广东省潮州市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测 数学

广东省潮州市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测数学姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1．设集合M={x|x(x−2)<0}，A．{−1，0C．{1} 2．已知i为虚数单位，若复数z=3+ai2+i对应的点在复平面的虚轴上，则实数A．−32 B．32 C．63．已知圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为π的扇形，则这个圆锥的底面半径为（）A．14 B．12 C．14．命题“∃x∈[1，A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤105．已知单位向量a，b满足|a+b|=A．12b B．−12b 6．若函数f(x)=1A．[2，52] B．(2，57．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0A．344 B．173 C．548．已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)满足A．−45 B．35 C．3二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9．下列说法中正确的是（）A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，则这组数据的第70百分位数为8B．若随机变量X~B(100C．若随机变量X~N(μ，σD．对一组样本数据(x1，y1)，10．已知a=log34，A．c<a B．b<c C．a<b D．c<b<a11．设过点M(2，0)的直线与圆CA．8 B．82 C．12 D．12．如图，已知正方体ABCD−A1BA．PB．PC．点Q移动4次后恰好位于点C1D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有种．（用数字作答）14．O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=0，S1516．设函数f(x)=x−a，x≤0lnx，x>0，已知直线四、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分）17．公比为q的等比数列{an}的前n（1）求a与q的值；（2）若bn=log2an，记数列{18．2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间[50，60)，[60，70（1）根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；（2）为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组[50，60)，[60，7019．在矩形ABCD中，AB=4，AD=2（如图1），将△ACD沿AC折起到△ACD1的位置，使得点D1在平面△ABC上的射影E在AB（1）证明：AD（2）过直线D1E的平面α与BC平行，求平面α与平面20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos（1）求角A的大小；（2）若D为线段BC延长线上一点，且BA⊥AD，BD=3CD，求tan∠ACD21．已知函数f(x)=x(lnx+a)（1）求a，b的值；（2）若对任意的x∈(1，+∞)22．设圆x2+y2+2x−15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆（1）证明：|EA|+（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为集合M={x|x(x−2)<0}=x|0<x<2故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合M，再结合交集的运算法则得出集合M和集合N的交集.2．【答案】D【解析】【解答】解：因为z=3+ai2+i=3+ai2-i2+i2-i=6-3i+2ai-ai24-i2=故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数的几何意义得出复数z=3+ai2+i对应的点的坐标，再结合复数3．【答案】B【解析】【解答】解：因为圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为π的扇形，设扇形的弧长为l，扇形的半径r为2，

由扇形面积公式得出S扇=12lr=12l×2=l=π，设圆锥底面半径为故答案为：B.【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式得出扇形的弧长，再利用圆的周长与圆锥侧面对应的扇形的弧长的关系式，进而得出圆锥底面圆的半径的长.4．【答案】C【解析】【解答】解：因为命题“∃x∈[1，3]，x2−a>0”为假命题，

所以，命题“∀x∈[1，3]，x2−a≤0”为真命题，所以，x2-a故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题真假性相反的关系，进而得出命题“∀x∈[1，3]，x5．【答案】A【解析】【解答】解：因为单位向量a，b满足|a+b|=3|a−b|，所以|a→+b→|2=3故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式得出a→·b→的值，再结合数量积求投影向量的方法得出6．【答案】D【解析】【解答】解：因为函数f(x)=12x2−ax+lnx即g(x)=1，由于函数g(x)对称处的值为ga2=a22-a×a2+1=-a24+1,

函数g(x)要存在零点且g0=1>0，根据零点存在性定理，ga2<0,即a>2,当a>2时，则a2>1，

若a2∈0，2且a>2，即2<a<4，则在0，2必存在一点使得gx=0,即f(x)在0，2上有极值；

若a≥4【分析】利用导数求极值点的方法和二次函数的图象的对称性以及零点存在性定理，从而分类讨论得出实数a的取值范围.7．【答案】B【解析】【解答】解：设双曲线C的右焦点为F'，连接PF',MF',NF'如图所示：

因为∠OFM=∠OMF，所以，OM=OF=OF'，所以，MF'⊥MF,

又因为O为MN的中点，所以，四边形MFNF'为矩形，设NF=x，

则PF=2x,PN=3x,所以，NF'=2a+x,PF'=2a+2x,

因为PN2+NF'2=PF'2,【分析】利用已知条件易证四边形MFNF'为矩形，设NF=x，再结合双曲线的定义和直角三角形中的勾股定理，进而得出a，c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形得出双曲线C8．【答案】D【解析】【解答】解：因为函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)满足f(x)≤|f(π6)|，所以，fπ6=±1，

所以2×π6+φ=π2+kπ,k∈Z,又因为0<φ<π，所以故答案为：D.【分析】由f(x)≤|f(π9．【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A，某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：

6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，再从小到大排列，即5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，

则10×70%=7，则这组数据的第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，

则这组数据的第70百分位数为8+92=8.5，所以A错；

对于B，因为随机变量X~B(100，p)，且E(X)=20，则100p=20，则p=20100=15，

则D(X)=100p1-p=100×15×故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合百分位数求解方法、二项分布的期望和方差求解公式、正态分布对应的曲线的对称性求概率的方法、回归方程与样本数据的位置关系，进而找出说法正确的选项.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：因为a=log34，b=43=log3343=log3334=log3381,，c=log45，

又因为43=64，3813=81，所以4故答案为：AC.【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性和均值不等式求最值的方法，进而比较出a，b，c的大小，从而找出正确的选项.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：由题意可知圆心C4,0，半径r为4，设AB的中点Dx,y，则则MD→·CD→=0,又因为MD→=x-2,y,CD→=x-4,y,所以x-2x-4+y2=0,

所以，点D的轨迹方程为圆E：x-32+

【分析】利用中点坐标求出AB的中点D的轨迹方程为圆心为E(3，0)，半径为1的圆，从而得出PD的最大值和最小值，再结合|PA→+PB→12．【答案】A,C,D【解析】【解答】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为23，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为13，所以P2=23×23+13×13故答案为：ACD.

【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出点Q移动两次后仍在底面ABCD上的概率；利用已知条件结合归纳推理的方法，进而推出Pn+1=13Pn+13；点Q由点A移动到点C113．【答案】14【解析】【解答】解：由题意，每个盒子有两种放法：一个盒子放1个，另一个盒子放3个；

一个盒子放2个，另一个盒子放2个。

一个盒子放1个，另一个盒子放3个有C41A22=8种放法；

一个盒子放2个，另一个盒子放2个有C4214．【答案】3【解析】【解答】解：因为O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，所以，F1,0，

因为P为C上一点，设Pa24,a，因为|PF|=4，所以，故答案为：3.【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点F坐标，再由点P在抛物线上设出点P的坐标，再利用两点距离公式得出点P的坐标，从而由抛物线的图象的对称性和三角形的面积公式得出三角形△POF的面积.15．【答案】-49【解析】【解答】解：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=0，S15=25，

设公差为d，则10a1+10×92d=2a1+9d=015a1+15×142d=3a1+21d=5⇒a1=-3d=23，

则等差数列{an}故答案为：-49.

【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式建立方程组得出首项和公差的值，再利用等差数列的前n项和公式得出等差数列{an}的前n项和和bn=n⋅16．【答案】1-e2【解析】【解答】解：作出函数f(x设Ax1,y1,Bx2,y2,x1<x2,则x1-a=t,lnx2=t,t≤-a,

所以，x1=a+t,x2=et,所以，AB=x2-x

【分析】先设Ax1,y1,Bx2,17．【答案】（1）解：∵S∴当n=1时，a1当n≥2时，Sn−1所以an所以an∴a2=2又数列{an}又q=a∴2+a=1，解得a=−1；（2）解：由（1）可得an所以bn∴T∴当n≥2时，1T∴=2(1−1【解析】【分析】（1）根据等比数列求和公式结合等比数列公式求出a的值；

（2）根据（1）得出数列等式，从而得出bn等式；从而得出数列求和公式，从而得出118．【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：x（2）解：由于[50，60)，[60，70)和[80，90)的频率之比为：1：2：2，故抽取的10人中[50，60)，[60，70)和[80，90)分别为：2人，4人，4人，随机变量ξ的取值可以为0、1、2、3，P(ξ=0)ξ0123p1131∴E【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数公式得出这100名游客评分的平均值；

（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出抽取的10人中[50，60)，[60，70)和[80，90)的人数，进而得出随机变量ξ可能的取值，再结合组合数公式古典概型求概率公式得出随机变量ξ的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量ξ的数学期望.19．【答案】（1）证明：由题意知：D1E⊥平面ABC又BC⊥AB，AB⊂平面D1AB所以BC⊥平面D1又AD1⊂平面（2）解：过E作EF//BC交AC于由于EF//BC，BC所以BC//平面D1EF.故平面D，EF即为平面α建立如图所示空间直角坐标系如图所示：由(1)D1A⊥BC，又D1所以D1A⊥平面BCD1，则在△AB1中可得，BE=则A(∴由于AB⊥BC，EF‖BC，故又AB⊥D因此AB⊥a，故BA是a的一个法向量设面ACD，的一个法向量v由v⋅AC设平面a与平面ACD，夹角的θ，则cos故所求平面a与平面ACD，夹角的余弦值为3【解析】【分析】（1）由题意知：D1E⊥平面ABC，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，即D1E⊥BC，再利用BC⊥AB结合线面垂直判定定理得出BC⊥平面D1AB，再根据线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出AD1⊥BC。

（2）过E作EF//BC交AC于F，连结D，F，再利用线线平行证出线面平行，则BC//平面D1EF，故平面DEF即为平面α，从而建立空间直角坐标系，由(1)D1A⊥BC和D1A⊥D1C结合线面垂直的判定定理，所以D1A⊥平面BCD1，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以20．【答案】（1）解：在△ABC中，由已知条件及正弦定理可得2sinAcosB=2sinC-sinB2sinAcosB=2sin(A+B)-sinB2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsin8-sinB2cosAsinB=sinB因为sinB≠0，所以因为A是△ABC的内角，所以A=另解：因为2acosB=2c−b整理得b2由余弦定理得，cos因为A是△ABC的内角，所以A=（2）解：设∠ACB=θ在△ACD中，CDsinπ在△ACB中，BCsin①∴分子、分母除以cosθ后可解得【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.

方法一：在△ABC中，由已知条件及正弦定理和三角形内角和为180°的性质，再结合两角和的正弦公式和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值；

方法二：利用2acosB=2c−b结合余弦定理得b2+c2−a2=bc，再由余弦定理和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值.

（2）设