X的取值可能为3，P(X=3)=(P(X=4)=CP(X=5)=1−∴X的分布列为：X345P1108∴E(X)=3×（3）解：乙应该选择3局2胜制.附理由如下：（供研究使用，考生无需在答题卡上计算）“3局2胜制”，乙可能2：0，2：1两种方式获胜，获胜概率：P“5局3胜制”，乙可能3：0，3：1，3：2三种方式获胜，获胜概率：P因为P1【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式，进而得出比赛恰好进行4局甲获胜的概率。（2）利用已知条件得出随机变量X可能的取值，再结合随机变量X满足二项分布，从而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。

（3）利用已知条件结合互斥事件求概率公式和二项分布求概率公式，进而得出某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案获胜的概率，再结合比较法选出对乙有利的方案。20．【答案】（1）证明：当n=1时，2S1当n≥2时，2S∴Sn∴数列{S（2）解：由（1）知，S∵∴数列{b∴【bn∴∴=−1+也可分类讨论得：T【解析】【分析】（1）利用已知条件结合Sn，an的关系式和分类讨论的方法，再结合等差数列的定义，进而证出数列{Sn2}是等差数列。

（2）由（1）证出的数列{Sn2}是等差数列，从而由等差数列的通项公式得出数列{Sn2}的通项公式，再结合数列{b21．【答案】（1）证明：先证当0<x<π2时，令m(x)=x−sinx，则m'(x)=1−cos>0在∴m(x)=x−sinx在(0，π2即当0<x<π2时，要证tanx−xx−sinx>2，只需证明tanx−x>2(x−sinx)令φ(x)=tanx+2sinx−3x，φ'（或1co当且仅当cosx=1时等号成立，而0<cosx<1∴在φ(x)在(0，π2)∴当0<x<π2时，（2）解：令f(x)=tanx+2sinx−ax，x∈(0，令t=cosx，则t在x∈(