湖北省部分市州2024-2025学年高三数学上学期元月联合调研考试试题

Page9湖北省部分市州2024年元月高三数学联合调研考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满意（其中i为虚数单位），则（）A．1 B．2 C． D．52．已知集合，，则集合（）A． B． C． D．3．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）A．平均数 B．第50百分位数 C．极差 D．众数4．已知，且，则的值为（）A． B． C． D．5．已知函数则函数的图象大致是（）A． B． C．D．6．已知数列的前n项和为，且，，则的值为（）A． B． C． D．7．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．28．在三棱锥中，，，设侧面PBC与底面ABC的夹角为α，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，（）A． B． C． D．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（）A． B．C． D．10．已知实数a，b，c满意，则下列关系式中可能成立的是（）A． B． C． D．11．已知函数，则下列说法正确的是（）A．是的一个周期B．的图象关于点中心对称C．在区间上的零点个数为4D．的最大值为12．已知正方体的棱长为3，P为正方体表面上的一个动点，Q为线段上的动点，．则下列说法正确的是（）A．当点P在侧面（含边界）内时，为定值B．当点P在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为C．当点P在侧面（含边界）内时，对随意点P，总存在点Q，使得D．点P的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的绽开式中，常数项为________．14．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球．第一次从红箱内取出一球，视察颜色后放回原处；其次次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则其次次取到红球的概率为________．15．过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为，，，点P在抛物线的准线上．若AP是的角平分线，则点P到直线l的距离为______．16．已知关于x的不等式恒成立，则的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程及演算步骤．17．（10分）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．（1）求边b的值；（2）若D为边BC的中点，，求的面积．18．（12分）已知数列中，对随意的，都有．（1）若为等差数列，求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．19．（12分）如图所示，在四棱锥中，，，，．（1）证明：；（2）求直线BC与平面PCD所成角的余弦值．20．（12分）2024年11月21日．第22届世界杯在卡塔尔开幕．小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环竞赛（每支球队均与另外三支球队进行一场竞赛）；每场竞赛胜者积3分，负者积0分；若出现平局，则竞赛双方各积1分．若每场竞赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为，出现平局的概率为．（1）求甲队在参与两场竞赛后积分X的分布列与数学期望；（2）小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率．21．（12分）已知，为椭圆C：的左、右焦点．点M为椭圆上一点，当取最大值时，．（1）求椭圆C的方程；（2）点P为直线上一点（且P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点B关于x轴的对称点为，连接交x轴于点G．设，的面积分别为，，求的最大值．22．（12分）设函数．（1）当时，求在上的最值；（2）对，不等式恒成立，求实数a的取值范围．湖北省部分市州2024年元月高三年级联合调研考试·数学参考答案、提示及评分细则一、单项选择题1．C2．D3．A4．C5．B6．D7．B8．B二、多项选择题9．BC10．ABC11．ABD12．ACD三、填空题13．6 14． 15．5 16．17．解：（1）因为，由正弦定理得：，且，所以．（2）延长AD至点E，满意，连接EB，EC，在中，由余弦定理得：，因为，，代入上式整理得：，所以所以．18．解：（1）由条件，可得：，，因为为等差数列，设公差为d，由上式可得：，，所以的通项公式为．（2）由条件，可得：，两式相减得：，因为，所以，所以数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；偶数项是首项为1公差为4的等差数列．所以当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上：．19．解：（1）连接BD，设BD的中点为O，连接OA，OP．因为，所以，因为，所以，又，所以平面OAP，因为平面OAP，所以．（2）因为，所以，又，所以，所以，又，所以平面ABCD．如图，以O为原点，OB，OP所在直线分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，平面PCD的法向量分别为，所以即取，则，设与平面PCD所成的角为α，则则直线BC与平面PCD的夹角余弦值为．20．解：（1）甲队参与两场竞赛后积分X的取值为0，1，2，3，4，6．所以随机变量X的分布列为：X012346P随机变量X的数学期望：．（2）由于小组赛共打6场竞赛，每场竞赛两个球队共积2分或者3分；6场竞赛总积分的全部状况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种状况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分．若每支球队得3分：则6场竞赛都出现平局，其概率为：；若每支球队得4分：则6场竞赛出现2场平局，则每支球队3场竞赛结果均为1胜平1负，其概率为：﹒所以四支球队积分相同的概率为．21．（1）依题意有当M为椭圆短轴端点时最大，此时，则为正三角形，则且∴，又，∴，，故椭圆方程为．（2）设，，，则依题意有PA：，PB：（注：椭圆上一点的切线方程结论要求证明，没有证明扣一分，本答案证明过程略）因PA，PB都过点，则，则AB方程为，即AB过定点．故设AB方程为，，联立，∴∴，，