切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理93336

1、实用标准文案切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1 .切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2 .切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径;（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角

2、。精彩文档3 .弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切。0于P, PG PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4 .弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5 .弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6 .遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7 .与圆有关的比例线段已知结论定理图形中，AR CD为弦，交 PA- PB= PC- PD.于P.00 中，AB为直径，CDLAB PC2=PA- PB.于P.证法连结 AC、BD, 证： AP6 DPB.用相交弦定理.切割线定 理00中，PT切。0于T, 割线PB交。0

3、于APT2=PA- PB连结TA、TB , 证： PTB APAT切割线定 理推论00 中，割线 PB交。0 于 P'C P'D = r2A, CD为弦OP'2过P作PT切。0于T,用 两次切割线定理圆骞定理PA- PB= 0P-r2r为。的半径延长P'O交。0于M,延 长OP'交。0于N,用相交 弦定理证；过P作切线用 切割线定理勾股定理证8.圆哥定理：过一定点P向。0作任一直线，交。于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积 为常数| 0P2 一炉I（R为圆半径），因为0*-R2叫做点对于。0的哥，所以将上述定理统称为 圆哥定理。【典型例题】例1.如图

4、1,正方形ABCD勺边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆 点为F,交CD于E,求DE AE的值。0,过A作半圆切线，切图1解：由切线长定理知： AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x,在RtADE中，由勾股定理+ "=(1-力口+ X = - 4 1 315DE = - = -+ - = -44,44,，困 =- = 3： 54 4例2. 00中的两条弦 AB与CD相交于E,若 AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm 那么 CE=cm。图2解：由相交弦定理，得AEE- B已 CE- DE. A 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm, DECD-CEl-C

5、E,6X2 二期-闺， 即一二二，二一 . CE= 3cm 或 CE= 4cm=故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则 A" AC - PBl 解：./P=/P/ PAC= / B,.PA6 APBAA8_PB.AC = PA, AB2 _ PB2万一前。又PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得回"加阳AB2 _ PB2 _ PB .7cWrPC'pc, 即力M十二期FC, 故应填PG点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4.如图3, P是。0外一点，PC切

6、。0于点C, PAB是。0的割线，交。0于A、B两点，如果PA: PB= 1: 4, PC= 12cm, 00的半径为10cm,则圆心。到AB的距离是 cm。解：.PC是。0的切线，PAB是。0的割线，且 PA: PB= 1 : 4 .PB= 4PA又PC= 12cm由切割线定理，得d1?.P£ =36,.PB= 4X6= 24 (cm).AB= 24-6= 18 (cm)设圆心。到AB距离为d cm,由勾股定理，得d = 7102 - 92 =故应填尽。例5.如图4, AB为。0的直径，过 B点作。0的切线BC, OC交。0于点E, AE的延长线交 BC于点D, (1)求证:点悟：

7、要证证明：(1)连结BE;(2)若AB= BC= 2厘米，求CE CD的长。8c是©。的切线n乙4 = ZCBE' oa = oeZa = Zoea Zoea = Zdec“ CR 一AC£DcoAC8£ => = => Cff2 = C8 CD CD CE(2)为直径, n ZASD = 90*3 = 2=05 = 1BC = 2，=OC - J4 +1 =OE= 1'n Off 二店-1。又.C那二1,CB = 2,. 席可= 2CDnCb二国而厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6.如图5

8、, AB为。0的直径，弦 CD/ AR AE切。0于A,交CD的延长线于 E。B图5证明：连结BD,.AE切。0 于 AEAD= Z ABD. AE! AB,又 AB/ CD .AE! CD.AB为。0的直径ADB= 90°E= Z ADB= 90° .AD曰 ABADAD _ DE 45 -AD . 山，川久. CD/ ABn nAD = BC.AD= BC,1'.' .一:证明：.PA切。于A, PAD= Z PBA又 / APD= Z BPA .PAD APBA：.翡-Q同理可证 PCmAPBCCD_PD天正.PA PC分别切。0于A、CPA= PCU

9、-加.AD- BC= DC- AB例8.如图7,在直角三角形 ABC中，/A= 90° ,以 AB边为直径作。0,交余边 BC于点D,过D点 作。0的切线交AC于E。图7求证：BC= 20E点悟：由要证结论易想到应证 0E是 ABC的中位线。而 0A= 0B只须证 AE= CE证明：连结0D. ACL AB, AB为直径AC为。0的切线，又 DE切。0于D.EA= ED, 0DL DE1- 0B= 0D，/ B= Z 0DB在 RtABC中，Z C= 90° -ZB/ 0DE 90°./ C= Z EDC.ED= EC.AE= EC.0E是ABC的中位线 .BC=

10、 20E例9.如图8,在正方形 ABCD中，AB= 1, NC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点EI n是边AD上的任意一点（点 E与点A、D不重合），过E作RC所在圆的切线，交边 DC于点F, G 为切点。当/DEF= 45°时，求证点 G为线段EF的中点；图8解：由/DEF= 45° ,得/D殛二裔-ZW = 45° , ./ DFE= Z DEF.DE= DF又AD= DC.AE= FC因为AB是圆B的半径，ADL AB,所以 AD切圆B于点A;同理，CD切圆B于点C= 又因为EF切圆B于点G 所以AE= EG FC= FG因此EG= FG,即点G

11、为线段EF的中点。【模拟试题】（答题时间：40分钟）-、选择题1 .已知：PAPB切。0于点A、B,连结AB,若AB= 8,弦AB的弦心距3,则PA=（20-C. 5D. 8A. 3B.2 .下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形3.已知：如图B. 40 °C.60D. 55C.菱形D.梯形A. 504 .圆内两弦相交，一弦长 8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1: 4,则另一弦长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5 .在ABC中，D是BC边上的点，AL2j%M,BD= 3cm,DC= 4cm,如果E是AD的延长线与 ABC的外接圆的交点，那么

12、 DE长等于（）6 .PT切。0于T,CT为直径，D为OC上一点，直线PD交。0于B和A B在线段PD上，若CD=2, AD= 3, BD= 4,贝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5 D.I-二、填空题7 . AB 、CD是。0切线，AB/ CDEF是。0的切线，它和ABCD分别交于E、F,则/EOF度。8 .已知：00和不在。0上的一点 P,过P的直线交。0于A、B两点，若 PA- PB= 24, OP= 5, 则。0的半径长为。9 .若PA为。0的切线，A为切点，PBC割线交。0于B、C,若BC= 20, PA 1073 ,则PC的 长为。10 .正4ABC内接于。Q M N分别

13、为AR AC中点，延长 MN交。0于点D,连结BD交AC于P,则 PA -。三、解答题11 .如图2, 4ABC中，AC= 2cm,周长为8cm, F、K、N是 ABC与内切圆的切点， DE切。0于点 M 且 DE/ AC 求 DE的长。图212.如图3, ZDCP已知P为。0的直径AB延长线上一点,PC切。0于C, CDL AB于D,求证：CB平分13.如图4,B隹 MNh NC图4已知AD为。0的直径，AB是。0的切线，过 B的割线BMN AD的延长线于 C,且 若ab=圈，求。o的半径。【试题答案】-、选择题1 . A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A二、填空题7. 908. 19. 3010.三、解答题:11 .由切线长定理得 BDE周长为4,由4BD曰 BAC彳导 DE= 1cm12 .证明：连结AC则ACL CB. CDL AB, .ACB