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文档简介

学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精自我小测1.已知|a|=2,|b|=6,a·(b-a)=2,则|a-b|的值为()A.4B.2eq\r(7)C.2eq\r(3)D.62.若向量a,b,c满足a∥b,且a⊥c,则c·(a+2b)=()A.4B.3C.2D.03.已知|a|=8,e为单位向量,当它们的夹角为eq\f(π,3)时,a在e方向上的射影是()A.4eq\r(3)B.4C.4eq\r(2)D.8+eq\f(\r(3),2)4.在△OAB中,=a,=b,OD是AB边上的高,若,则λ等于()A.eq\f(a·(b-a),|a-b|2)B.eq\f(a·(a-b),|a-b|2)C.eq\f(a·(b-a),|a-b|)D.eq\f(a·(a-b),|a-b|)5.若,则△ABC为()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形6.已知a⊥b,(3a+2b)⊥(ka-b),若|a|=2,|b|=3,则实数k的值为__________.7.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角θ是__________.8.设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列结论:(1)|a|-|b|<|a-b|;(2)(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;(3)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确结论的序号为__________.9.已知|a|=1,|b|=eq\r(2),设a与b的夹角为θ。(1)若θ=eq\f(π,4),求|a+b|;(2)若a与a-b垂直,求θ。10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

参考答案1.解析:∵a·(b-a)=2,∴a·b-a2=2.∴a·b=2+a2=2+|a|2=2+22=6.∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2a·b+|b|2=22-2×6+62=28,∴|a-b|=2eq\r(7)。答案:B2.解析:由a∥b及a⊥c,得b⊥c,则c·(a+2b)=c·a+2c·b=0。答案:D3.解析:a在e方向上的射影为|a|coseq\f(π,3)=4.答案:B4.解析:由题意知,,即.∴,∴λ=-=-=eq\f(a·(a-b),|a-b|2).答案:B5.解析:∵,∴,∴,∴,∴,∴∠A=90°,∴△ABC为直角三角形.答案:A6.解析:由已知得a·b=0,a2=4,b2=9。由(3a+2b)·(ka-b)=0得,3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0。∴12k-18=0,∴k=eq\f(3,2)。答案:eq\f(3,2)7.解析:由|a+b|=|a-b|得,|a+b|2=|a-b|2,整理得a·b=0。又由|a-b|=2|a|得,|a-b|2=4|a|2,∴|a|2-2a·b+|b|2=4|a|2,∴|b|2=3|a|2,∴|b|=eq\r(3)|a|.∴cosθ=eq\f((a+b)·(a-b),|a+b||a-b|)=eq\f((a+b)·(a-b),4|a|2)=eq\f(|a|2-|b|2,4|a|2)=-eq\f(1,2)。又∵θ∈[0,π],∴θ=eq\f(2π,3).答案:eq\f(2π,3)8.解析:(1)∵(|a|-|b|)2=|a|2+|b|2-2|a||b|,|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b,又∵a,b不共线,∴a·b<|a||b|。∴(|a|-|b|)2<|a-b|2。∴|a|-|b|<|a-b|。(2)∵[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0,∴(b·c)a-(c·a)b与c垂直.(3)(3a+2b)·(3a-2b)=9a2-4b2=9|a|2-4|b|2。答案:(1)(3)9.解:(1)|a+b|=eq\r((a+b)2)=eq\r(a2+2a·b+b2)=eq\r(1+2×1×\r(2)cos\f(π,4)+2)=eq\r(5)。(2)由题意得,a·(a-b)=0,∴a2=a·b=|a||b|cosθ,∴cosθ=eq\f(a2,|a||b|)=eq\f(1,1×\r(2))=eq\f(\r(2),2)。∵θ∈[0,π],∴θ=eq\f(π,4)。10.解:∵e1·e2=|e1||e2|cos60°=2×1×eq\f(1,2)=1,∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te12+(2t2+7)e1·e2+7te22=2t2+15t+7。由题意得,2t2+15t+7<0,得-7<t<-eq\f(1,2).若两向量反向共线,设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0),∴得t=-eq\f(\r(14),2)或t=eq\f(\r(14),2)(舍去).而当t=-eq\f(\r(14),2)时,已知两向量的夹角为180°,

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