数学课堂探究：角的概念的推广

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一有关角的概念问题1．熟记一些角的概念,如第一象限角α可表示为k·360°<α<90°＋k·360°．2．熟悉一些角与角的基本关系,如锐角是第一象限角，反之不成立;钝角是第二象限角，反之也不成立．【例1】下列各种说法正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．第一象限的角就是锐角C．锐角是第一象限的角D．小于90°的角都是锐角解析：根据锐角和第一象限的角的定义来进行判定．因为锐角的集合是{α|0°〈α<90°｝，第一象限的角的集合是｛α｜k·360°〈α<k·360°＋90°，k∈Z｝，所以当k＝0时，角的范围就与锐角的范围相一致，故锐角是第一象限的角，C正确．－60°角与300°角是终边相同的角，它们并不相等，故选项A错误;390°角是第一象限的角，但它不是锐角，故选项B错误;－30°角是小于90°的角，但它不是锐角，故选项D错误．答案：C反思(1）解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90°的角、0°～90°的角等概念．（2)本题也可采用排除法，这时需掌握判断说法是否正确的技巧．判断说法正确需要证明，而判断说法错误只需举一反例即可．探究二终边相同的角的问题求与已知角α终边相同的角，首先将这样的角表示成k·360°＋α（0°≤α<360°，k∈Z)的形式，然后采用赋值法或解不等式求解，确定k的值，求出适合条件的角．【例2】在角的集合｛α｜α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，（1）有几种终边不相同的角?(2)有几个在－360°~360°范围内的角？分析:从代数角度看,取k＝…,－2，－1,0,1,2，…，可以得α为…，－135°，－45°，45°，135°，225°，…;从图形角度看，是以45°角为基础，依次加上（或减去)90°的整数倍，即依次按逆时针（或顺时针）方向旋转90°所得各角，如图所示，结合图形求解．解:（1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有4种,分别是与45°,135°，225°，315°角的终边相同的角．（2)令－360°≤k·90°＋45°＜360°，得－≤k＜．又因为k∈Z,所以k＝－4，－3，－2，－1,0，1，2，3．所以在－360°～360°范围内的角共有8个．反思把代数计算与对图形的认识结合起来即数形结合，会使这类问题处理起来更容易些．数形结合是解决数学问题的重要方法之一,做题时要注意自觉地应用．探究三已知角α终边所在象限，求（n∈N＋)终边所在象限一般地，要确定(n∈N＋）所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的n等分的射线,它们与坐标轴把周角等分成4n个区域，从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1，2,3，4，则标号是几的区域，就是当α为第几象限的角时，eq\f（α，n)终边落在的区域，所在的象限就可直观地看出．【例3】已知α是第一象限的角，求终边所在位置．解法一：因为α是第一象限的角，所以k·360°〈α<k·360°＋90°,k∈Z．所以k·120°〈〈k·120°＋30°，k∈Z．所以当k＝3n,n∈Z时，n·360°<〈n·360°＋30°;当k＝3n＋1，n∈Z时,n·360°＋120°〈<n·360°＋150°；当k＝3n＋2,n∈Z时，n·360°＋240°<〈n·360°＋270°．所以的终边在第一象限或第二象限或第三象限，如图(1)所示．图（1）图（2)解法二：如图（2)所示，先将各象限分成三等份,再从x轴正向上方起，依次将各区域标上1，2,3，4，则标有1的区域即为的终边所落在的区域,故的终边在第一象限或第二象限或第三象限．点评上述两种解法各有优缺点，解法一可以求出具体的,但运算量大，解法二只能粗略判断所在的象限，但操作简单．探究四终边相同的角的集合之间的关系解决与角有关的集合问题的关键是弄清集合中含有哪些元素．其方法有：一是将集合中表示角的式子化为同一种形式(这种方法要用到整数分类的有关知识，即分类讨论)；二是用列举法把集合具体化，对各集合中表示角的式子中的k赋值,并将角的终边画在坐标系中，直至重复出现相同位置的终边为止,根据各类集合中角的终边的情况，判断角的集合的关系．【例4】已知集合A＝｛α|30°＋k·180°〈α<90°＋k·180°，k∈Z｝，集合B＝｛β｜－45°＋k·360°〈β〈45°＋k·360°，k∈Z｝，求A∩B．解：因为30°＋k·180°〈α〈90°＋k·180°，k∈Z,所以当k为偶数,即k＝2n(n∈Z）时，30°＋n·360°〈α<90°＋n·360°，n∈Z；当k为奇数，即k＝2n＋1(n∈Z)时，210°＋n·360°〈α〈270°＋n·360°,n∈Z，所以集合A中角的终边在如图阴影（Ⅰ）区域内，集合B中角的终边在如图阴影(Ⅱ）区域内．所以集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内．所以A∩B＝｛α|30°＋k·360°〈α〈45°＋k·360°，k∈Z}．规律总结区域角表示的步骤：①借助图形，在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域；②确定－360°〈α〈360°范围内的基本角,即区域起始及终止边界所对应的角；③写出终边相同的角的集合．解决终边相同的角的集合问题，一般都是利用图象数形结合解题．探究五易错辨析易错点：考虑不全面,忽视对称轴可分为两个半轴【例5】已知α，β角的终边关于y轴对称，则α与β的关系为__________．错解：因为α，β角的终边关于y轴对称，所以＝90°＋k·360°（k∈Z)．错因分析：上述解法仅是关于y轴非负半轴对称的情况，而忽视了关于y轴非正半轴对称的情况．正解：因为α，