统考版2025届高考数学全程一轮复习选修4-5不等式选讲第一节绝对值不等式学生用书

第一节肯定值不等式·最新考纲·1．理解肯定值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用肯定值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.·考向预料·考情分析：肯定值不等式的解法，肯定值不等式的性质，与肯定值相关的参数问题，将是高考考查的热点，题型仍将是解答题．学科素养：通过肯定值不等式的求解及肯定值不等式性质的应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养．积累必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记2个学问点1．含有肯定值的不等式定理(1)定理：对随意实数a和b，有________________________________________________________________________，其中等号成立的条件为ab≥0.(2)定理中的b以－b代替，则有|a－b|≤|a|＋|b|.其中等号成立的条件为____________．(3)对随意实数a和b，有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．肯定值不等式的解法(1)含肯定值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a________________________|x|＞a________________________(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法．①利用肯定值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．②利用“零点分段法”求解，体现了分类探讨的思想．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．二、必明3个常用结论1．肯定值不等式的性质||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的条件：当ab≥0时，左侧不等式成立；当ab≤0时，右侧不等式成立．2．两个等价关系(1)|x|<a(a>0)⇔－a<x<a.(2)|x|>a(a>0)⇔x<－a或x>a.推广：①|x|<f(x)⇔－f(x)<x<f(x)；②|x|>f(x)⇔x<－f(x)或x>f(x)．3．好用口诀解含肯定值的不等式：“找零点，分区间，逐个解，并起来．”提升关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一含肯定值不等式的解法[基础性、应用性][例1][2024·全国甲卷]已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.(1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象；(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围．听课笔记：反思感悟解肯定值不等式的基本方法【对点训练】[2024·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．考点二肯定值不等式性质的应用[基础性、应用性][例2]已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<|x|＋1；(2)若x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(听课笔记：反思感悟对肯定值三角不等式定理的理解留意以下三点(1)等号成立的条件在解题时常常用到，特殊是用此定理求函数的最大(小)值时．(2)该定理可推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们常常用于含肯定值的不等式的推论．(3)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当b(a＋b)≤0时，|a|－|b|＝|a＋b|；当b(a－b)≥0时，|a|－|b|＝|a－b|.【对点训练】已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤1求证：|x＋5y|≤1.考点三肯定值不等式的综合应用[应用性、创新性][例3][2024·惠州市高三调研考试]已知f(x)＝|x＋1|＋|ax－a＋1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若x≥1时，不等式f(x)≥x＋2恒成立，求a的取值范围．听课笔记：反思感悟两招解不等式问题中的含参问题(1)第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>fxmax，f(x)>a恒成立⇔a<f((2)其次招是求最值．含肯定值的函数求最值时，常用的方法有三种：①利用肯定值的几何意义；②利用肯定值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．【对点训练】1．[2024·全国乙卷]已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．2．设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.(1)解不等式f(x)>4；(2)若存在x∈-32，1使不等式a＋1>f(x选修4—5不等式选讲第一节肯定值不等式积累必备学问一、1．(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(2)ab≤02．(1){x|－a＜x＜a}∅∅{x|x＞a或x＜－a}{x|x∈R且x≠0}R提升关键实力考点一例1解析：(1)由已知得g(x)＝-4，xf(x)＝x-2，x≥22-x，x＜2，所以y＝f(x)与y＝g(2)y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度或向右平移|a|(a<0)个单位长度得到的，依据图象可知向右平移不符合题意，向左平移到y＝f(x＋a)的图象的右支过y＝g(x)的图象上的点12此时y＝f(x＋a)的图象的右支对应的函数解析式为y＝x＋a－2(x≥2－a)，则4＝12＋a－2，解得a＝11因为f(x＋a)≥g(x)，所以a≥112，故a的取值范围为11对点训练解析：(1)由题设知f(x)＝-x-3，x≤-y＝f(x)的图象如图所示．(2)函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y＝f(x＋1)的图象．y＝f(x)的图象与y＝f(x＋1)的图象的交点坐标为-7由图象可知当且仅当x<－76时，y＝f(x)的图象在y＝f(x故不等式f(x)>f(x＋1)的解集为-∞，-7考点二例2解析：(1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1，即x≥12，2x-1得12≤x<2或0<x<1故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0<x<2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13+1故不等式f(x)<1得证．对点训练证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.∴由肯定值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×1即|x＋5y|≤1.考点三例3解析：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x|≥3.当x<－1时，－x－1－x≥3，解得x≤－2，所以x≤－2；当－1≤x<0时，x＋1－x≥3，无解；当x≥0时，x＋1＋x≥3，解得x≥1，所以x≥1.综上，不等式f(x)≥3的解集为(－∞，－2]∪(2)当x≥1时，不等式f(x)≥x＋2，即|ax－a＋1|≥1.令g(x)＝a(x－1)＋1，则g(x)的图象为过定点(1，1)且斜率为a的一族直线，数形结合可知，当a≥0时，|ax－a＋1|≥1在[1，＋∞)上恒成立．所以，所求a的取值范围为[0，＋∞)．对点训练1．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，故f(x)≥6即|x－1|＋|x＋3|≥6，当x≤－3时，1－x－x－3≥6，解得x≤－4，又x≤－3，所以x≤－4；当－3<x≤1时，1－x＋x＋3≥6，即4≥6，不等式不成立，此时无解；当x>1时，x－1＋x＋3≥6，解得x≥2，又x>1，所以x≥2.综上，不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－4或x≥2}．(2)f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|3＋a|，当且仅当x在a与－3之间(包括两个端点)时取等号，若f(x)>－a，则|3＋a|>－a，即3＋a>－a或3＋a<a，解得a>－