新高考数学二轮复习 小题综合练专题06 立体几何（解析版）

专题06立体几何小题综合一、单选题1．（2023·浙江金华·统考模拟预测）如图位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早､规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，已知正四棱锥的高为SKIPIF1<0，其侧棱与底面的夹角为SKIPIF1<0，则该正四棱锥的体积约为（

）SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设正四棱锥的底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0为侧棱SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角，结合SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，结合体积公式，即可求解.【详解】如图所示，设正四棱锥的底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为侧棱SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角，因为侧棱与底面的夹角为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得正四棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，又因为正四棱锥的高为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.2．（2023·浙江·校联考三模）已知半径为4的球SKIPIF1<0，被两个平面截得圆SKIPIF1<0，记两圆的公共弦为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的体积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，依题意，可得如下图形，由圆的性质可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为二面角的平面角，故SKIPIF1<0，四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，由球的截面性质，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四点共圆，则有外接圆直径SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C3．（2023·浙江·校联考模拟预测）将一个体积为SKIPIF1<0的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设正三棱锥的底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，球半径为SKIPIF1<0，由球体积求得球半径SKIPIF1<0，根据边长、高、外接球半径关系及棱锥体积公式得到零件体积关于SKIPIF1<0的函数，利用导数求体积最大值.【详解】设正三棱锥的底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，球半径为SKIPIF1<0，由球的体积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正三棱锥的体积为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值为SKIPIF1<0.故选：D4．（2023·浙江·校联考模拟预测）建筑物的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，这种建筑叫攒（cuán）尖建筑，其屋顶叫攒尖顶.其特点是屋顶为锥形，没有正脊，顶部集中于一点，即宝顶，该顶常用于亭､榭､阁和塔等建筑.1981年温州江心屿的东西双塔列为温州市第一批文物保护单位.江心屿东塔为六角攒尖顶，其檐平面呈正六边形，它有着与其角数相同的垂脊和围脊，如图所示，它的轮廓可近似看作一个正六棱锥.假设东塔的围脊为SKIPIF1<0，垂脊为SKIPIF1<0，则攒尖坡度（屋顶斜坡与檐平面所成二面角的正切值）为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】SKIPIF1<0为底面中心，连接SKIPIF1<0，确定SKIPIF1<0为屋顶斜坡与檐平面所成二面角的正切值，计算得到答案.【详解】如图，SKIPIF1<0为底面中心，连接SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，三直线交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为屋顶斜坡与檐平面所成二面角的正切值，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

故选：C5．（2023·浙江·校联考二模）在平行四边形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，将三角形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到三角形SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.记线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，那么直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由余弦定理，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点建立空间直角坐标系，利用向量法解决线面角问题.【详解】SKIPIF1<0，由余弦定理，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，平面SKIPIF1<0内垂直于SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0轴，垂直于平面SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.故选：A6．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0为正方形的阳马中，若SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0B．异面直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0C．四棱锥SKIPIF1<0的体积为1D．直线SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0【答案】B【分析】把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A；求出线面距离判断B；求出四棱锥体积判断C；求出线面角的余弦判断D作答.【详解】由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为正方形，而SKIPIF1<0，则阳马可补形成正方体SKIPIF1<0，如图，

对于A，由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，A错误；对于B，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而异面直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的距离等于直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的距离，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，B正确；对于C，四棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，C错误；对于D，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，D错误.故选：B7．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为两个全等的等腰梯形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则此刍甍体积的最大值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在SKIPIF1<0上取两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，将刍甍分为两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，进而表示体积为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用导数分析单调性，进而求解最大值即可求解.【详解】在SKIPIF1<0上取两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0和SKIPIF1<0体积相同，取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0中心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

根据题意可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，则等腰梯形SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，所以刍甍的体积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.8．（2023·浙江·高三专题练习）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0为空间内一点且满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作与SKIPIF1<0平行的平面，与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题意知平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可先令SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，再证明当点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点时，满足平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即可轻易得出SKIPIF1<0的值.【详解】因为SKIPIF1<0为空间内一点且满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作与SKIPIF1<0平行的平面，与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.在正方体SKIPIF1<0中，如图所示，取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0，假设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0为等腰三角形，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0;又因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，符合题意，故SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0.故选：D.9．（2023·浙江·高三专题练习）已知菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，对角线SKIPIF1<0长为SKIPIF1<0，将△SKIPIF1<0沿着对角线SKIPIF1<0翻折至△SKIPIF1<0，使得线段SKIPIF1<0长为SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所先计算出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用公式SKIPIF1<0，算出两向量的夹角的余弦值，从而得出异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值.【详解】因为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0所以异面直线SKIPIF1<0与CD所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：D10．（2023·浙江绍兴·统考二模）牟合方盖是由我国古代数学家刘徽发现并采用的，一种用于计算球体体积的方法，类似于现在的微元法.由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖.本质上来说，牟合方盖是两个半径相等并且轴心互相垂直的圆柱体相交而成的三维图形，如图1所示.刘徽发现牟合方盖后200多年，祖冲之及他的儿子祖暅，推导出牟合方盖八分之一部分的体积计算公式为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为构成牟合方盖的圆柱底面半径）.图2为某牟合方盖的SKIPIF1<0部分，且图2正方体的棱长为1，则该牟合方盖的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据“牟盒方盖”的定义和体积公式计算可得.【详解】由图可知，牟合方盖的圆柱底面半径即为正方体的棱长，所以SKIPIF1<0，该牟合方盖的体积为SKIPIF1<0.故选：C.11．（2023·浙江·统考二模）已知三棱锥SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形，顶点P到底面SKIPIF1<0的距离为2，其外接球半径为5，则侧棱SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角的正切值的取值范围为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题意分析知，分成两种情况，讨论SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，求解SKIPIF1<0即可得出答案.【详解】正SKIPIF1<0外心为SKIPIF1<0，边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，外接球球心SKIPIF1<0必在过SKIPIF1<0垂直于底面的直线上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若P，SKIPIF1<0在平面ABC的同侧；SKIPIF1<0到底面距离为2，故SKIPIF1<0在离底面SKIPIF1<0距离为2的平面上SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0轨迹为SKIPIF1<0上以SKIPIF1<0为圆心，5为半径的圆，作SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0轨迹为以SKIPIF1<0为圆心，5为半径的圆，SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0同理，若P与SKIPIF1<0在平面ABC的异侧，则P的轨迹是半径为3的圆，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；综上SKIPIF1<0.故选：A.12．（2023·浙江·高三专题练习）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线SKIPIF1<0平面ABC的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理、面面平行的性质可确定正确选项.【详解】对于A，由正方体的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以直线SKIPIF1<0平面ABC，能满足；

对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以直线SKIPIF1<0平面ABC，能满足；

对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以直线SKIPIF1<0平面ABC，能满足；

对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.

故选：D.13．（2023·浙江·校联考模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均与曲池的底面SKIPIF1<0垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为SKIPIF1<0，则图中四面体SKIPIF1<0的体积为（

）．A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意可求SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为全等的等腰三角形，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，构造出平面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，从而可求四面体SKIPIF1<0的体积.【详解】依题意，根据勾股定理可求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为全等的等腰三角形，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由等腰三角形的性质可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可求SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B14．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折（如图2），记四面体SKIPIF1<0的外接球为球SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为球心）.SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上一动点，当直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角最大时，四面体SKIPIF1<0体积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先得到球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中点，然后当SKIPIF1<0与球SKIPIF1<0相切时直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的最大，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂足为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时四面体SKIPIF1<0体积取得最大值，即可求出答案.【详解】由题意可知，SKIPIF1<0均为等腰直角三角形，所以四面体SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上的动点，若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的最大，则SKIPIF1<0与球SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0最大，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上运动.所以当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时四面体SKIPIF1<0的体积取得最大值.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.15．（2023·浙江绍兴·统考二模）如图，SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0.连SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折成三棱锥SKIPIF1<0，当三棱锥SKIPIF1<0外接球表面积的最小值时，二面角SKIPIF1<0的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题可得SKIPIF1<0为等边三角形，设SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0，根据球的性质可得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时适合题意，进而即得.【详解】因为SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0为直角三角形，设SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0外接球表面积的最小,即外接球的半径最小时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，此时SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，余弦值为0.故选：B.【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．二、多选题16．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，则（

）A．SKIPIF1<0B．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据线面垂直的判定定理、线面角的定义，结合异面直线所成的角定义逐一判断即可.【详解】对A选项，如图，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，又易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以本选项正确；对B选项，假设直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正四棱柱的性质可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而由正四棱柱的性质可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然这是不可能的，所以假设不成立，因此本选项错误；对C选项，在矩形SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，本选项正确；对D选项，由A选项分析可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，又根据题意易知SKIPIF1<0，本选项正确，故选：ACD17．（2023·浙江·高三专题练习）某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，SKIPIF1<0是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面SKIPIF1<0为平行四边形，设棱锥高为SKIPIF1<0，体积为SKIPIF1<0，现将容器以棱SKIPIF1<0为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0的中点，则（

）A．水的体积为SKIPIF1<0B．水的体积为SKIPIF1<0C．图甲中的水面高度为SKIPIF1<0D．图甲中的水面高度为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可.【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，而三棱柱SKIPIF1<0与平行六面体的高相同，则SKIPIF1<0，根据四棱锥SKIPIF1<0与平行六面体底和高均相同，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0易知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确，B错误，图甲中上方的小四棱锥高为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故图甲中的水面高度为SKIPIF1<0，故C正确,D错误；故选：AC.18．（2023·浙江·高三专题练习）如图，多面体ABCDEF的8个面都是边长为2的正三角形，则（

）A．SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面FABC．直线EA与平面ABCD所成的角为SKIPIF1<0 D．点E到平面ABF的距离为SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据多面体ABCDEF的8个面都是边长为2的正三角形条件结合正方形的特点，可判断A选项，取SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根据两平面的二面角可判断B选项，根据对称性找到平面SKIPIF1<0的垂线，根据线面角的性质可求C选项，求点到面的距离转化为求三角形的高，可判断D选项.【详解】对于A选项，如图，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正三角形可得SKIPIF1<0为正方形，故SKIPIF1<0，故A正确；对于B选项，取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，由正三角形的性质可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故B错误；对于C选项，由条件可知四棱锥SKIPIF1<0、四棱锥SKIPIF1<0均为正四棱柱，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交点为正方形SKIPIF1<0的中心，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故C正确；对于D选项，连接SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的高，设点E到平面ABF的距离为SKIPIF1<0，由几何关系可求得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，代入数据解得SKIPIF1<0，故D正确．故选：ACD.19．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的一动点，则（

）A．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．对任意的点SKIPIF1<0C．存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小是SKIPIF1<0D．对任意的点SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的体积是定值【答案】BD【分析】以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求解即可判断A；验证SKIPIF1<0即可判断B；平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由题意SKIPIF1<0,求解即可判断C；可证得SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离与SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离相等且为定值，结合SKIPIF1<0即可判断D.【详解】以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，如图，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此方程组无解，故A错误；SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故B正确；平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由题意SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，均与SKIPIF1<0矛盾，故C错误；SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离与SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离相等且为定值，设为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为定值，则SKIPIF1<0为定值，故D正确.故选：BD.20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A,B,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为SKIPIF1<0，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0为经过SKIPIF1<0两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为SKIPIF1<0，北极为点N，点P，Q是地球表面上的两点，则（

）

A．SKIPIF1<0B．若点SKIPIF1<0在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，则SKIPIF1<0C．若点SKIPIF1<0在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则球面SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0【答案】BD【分析】当SKIPIF1<0时，求得SKIPIF1<0，可判定A错误；求得SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，可判定B正确；由球心角SKIPIF1<0，结合球的表面积求得SKIPIF1<0的面积，可判定C错误；由SKIPIF1<0时，构造正四面体SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，结合对称性，求得球面SKIPIF1<0的面积，可判定D正确.【详解】对于A中，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以A不正确；对于B中，当点SKIPIF1<0在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，可得球心角SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以B正确；对于C中，当点SKIPIF1<0在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，可得球心角SKIPIF1<0，又由球的表面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，所以C错误；对于D中，如图所示，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0为等边三角形，构造一个球内接正四面体SKIPIF1<0，其中心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正四面体SKIPIF1<0内切球得到半径，设正四面体SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为高SKIPIF1<0的靠近SKIPIF1<0的四等分点，则SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根据对称性，可得球面SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，所以D正确.故选：BD.

21．（