浙江省台州市六校2024-2025学年高一数学上学期期中联考试题含解析

PAGE17-浙江省台州市六校2024-2025学年高一数学上学期期中联考试题考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，需将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.选择题部分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合,或，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆依据补集的概念进行运算可得解.【详解】因为,或，所以.故选：B2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】依据全称量词命题的否定为特称量词命题，改量词，否结论即得【详解】命题“，”的否定是“，”故选：B.3.下列命题中，正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】运用不等式的性质，结合特别值法，对选项注逐一推断正误即可.【详解】选项A中，若，时，则成立，否则，若，则，明显错误，故选项A错误；选项B中，若，，则能推出，否则，若，则，明显错误，故选项B错误；选项C中，若，则，明显错误，故选项C错误；选项D中，若，明显，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数，不等式不变号，即.故选：D.4.下列各组函数表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用函数的定义推断.【详解】对于A，和的定义域和对应关系均相同，故为同一函数，故A正确；对于B，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故A错误；对于C，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故C错误；对于D，的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故D错误，故选：A.5.化简的值得（）A.2 B.－2 C.1 D.-1【答案】D【解析】【分析】运用对数运算的公式、指数运算的公式可以干脆求出代数式的值.【详解】.故选：D【点睛】本题考查了对数、指数的运算公式,考查了数学运算实力.6.已知不等式的解集是，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得且，化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，不等式的解集是，可得和是方程的两根，且，所以，可得，所以不等式可化为，因为，所以不等式等价于，即，解得，即不等式解集为.故选：B.【点睛】解答中留意解一元二次不等式的步骤：（1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式；（2）判：计算对应方程的判别式；（3）求出对应的一元二次方程的根，或依据判别式说明方程有没有实根；（4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.7.当时，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别参数化为恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解.【详解】不等式恒成立化为恒成立，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，所以的最大值为.故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要留意其必需满意的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必需为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必需把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必需验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最简单发生错误的地方8.已知定义在上的奇函数的图象如右图所示，则的大小关系是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据函数的定义域为，得到，依据函数过原点得到，依据，推断，的关系，进而可得结果.【详解】∵函数过原点，∴，∴，由图象知函数的定义域为，则，又，即，则，∴，故选D．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和应用，依据函数图象的特点转化为函数的性质是解决本题的关键，其性质主要包括函数的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性，对称性等，同时过某点也是常用方法，属于中档题.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.命题为真命题的一个充分条件是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用不等式恒成立求出命题为真命题的充要条件，依据子集关系可得充分条件.【详解】对，，即，等价于，因为，所以，所以.因为，故为充要条件，为充分不必要条件.故选：BD【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；10.假如幂函数的图象过，下列说法正确的有（）A.且 B.是偶函数C.是减函数 D.的值域为【答案】ABD【解析】【分析】由幂函数定义和所过点可求得，知A正确；利用奇偶性的定义知B正确；依据幂函数在上的单调性，结合偶函数性质知C错误；由幂函数值域知D正确.【详解】为幂函数，，又过点，，解得：，A正确；则，定义域为，，为偶函数，B正确；当时，单调递减，由偶函数性质知：在上单调递增，C错误；，，即的值域为，D正确.故选：ABD.11.设函数的定义域为，若，使得成立，则称为“漂亮函数”.下列函数中是“漂亮函数”的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】转化为推断函数的值域关于是否原点对称，分别求出四个函数的值域进行推断可得答案.【详解】由题意知，函数的定义域为，若，使得成立，所以函数的值域为值域的子集对于A，函数的值域为，的值域为，故A正确；对于B，函数的值域为，的值域为，故B不正确；对于C，函数的值域为，的值域为，故C正确；对于D，函数的值域为，的值域为，故D正确故选：ACD【点睛】关键点点睛：将问题转化为推断函数的值域关于是否原点对称是解题关键.12.已知定义在上的函数的图象是连绵不断的，且满意以下条件：①，；②，，当时，；③.则下列选项成立的是（）A. B.若，则C.若，则 D.，，使得【答案】CD【解析】【分析】依据题中的条件确定函数的奇偶性和单调性，再逐项验证即可得出答案.【详解】依据题中条件知，函数为R上的偶函数；依据题中条件知，函数在上单调递增.依据函数的单调性得，，选项A错误；是R上的偶函数，且在上单调递增

时，，解得，选项B错误；或解得或，即时，，选项C正确；依据偶函数的单调性可得，函数在上单调递减在R上有最小值，故选项D正确.故选：CD.非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则_________.【答案】【解析】【分析】由得，再依据对数的运算性质可得解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：驾驭指数式化对数式和对数的运算性质是本题解题关键.14.函数且，则实数=_________.【答案】【解析】【分析】干脆依据解析式可求得结果.【详解】因为且，所以，解得.故答案为：.15.已知函数的值域为，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】依据的值域为，可知需在单调递增且即可.【详解】由题意知的值域为，故要使的值域为，则必有为增函数，且，所以，且，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题.16.若正数满意，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】将化为后，利用基本不等式得，再解一元二次不等式可得结果.【详解】由得，因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以，所以，所以或，所以或（舍），所以，即的最小值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要留意其必需满意的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必需为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必需把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必需验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最简单发生错误的地方四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数（1）求函数的定义域和值域；（2）写出函数的单调增区间和减区间（不要求证明）.【答案】（1）定义域为,值域为（2）递增区间为，递减区间为【解析】【分析】（1）由解得结果可得定义域，依据二次函数学问求出真数的值域，依据对数函数的单调性可求得的值域；（2）在定义域内求出真数的单调区间，依据底数大于1可得函数的单调区间.【详解】（1）由函数有意义可得，即，解得，所以函数的定义域为，因为，所以，所以，即函数的值域为.（2）因为函数的定义域为，且函数在上递增，在上递减，又对数函数的底数为，所以函数的递增区间为，递减区间为.【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：1、有分式时：分母不为0；2、有根号时：开奇次方，根号下为随意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；3、有指数时：当指数为0时，底数肯定不能为0；4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1；6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满意真数上全部式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满意真数大于0，底数要大0且不等于1.18.已知函数，（1）若，求实数的取值范围；（2）当时，设函数的值域分别为，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化为指数不等式可解得结果；（2）由的单调性求出集合，换元后，利用二次函数学问求出集合，依据列式可解得结果.【详解】（1）即，所以，所以，所以，所以实数的取值范围是.（2）因为在上递增，所以当时，取得最小值，无最大值，所以，设，因为，所以，所以，因为在上递增，在上递减，所以是，取得最大值，无最小值，所以，因为，所以，得.【点睛】关键点点睛：利用换元法将函数化为二次函数求值域是解题关键.19.已知函数为实常数）.（1）推断的奇偶性，并给出证明；（2）若，设在上的最小值为，求的表达式.【答案】（1）函数为偶函数，证明见解析（2）【解析】分析】（1）函数为偶函数，依据偶函数的定义可证明结论正确；（2）依据对称轴与区间的关系分三种状况探讨可求得结果.【详解】（1）函数为偶函数，证明：因为函数的定义域为，关于原点对称，又因，所以函数为偶函数.（2）因为，所以，对称轴为，当，即时，在上递增，所以；当，即时，在上递减，所以；当，即时，，综上所述：.【点睛】关键点点睛：其次问依据对称轴与区间的关系分三种状况探讨是解题关键.20.已知定义域为的函数，是奇函数.（1）求，的值，并用定义证明其单调性；（2）若对随意的，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1），，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）依据奇函数的必要条件得出，求出，，再验证为奇函数；将分别常数化为，依据单调函数定义，证明在为减函数；（2）由是奇函数化为，结合在上是单调递减，不等式等价转化为，对一切恒成立，依据二次函数图像，可得，求解，即可得出结论.【详解】（1）因为是奇函数，所以，即，∴，又由知，所以，，经检验，时，是奇函数，，则，且，则∵，∴，∴，∴在上是单调递减；（2）因为是奇函数，所以等价于，因为为减函数，由上式可得：，即对一切有：，从而判别式，所以的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，用奇偶性的必要条件求参数后要跟上验证，考查函数的单调性证明，要留意分别常数简化计算，考查利用函数的性质解不等式，属于中档题,21.某企业打算投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预料销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的关系式为.已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.（1）试写出年利润W（万元）与年广告费x（万元）的关系式；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？【答案】（1）；（2）当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.【解析】【分析】（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，得到每万件销售价，进而得到年销售输入，即求解年利润的表达式；（2）令，则，利用基本不等式求解最值，即可得到结论.【详解】（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，每万件销售价为：，∴年销售收入为，∴年利润.（2）令，则.∵,∴，即，当且仅当，即时，有最大值42，此时.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.22.定义：若对定义域内随意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．（1）若，(0，)，试推断是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，