新高考数学二轮复习 小题综合练专题04 排列组合与二项式定理（解析版）

专题04排列组合与二项式定理小题综合一、单选题1．（2023·浙江·校联考模拟预测）盒子里有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个黑色，6个白色.现每次不放回地抽取2个小球，直到2个黑球全部取出为止，则共有（

）种不同的取法.A．10 B．4 C．16 D．20【答案】A【分析】利用分类加法计数原理即可求出结果.【详解】1次取完：2黑，共1种取法；2次取完：①第1次1黑1白，第2次1黑1白；②第1次2白，第2次2黑；共2种取法；3次取完：①前2次中取出一个黑球，第3次取出一个黑球；②前2次都是白球，最后一次2个黑球，共SKIPIF1<0.4次取完：①前3次中取出一个黑球，第4次取出一个黑球；②前3次都是白球，最后一次2个黑球，共SKIPIF1<0；根据分类计数原理知，共10种，故选：A.2．（2023·校考模拟预测）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（

）种．A．40 B．24 C．20 D．12【答案】B【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有SKIPIF1<0种，故选：SKIPIF1<0．3．（2023·浙江·校联考模拟预测）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．84 B．56 C．36 D．28【答案】A【分析】根据给定的展开式特征，列出SKIPIF1<0的表达式，再利用组合数性质计算作答.【详解】依题意，SKIPIF1<0.故选：A4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．15 D．16【答案】D【分析】令SKIPIF1<0计算可得.【详解】因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.故选：D5．（2023·浙江·校联考模拟预测）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从SKIPIF1<0这5种菜中任意选用2种，则SKIPIF1<0菜有2人选用、SKIPIF1<0菜有1人选用的情形共有（

）A．54 B．81 C．135 D．162【答案】C【分析】先选出选择SKIPIF1<0菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解即可.【详解】SKIPIF1<0菜有2人选用有SKIPIF1<0种，比如甲、乙选用了SKIPIF1<0菜，①甲、乙之中有1人选用了B菜，有SKIPIF1<0种，比如甲用了B菜，则乙从SKIPIF1<0中任意选用1种，有SKIPIF1<0种，丙从C，D，E中任意选用2种，有SKIPIF1<0种，故共有SKIPIF1<0②丙选用了B菜，丙再从SKIPIF1<0中任意选用1种，有SKIPIF1<0种，甲、乙再从SKIPIF1<0中各任意选用1种，有SKIPIF1<0种，故共有SKIPIF1<0由①②可知所有情形是SKIPIF1<0.故选：C6．（2023·浙江·高三专题练习）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（

）A．120 B．210 C．211 D．216【答案】D【分析】共有三种情况，3人各站一个台阶，或2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，或3人站一个台阶，然后根据分类计数原理即可求解．【详解】由题意分三种情况：第一种情况是3人各站一个台阶，有SKIPIF1<0种；第二种情况是2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，有SKIPIF1<0种，第三种情况是3人站一个台阶，有SKIPIF1<0种，所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是SKIPIF1<0种．故选：D．7．（2023·浙江金华·统考模拟预测）学校举行德育知识竞赛，甲､乙､丙､丁､戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名.甲､乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙､丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的”.从这个回答分析，5人的名次排列共有（

）种不同的可能情况.A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】分冠军为甲乙两人中的一人；冠军为戊，丁为第二名；冠军为戊，丁为第三名；冠军为戊，丁为第四名，四种情况，结合相邻问题及特殊元素法分别求解即可.【详解】解：由题意可知，冠军不会是丙、丁且丁不是第5名，当冠军为甲乙两人中的一人时，由于甲乙两人名次相邻，所以第二名一定两人中的另一人，丁就只能是第三(四)名，丙和戊两个人就只能是第四(三)和第五名了，此时共有SKIPIF1<0种情况；当冠军为戊，丁为第二名时，将甲乙捆绑在一起，内部排列共SKIPIF1<0种，此时甲，乙，丙三个人的只能是第三、四、五名了，共有SKIPIF1<0种，所以此时共有SKIPIF1<0种情况；当冠军为戊，丁为第三名时，由于甲乙两人名次相邻，所以第二名只能是丙，第四名和第五名只能是甲乙，所以此时共有SKIPIF1<0种情况；当冠军为戊，丁为第四名时，由于甲乙两人名次相邻，所以第五名只能是丙，第二名和第三名只能是甲乙，所以此时共有SKIPIF1<0种情况；所以共有SKIPIF1<0种.故选：B.8．（2023·浙江·二模）已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的展开式中含SKIPIF1<0项系数为SKIPIF1<0，则含SKIPIF1<0项系数的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用二项式定理通项公式分别写出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项和含SKIPIF1<0的项，再由含SKIPIF1<0项系数为SKIPIF1<0列式得SKIPIF1<0的关系式，表示出含SKIPIF1<0项系数并将其转化为关于SKIPIF1<0的一元二次方程式，根据二次函数的性质求解最小值即可.【详解】二项式SKIPIF1<0展开式中含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，二项式SKIPIF1<0展开式中含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，由题意得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0展开式中含SKIPIF1<0项系数为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0，所以含SKIPIF1<0项系数的最小值为SKIPIF1<0.故选：D9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）二项式SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用二项式定理可得SKIPIF1<0展开式通项，分别令SKIPIF1<0即可确定SKIPIF1<0的系数.【详解】SKIPIF1<0展开式通项为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故选：D.10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】首先构造二项式SKIPIF1<0，再根据两边求导，再变形后求导，赋值后即可求解.【详解】SKIPIF1<0，两边求导得，SKIPIF1<0，两边乘以SKIPIF1<0后得，SKIPIF1<0，两边求导得，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.故选：A二、填空题11．（2023·浙江·校联考三模）已知SKIPIF1<0的展开式中各项系数的和为4，则实数SKIPIF1<0的值为___________.【答案】1【分析】令SKIPIF1<0即可求解.【详解】令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为:1.12．（2023·浙江杭州·统考一模）在SKIPIF1<0的展开式中，常数项为______．【答案】41【分析】将问题转化成SKIPIF1<0的常数项及含SKIPIF1<0的项，利用二项展开式的通项公式求出第SKIPIF1<0项，令SKIPIF1<0的指数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求出常数项及含SKIPIF1<0的项，进而相加可得答案．【详解】先求SKIPIF1<0的展开式中常数项以及含SKIPIF1<0的项；SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0的展开式中常数项为SKIPIF1<0，含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0SKIPIF1<0的展开式中常数项为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<013．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）多项式SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0项的系数为______（用数字作答）．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据组合数的方法求解即可.【详解】依题意，SKIPIF1<0中，含SKIPIF1<0项的为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<014．（2023·浙江·校联考模拟预测）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为___________（用数字作答）.【答案】14【分析】根据二项式定理求出含SKIPIF1<0的项，即可得其系数.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为14.故答案为：1415．（2023·浙江·校联考二模）SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为__________.【答案】9【分析】利用二项展开式的通项，分别求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数，即可得出答案.【详解】∵SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，∴令SKIPIF1<0，可得展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，∴令SKIPIF1<0，可得展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0．故答案为：9．16．（2023·浙江·高三专题练习）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是______.【答案】20【分析】直接用二项式定理讨论即可.【详解】二项式SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0中取x时，这一项为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0中取y时，这一项为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<017．（2023·浙江温州·统考三模）SKIPIF1<0展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）【答案】SKIPIF1<0【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.【详解】SKIPIF1<0展开式通项公式SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0展开式的常数项是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<018．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为__________.【答案】8【分析】利用圆的对称性，分两种情况：相邻两个点和圆心、相间隔的三点，即可求出结果.【详解】如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个；所以，7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为SKIPIF1<0个.

故答案为：8.19．（2023·浙江金华·统考模拟预测）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是___________.（用数字作答）.【答案】SKIPIF1<0【分析】求出SKIPIF1<0展开式的通项，再分别令SKIPIF1<0的指数等于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即可得解.【详解】SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）在SKIPIF1<0的展开式中，x的系数为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】分别列出SKIPIF1<0的展开式的通项，由此确定结论.【详解】二项式SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二项式SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式中，含x的项为SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0的展开式中，x的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.21．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0的展开式中常数项为120，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据二项展开式的通项即可得到关于SKIPIF1<0的方程，解出即可.【详解】SKIPIF1<0的展开式通项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展开式中的常数项为SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.22．（2023·浙江金华·模拟预测）SKIPIF1<0除以100的余数是__________．【答案】1【分析】将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，利用二项定理将其展开，即可求得答案.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0是100的倍数，故SKIPIF1<0除以100的余数等于SKIPIF1<0，故答案为：123．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意可知SKIPIF1<0，进而利用展开式的通项公式化简整理，即可得出结果.【详解】由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展开式的通项SKIPIF1<0中SKIPIF1<0时，展开式的通项公式为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于要求展开式中SKIPIF1<0的系数，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，展开式的项为SKIPIF1<0，所以展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.24．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的展开式中，含SKI