山东省淄博市淄川区（五四制）2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

第页初二数学试题（时间120分满分150分）亲爱的同学们：这份试题将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光．请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初二学年第一学期的期中数学学习画上圆满的句号!特别提醒：本次考试不允许使用计算器．一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）．1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是A.3，4，5 B.2，3，4 C.4，6，7 D.5，11，12【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．【详解】A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；故选：A．【点睛】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．2.如果一个三角形三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键．根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．【详解】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故A不符合题意；B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故B不符合题意；C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故C项正确，符合题意；D、能确定C正确，故D不符合题意．故选：C．3.如图，直线a∥b，，是截线且交于点，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据∠2是△ABC的外角，即可得到∠A＝∠2−∠1＝40°．【详解】如图，∵∠2是△ABC的外角，∴∠A＝∠2−∠1＝100°−60°＝40°，故选A．【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．4.如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质得到PE=PD，然后利用平行线的性质及含30°角的直角三角形的性质求解．【详解】解：过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE=PD．∵PC∥OB，∴∠POD=∠OPC，∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°，∴PE=PC=2，∴PD=2．故选B．【点睛】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．5.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项．【详解】A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意．故选：D．6.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A.44° B.40° C.39° D.38°【答案】C【解析】【详解】【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．【详解】∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=×78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质．7.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）．A.8米 B.10米 C.12米 D.14米【答案】B【解析】【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米，过点作于，则是矩形，连接，米，米，米，在中，米，故选：B．【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．8.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】D【解析】【详解】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，△ABC是等腰三角形，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=∠DCB=36°，∴△ACD是等腰三角形，在△BDC中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴BD=BC=BE，∴△BDE是等腰三角形，∴∠BDE=72°，∠ADE=36°，∴△ADE是等腰三角形．∴图中等腰三角形共有共5个．故选D．【点睛】本题考查了角平分线，三角形的内角和、外角和，平角相关知识．9.如图，直线相交于点为这两条直线外一点，且．若点关于直线的对称点分别是点，则两点之间的距离可能是（）A.2 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】本题考查了对称性，三角形三边关系定理，熟练掌握对称性和三角形存在性是解题的关键．连接，，根据对称性，得到，利用三角形三边关系定理计算选择即可．【详解】如图，连接，，根据对称性，得到，，，在中，最大，，即，故选B．10.图，等边ΔABC中，于点分别为上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=DC=AQ+QD=3.5cm，∴AB=AC=2AD=7，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，,∴QD=DQ′=1.5（cm），∴AQ′=AD+DQ′=3.5+1.5=5(cm)∵BP=2（cm），∴AP=AB-BP=7-2=5（cm）∴AP=AQ′=5（cm），∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′=PA=5（cm），∴PE+QE的最小值为5cm．故选择：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．11.如图，小明从一张三角形纸片ABCAC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（）A.87° B.84° C.75° D.72°【答案】A【解析】【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得,进而可得原三角形的∠C的度数．【详解】由折叠的性质可知，则,,∠CMB＝68°，∠A＝18°,即解得故选A【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，二元一次方程组的应用，掌握折叠的性质是解题的关键．12.如图，正方形的边长为2，面积标记为，以为底边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，面积标记为，按此规律继续作下去，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律,根据数值的变化找出变化规律是关键．根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律．【详解】解：在图中标上字母，如图所示．∵正方形边长为2，为等腰直角三角形，∴，，∴．观察，发现规律：，，，，…，∴．故选：A．二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）．13.等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为___________．【答案】或【解析】【分析】分的内角是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解．【详解】解：当的内角是等腰三角形的底角时，它的顶角的度数为：；当的内角是等腰三角形的顶角时，它的底角的度数为：，符合要求；故答案为：或．【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．14.请列举三个最简单的轴对称图形：_______．【答案】等腰三角形，角和线段（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了轴对称的概念，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，解答即可．【详解】解：轴对称图形有等腰三角形，角和线段，故答案为：等腰三角形，角和线段．15.如图，，FA=1，AC=3，则AD=___________.【答案】2【解析】【分析】直接利用全等三角形的对应边相等得到AC＝DF，再根据线段的和差求得FC即可．【详解】解：∵，∴AC＝DF，∴AC﹣AF＝DF﹣AF，即AD＝FC，∵FA＝1，AC＝3，∴AD＝FC＝AC﹣FA＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到AD=FC是解题的关键．16.如图，在中，是边上的高，是的平分线，若，，则_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的特征；由三角形的内角和定理，由角平分线得，由三角形内角和及直角三角形的特征即可求解；掌握三角形内角和定理，直角三角形的特征是解题的关键．【详解】解：，是的平分线，，，是边上的高，，，故答案：．17.《九章算术》是我因古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据，设，可得，由勾股定理可得，即可求解．详解】解：∵，设，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：

．18.如图，且，且．请按图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．由，，，可得到，而，，由此可得，所以，；同理证得，所以，．则，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．【详解】解：，，，．，．，．，，．，．，，．，．，．，，．，．则．，，梯形的面积为：．阴影部分面积为∶梯形的面积，故答案为∶．19.如图，的面积为8，AD平分，且于D，则的面积是______．【答案】【解析】【分析】延长BD交于点，则可得：，可得：则可得出，从而可得答案．【详解】解：如图，延长BD交于点，平分，，，，在和中，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形全等判定与性质，三角形中线的性质，掌握以上知识是解题的关键．20.如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为_____．【答案】6．【解析】【详解】试题分析：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，∴FG是AC的垂直平分线，∴AF=CF，设AF=FC=x，在Rt△ABF中，有勾股定理得：，，解得：x=5，即CF=5，BF=8﹣5=3，∴△ABF的面积为×3×4=6，故答案为6．考点：翻折变换（折叠问题）．三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）．21.（1）画出图中三角形的三条高．（2）如图，在中，是中线．结合图形，请你写出至少6个正确的结论．（3）利用一个点、一条线段、一个正三角形、一个正方形设计一个轴对称图形，并说明你希望表达的含义．【答案】（1）见解析（2），，，，，（3）见解析【解析】【分析】本题考查画三角形的高，等腰三角形的性质，设计轴对称图形，掌握三角形的高线和等腰三角形的性质是解题的关键．（1）根据三角形的高线的定义作图即可；（2）根据三角形的性质解答即可；（3）设计轴对称图形即可解题．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：∵是中线，∴，，，，∴，，，故正确结论为：，，，，，；（3）如图：表示一个台灯．22.（1）如图，已知，分别是上的点，且．与相等吗？为什么？（2）如图，在中，平分，交于点垂直平分于点．试说明：．（3）如图，在中，将三等分，点在上．①求的度数；②写出图中所有的等腰三角形．【答案】（1）AD与相等，理由见解析（2）见解析（3）①72°②,,,,,【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定；（1）根据全等三角形的性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；（2）由线段垂直平分线的性质得到，再由角平分线的性质得到即可得出结论；（3）①根据已知条件和三角形的内角和得到，，，由于将三等分，于是求得，然后计算解题；②根据外角的性质和三角形的内角和得到，于是得到结论．【详解】（1）解：AD与相等，理由如下：，，在和中，，，；（2）证明：∵DE垂直平分AB，，，，∵平分，，，即；（3）解：①∵，，∴，，，∵AD，将三等分，∴，∴；②∵，∴，∴，∴，，，，，是等腰三角形．23.一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？【答案】（1）米（2）不是4米，是米，见解析【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；（2）先求出的长度，再利用勾股定理求出的长度即可得到．【小问1详解】解：由题意得：米，米，∴（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；【小问2详解】梯子底部不是水平方向滑动了4米，由题意得：米，∴米，∴（米），则：（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意确定直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．24.在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，．（1）试说明；（2）求的长．【答案】（1）说明见解析（2）【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质证出，利用AAS证明，由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出，即可得出答案．【小问1详解】解：，，，，，，，在