湖北省十七所重点中学2024-2025学年高三数学下学期2月第一次联考试题

Page10湖北省十七所重点中学2024-2025学年高三数学下学期2月第一次联考试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．设，则（）A．B．C．D．3．函数的导函数为（）A．B．C．D．4．设复数z满意则z的虚部为（）A．B．C．D．5．某气象爱好小组利用身边的物品探讨当地的降雨量．他们运用一个上底面半径为、下底面半径为、高为的水桶盛接降水．当水桶内盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶总体积的（）A．B．C．D．6．已知平面对量满意，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．167．设集合，则集合S的元素个数为（）A．B．C．D．8．设随机变量，当正整数n很大，p很小，不大时，X的分布接近泊松分布，即．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知…）（）A．100B．101C．102D．103二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知递增的正整数列的前n项和为．以下条件能得出为等差数列的有（）A．B．C．D．10．已知，则（）A．B．C．D．11．已知．点A，B，C分别在上．则（）A．的最大值为9B．的最小值为C．若平行于x轴，则的最小值为D．若平行于y轴，则的最大值为12．已知正方体的边长为2，点P，Q分别在正方形的内切圆，正方形的外接圆上运动，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知多项式满意对随意，则_________（用数字作答）．14．冰雹猜想是指：一个正整数x，假如是奇数就乘以3再加1，假如是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，很多专业数学家前仆后继，依旧无法解决这个问题．已知正整数列满意递推式请写出一个满意条件的首项，使得，而_____________．15．设实数，不等式对随意实数恒成立，则a的取值范围为__________．16．设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在C上满．的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知，则_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在正三棱柱中，点D为线段的中点，侧面的面积为．（1）若证明：；（2）求三棱柱的体积与表面积之比的最大值．18．（12分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某探讨小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…经计算得：．（1）利用最小二乘估计建立y关于x的线性回来方程；（2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回来方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一样，（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；（ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．附：y关于x的回来方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．19．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求的最小值；（2）证明：．20．（12分）设点A为双曲线的左顶点，直线l经过点，与C交于不与点A重合的两点P，Q．（1）求直线的斜率之和；（2）设在射线上的点R满意，求直线的斜率的最大值．21．（12分）已知数列满意：①对随意质数p和自然数n，都；②对随意互质的正整数对，都有．（1）写出的前6项，视察并干脆写出与能整除n的正整数的个数的关系；（2）设数列的前n项和为，证明：．22．（12分）已知直线l与曲线相切于点．证明：（1）l与曲线恰存在两个公共点；（2）．2024届湖北省十七所重点中学第一次联考参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678ABDCBCDD7．D对每个，在中的从属关系有以下101种：（1），（2），（3），…（101）．由分步乘法计数原理，集合S中共个元素．8．D记随机变量X为购买a个元件后的次品数．由题意，此时X可看成泊松分布．则，记，则．由于t很小，故大致有．分别计算，左边约等于0.37，0.74，0.91，0.98，故，即．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ACDBCABDAB11．ABDA：，且能取到等号，故正确；同理B正确．C：试想一个将向左平移的过程，使得平移后的圆与有公共点的最短平移距离即的最小值，为，故错误；同理D正确．12．AB以A为原点，为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．设点．A：，故正确．B：．记，，故正确．C：取的中点M，穿过一侧的外接圆，取的中点，则不穿过，故必存在点P，使得经过外接圆，设公共点为Q，此时共线，冲突，故不正确．D：假设成立，则恒成立．利用协助角消去，则．取，则左边，故不正确．故选AB．三、填空题：每小题5分，共20分．13．114．12或13（写出一个即可）15．16．14．本题采纳逆推思想．故填12或13．15．令，得．下证：均满意题意．当时，左边关于a递减，当时，当时，，仍关于a递减，故只需证明成立．令，即证．递增，，故在上递减，在上递增，．故填．16．设点，则．设角平分线交x轴于T，易知．直线．设中点为M，则．，得．将点A与椭圆联立得，故，解得．故填．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（1）取中点H，则．由平面平面，故．又，故平面．而平面，故．（2）及．表面积，体积．故由基本不等式，，等号成立当且仅当．18．（1）．故回来方程为．（2）（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为．则，r为y与x的相关系数．又，故．下证：．若，则，即恒成立．带入表格中的一组数据得：，冲突．故，即前者斜率小于后者．（ⅱ）留意到，两直线都过，且，故公共点仅有．19．（1）由余弦定理，，等号成立当且仅当．（2）方法一：当时，．当时，设线段的中垂线交于点D．．在中，由正弦定理，．，故，由．故．则．方法二：由正弦定理，．由二倍角公式，．而，故．由（1），故．则．20．（1）的前6项分别为1，2，2，3，2，3．的大小与能整除n的自然数个数相同．（2）方法一：由（1），因为大于小于n的数不被n整除，故当为偶数时，．其中第一行2分，其余共4分．为奇数时，，得证．方法二：设．先说明．中为的项数恰为的正整数解数，故．再证．时，成立；时，．其中前两行和后两行各2分．21．（1）．l斜率明显存在，故可设，即．设即，即．设的斜率，则，故为方程的两个实根，