新高考数学二轮复习07选填题之解三角形（解析版）

高中数学二轮复习讲义——选填题部分第7讲解三角形解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．题型一、正、余弦定理基础1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（）A．若sinAa=cosBb=B．asinAC．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinB D．若sin2A＝sin2B，则a＝b【解答】解：A，∵sinAa∴由正弦定理sinB＝cosB，sinC＝cosC，又∵B，C为△ABC的内角，∴B＝C＝45°，故A＝90°，A正确；B，∵由正弦定理可得asinA=b∴b+csinB+sinC=2R(sinB+sinC)sinB+sinC=2C，在△ABC中，设外接圆的半径为R，若sinA＞sinB，则2RsinA＞2RsinB，由正弦定理可得a＞b，即A＞B；若A＞B，即有a＞b，即2RsinA＞2RsinB，即a＞b．则在△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B，故C正确；D，∵sin2A＝sin2B∴sin2A﹣sin2B＝cos（A+B）sin（A﹣B）＝0∴cos（A+B）＝0或sin（A﹣B）＝0∴A+B=π2或A∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故D错误．故选：D．2．在△ABC中，cosC=23，AC＝4，BC＝3，则tanA．5 B．25 C．45 D．85【解答】解：∵cosC=23，AC＝4，∴tanC=1∴AB=AC2+BC∴B＝π﹣2C，则tanB＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C=−2tanC1−tan故选：C．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=−14，则A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=−1∴a2解得3c2=1∴bc故选：A．4．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，acosc+3asinC−b−c=0，则A．π2 B．π3 C．π4【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+3sinAsinC﹣sinB﹣sinC∴sinAcosC+3sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，即sinAcosC+3sinAsinC﹣sinAcosC﹣cosAsinC﹣sin∴3sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，∵sinC≠0，∴3sinA＝cosA+1，即sinA1+cosA∴tanA2∴A2=π6故选：B．5．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（）A．3π4 B．π3 C．π4【解答】解：∵b＝c，∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝2b2﹣2b2cosA＝2b2（1﹣cosA），∵a2＝2b2（1﹣sinA），∴1﹣cosA＝1﹣sinA，则sinA＝cosA，即tanA＝1，即A=π故选：C．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c=22则1+tanAtanB=2cb，则∠【解答】解：1+tanA根据正弦定理bsinB=c∵1+tanA∴sinCcosAsinB=2sinCsinB又A为三角形的内角，∴∠A＝60°，∵a＝23，c＝22，sinA=3∴由正弦定理得：sinC=csinA又a＞c，∴A＞C，∴∠C＝45°．故答案为：45°题型二、角平分线问题1．△ABC中，cosA=18，AB＝4，AC＝2，则∠A的角平分线A．22 B．23 C．2【解答】解：在△ABC中，因为cosA=18，AB＝4，则由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA＝16+4﹣16×18=18，解得BC所以cosB=A根据角平分线的性质可得：CDBD=ACAB=12由余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB＝16+8﹣2×4×22×5故选：C．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3，a＝47，角A的平分线交边BC于点D，其中AD＝33，则S△ABC＝123【解答】解：由A=π3，a＝4余弦定理：cosA=b2+c2−a22bc，即bc＝角A的平分线交边BC于点D，由ABD和ADC面积和定理可得AD=2bccosA2b+c，即bc＝3（b+c）…②由①②解得：bc＝48．那么S△ABC=12cbsinA＝12故答案为：1233．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．7【解答】解：由题意得12acsin120°=12asin60°+1即ac＝a+c，得1a得4a+c＝（4a+c）（1a+1c）=c当且仅当ca=4ac，即故选：B．题型三、中位线问题1．△ABC中，A，B，C的对边分别记a，b，c，若b＝5，c＝6，BC边上的中线AD＝3，则AB→•ACA．15 B．﹣15 C．252 D．【解答】解：如图所示，根据平面向量的加法平行四边形法则可知，|AB|＝|AE|＝6，|BE|＝5，cosA＝cos（π﹣∠ABE）=−cos∠ABE=−6所以AB→故选：D．2．在锐角△ABC中，D是线段BC的中点，若AD＝2，BD=2，∠BAD＝30°，则角B＝45°，AC＝8−23【解答】解：∵在△ABD中，AD＝2，BD=2，∠BAD＝30°∴由正弦定理ADsinB=BDsin∠BAD，可得2∵B为锐角，∴B＝45°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+30°＝75°，又D是线段BC的中点，∴CD=2∴在△ADC中，由余弦定理可得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC＝4+2﹣2×2×2×cos75°＝8﹣23，即AC故答案为：45°，8−233．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是BC的中点，且AD=10，若S△ABC＝4，b＞c，且b−csinAa=cosCA．60° B．120° C．45° D．90°【解答】解：∵b−csinAa=cosC，可得：b＝acosC+csin由正弦定理可得：sinB＝sinAcosC+sinCsinA，又∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA，∴sinCsinA＝sinCcosA，∵sinC≠0，∴sinA＝cosA，可得：A＝45°，可得：cosC=2b−∵S△ABC=12bcsinA＝4，可得：bc＝82∵cosC=a∴可得：2b−2c2a=a2+b∴由①②解得：c=4b=22（b＞c，故舍去），或∴a=b2+c∴A＝C＝45°，可得：B＝180°﹣A﹣B＝90°．故选：D．题型四、周长、面积问题1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为233【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB＝4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sinBsinC≠0，所以sinA=1则A=由于b2+c2﹣a2＝8，则：cosA=b①当A=π6时，解得bc=8所以S△ABC②当A=5π6时，解得bc=−8故：S△ABC故答案为：232．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b2＝accosB，D为△ABC所在平面上一点，且CA⊥CD，CA＝CD，BC＝BD，AD＝2，则△ABD的面积为1．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：由b2＝accosB以及余弦定理得b2＝ac•a2得a2+c2＝3b2，又根据题意得AD＝2，AC＝CD=2，∴a2+c2∵BC＝BD，∴B的横坐标为22，设B（22，又A（0，2），C（0，0），∴a2+c2＝BC2+AB2=12+t2+12+（t−2）2＝2∴6＝2t2﹣22t+3，即t2−2t﹣解得t=322或∴B（22，322）或B（2由于这两个点到直线AD：x+y−2∴△ABD的面积为12故答案为：13．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足面积为332，3sinC﹣cosB＝cos（A﹣C），a=7，则A．2+7 B．3+7 C．4+7【解答】解：∵3sinC﹣cosB＝cos（A﹣C），∴3sinC+cos（A+C）＝cos（A﹣C），∴3sinC+cosAcosC﹣sinAsinC＝cosAcosC+sinAsinC，∴3sinC＝2sinAsinC∵sinC≠0，∴sinA=3∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°，∵S=12bcsinA∴bc＝6，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，∴（b+c）2＝7+18＝25，∴b+c＝5，∴△ABC的周长为5+7故选：D．题型五、最值问题1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a﹣b）•sinA＝csinC﹣bsinB，若△ABC的面积为33，则△ABC的周长的最小值为（）A．43 B．3+43 C．63 D．3【解答】解：∵（a﹣b）•sinA＝csinC﹣bsinB，∴由正弦定理可得（a﹣b）a＝c2﹣b2，可得a2+b2﹣c2＝ab，∴由余弦定理可得cosC=a2+b∵△ABC的面积为33=12absinC=3∴由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab＝12，即c≥23，当且仅当a＝b＝23时等号成立，∴△ABC的周长为a+b+c≥63，当且仅当a＝b＝23时等号成立，即△ABC的周长的最小值为63．故选：C．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a−cb=cosCcosB，bA．43 B．23 C．2 D．3【解答】解：∵在△ABC中2a−cb∴（2a﹣c）cosB＝bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，约掉sinA可得cosB=12，即B由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，∴△ABC的面积S=12acsinB=34故选：A．3．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈（4，6），sin2A＝sinC，则c的取值范围为（42，210）．．【解答】解：由正弦定理得，4sinA故c＝8cosA，因为16＝b2+c2﹣2bccosA，所以16﹣b2＝64cos2A﹣16bcos2A，因为b≠4，所以cos2A=16−所以c2＝64cos2A＝64×4+b16=4（4+b故42故答案为：（42，210）．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB+2sinAcosC＝0，则当cosB取最小值时，acA．2 B．3 C．33 D．【解答】解：由已知，利用正弦定理，余弦定理可得：b+2a•a2可得：a2+2b2﹣c2＝0，可得：b2=c可得：cosB=a2+当3a4c=c4a，即故选：C．5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=35c，则tan（A﹣A．35 B．13 C．38【解答】解：∵acosB﹣bcosA=35∴结合正弦定理，得sinAcosB﹣sinBcosA=35sin∵C＝π﹣（A+B），得sinC＝sin（A+B），∴sinAcosB﹣sinBcosA=35（sinAcosB+cosAsin整理，得sinAcosB＝4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA＝4tanB，由此可得tan（A﹣B）=tanA−tanB∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，∵1tanB+4tanB≥2∴tan（A﹣B）=31tanB+4tanB≤34，当且仅当1tanB=4tanB，即tan故选：D．6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足tanAtanB=2c−bb，则△ABC面积的最大值为【解答】解：由r＝1，利用正弦定理可得：c＝2rsinC＝2sinC，b＝2rsinB＝2sinB，∵tanA=sinAcosA，tanB∴tanAtanB∴sinAcosB＝cosA（2sinC﹣sinB）＝2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB＝sin（A+B）＝sinC＝2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=12，即A∴cosA=b∴bc＝b2+c2﹣a2＝b2+c2﹣（2rsinA）2＝b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b＝c时，取等号），∴△ABC面积为S=12bcsinA≤1则△ABC面积的最大值为：33故答案为：33题型六、取值范围问题1．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2﹣b2+ac＝0，则sinAsinBA．(0，22) B．(22，【解答】解：∵由题意可得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，∴a＝c﹣2acosB，由正弦定理得：sinA＝sinC﹣2sinAcosB＝sin（A+B）﹣2sinAcosB，化简得sinA＝sin（B﹣A），又△ABC为锐角三角形，∴B＝2A，又0＜B＝2A＜π2，0＜C＝π﹣3A∴π6＜A＜π4，则cosA∈（22，32），2cosA∴12cosA∈（33，∵sinAsinB=sinAsin2A=sinA故选：D．2．设锐角△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若3（acosB+bcosA）＝2csinC，b＝1，则c的取值范围为（32，3）【解答】解：∵3(acosB+bcosA)=2csinC∴由正弦定理可得：3（sinAcosB+sinBcosA）＝2sin2C，∴3sin（A+B）=3sinC＝2sin2C∵sinC≠0，∴解得：sinC=3∴由C为锐角，可得C=π又在锐角△ABC中，有0＜A＜π20＜B＜π2∴sinB∈（12∵b＝1，∴由正弦定理可得：c=bsinCsinB=32sinB故答案为：（32，33．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，若a=3，则b2+c2的取值范围是（5，6]【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2＝bc．由余弦定理可得：cosA=b∴A为锐角，可得A=π∵a=3∴由正弦定理可得：bsinB∴可得：b2+c2＝（2sinB）2+[2sin（2π3−B）]2＝3+2sin2B+3sin2B＝4+2sin（2∵B∈（π6，π2），可得：2B−π6∈（∴sin（2B−π6）∈（12，1]，可得：b2+c2＝4+2sin（2B−故答案为：（5，6]．4．已知△ABC的三个内角；A，B，C所对边分别为；a，b，c，若b2+c2＜a2，且cos2A﹣3sinA+1＝0，则sin（C﹣A）+32cos（2A﹣A．（−12，−34） B．（−12，−34] C．[0，【解答】解：因为cos2A﹣3sinA+1＝0，所以1﹣2sin2A﹣3sinA+1＝0，所以sinA=12或又因为cosA＜0，所以A=56所以sin（C﹣A）+32cos（2A﹣B）＝sin（C−5π6）+32cos[2＝sin（C−56π）+32sin又因为C∈（0，π6所以cosC∈（32所以−12cosC∈（−1故选：A．5．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac，则1tanA−1tanB的取值范围为【解答】解：∵b2﹣a2＝ac，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，∴c＝2acosB+a，∴sinC＝2sinAcosB+sinA，∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinA＝cosAsinB﹣sinAcosB＝sin（B﹣A），∵三角形ABC为锐角三角形，∴A＝B﹣A，∴B＝2A，∴C＝π﹣3A，∴0＜2A＜∴A∈（π6，π4），B∈（π3∴1tanA∵B∈（π3，π∴sinB∈（32∴1sinB∈，2∴1tanA−1故答案为：（1，236．已知△ABC的周长为6，且cos2B+2sinAsinC＝1，则BA→⋅BC→的取值范围是【解答】解：由cos2B+2sinAsinC＝1，得2sinAsinC＝1﹣cos2B＝2sin2B，利用正弦定理可得b2＝ac，又a+b+c＝6，∴b=ac≤a+c2再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）2＜b2，（a+c）2﹣4ac＜b2，∴（6﹣b）2﹣4b2＜b2，得b2+3b﹣9＞0，又b＞0，解得b＞3∴35−32∵cosB=a∴BA→⋅BC→=ac•cosB=则2≤BA∴BA→⋅BC故答案为：[2，27−95题型七、解三角形实际问题1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80°【解答】解：∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴∠DBA＝40°﹣30°＝10°，∴灯塔A在灯塔B的南偏西80°．故选：D．2．如图所示，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了100米到山腰B，在B处测得山顶P的仰角为75°，则山高h＝256．【解答】解：△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝（90°﹣30°）﹣（90°﹣75°）＝45°，∴100sin45°=PBsin15°，∴PB∴山高h＝PQ＝PC+CQ＝PB•sin75°+AB•sin15°=50(3−1)×6故答案为：256．27．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得CD=35m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A、B两点的距离为

【答案】35【分析】根据已知的边和角，在△BCD中，由正弦定理解得BD，在△ABD中，由余弦定理得AB.【详解】因为∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，所以∠ADC=150又因为∠ACB=120∘，所以∠BCD=135

在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD在△ABD中，由余弦定理得AB所以AB2=故答案为：355一、单选题1．在△ABC中，a+c=2b，则下列结论不成立的是（

）A．sinA+sinC．sin2A【答案】D【详解】因为a+c=2b，由正弦定理可得sinA+由sinA+sinB=由sinA+sinC=2由sin2又由B可知1−cos由sin2故选：D．2．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=π3,a=4，且该三角形有两解，则bA．23,+C．0,4 D．3【答案】B【详解】由正弦定理得asinA=因为该三角形有两解，故π3故sinA∈(32故选：B3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“acosA=bcosB”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】在△ABC中，由acosA=bcos即有sin2A=sin2B，而A,B,A+B∈(0,π)，于是2A=2B或2A+2B=命题“若acosA=bcos当△ABC为等腰三角形时，不一定是a=b，命题“若△ABC为等腰三角形，则acos所以“acosA=bcos故选：D4．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC=30°，∠DBC=45°，AB=14米，则岳阳楼的高度CD约（

）（2≈1.414，3

A．18米 B．19米 C．20米 D．21米【答案】B【分析】在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立【详解】在Rt△ADC中，∠DAC=30o，则AC=3CD，在Rt由AC−BC=AB，得3CD−CD=14，∴CD=143故选：B.5．如图，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，BC，AB边上的两条中线AD，CE相交于点P，则cos∠DPE=（

A．32114 B．217 C．【答案】D【详解】因为AC=1，AB=2，∠BAC=60°，由余弦定理得，BC得到BC=3，又BC2建立如图所示的平面直角坐标系，则有A(1,0),B(0,3),C(0,0)，又D,E分别为所以D(0,32),E(所以cos∠DPE=故选：D.6．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，C的对边.若b2=ac，且a2A．π6 B．π3 C．2【答案】A【详解】因为b2=ac，且所以b2所以cosA=因为A∈0,π，所以故选：A7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC=π3，D为BC上一点，BD=2DC，AD=BD=32，则A．3332 B．938【答案】D【详解】

如图所示，在△ABC中，由BD=2CD，得AD=又AD=BD，即AD=所以AD2化简得4a2在△ABC中，由余弦定理得，b2+由①②式，解得c=2b．由BD=32，得将其代入②式，得3342故△ABC的面积S=1故选：D8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，b=1且cosB=2cosA，则△ABC的面积S=A．1 B．32 C．22【答案】A【详解】方法1：因为a=2b，所以sinA=2又cosB=2cosA由于B∈0,π，解得sinB=由cosB=2cosA可得B,A均为锐角，所以cos所以A+B=π2，即C=π方法2：因为a=2b，所以sinA=2sinB，又cos所以2sinAcos因为a≠b，故A≠B，且2B∈0,π所以2A+2B=π则A+B=π2，故C=π故选：A9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cosBcosC=b2a−c，A．sinC=12 B．cosB=【答案】C【详解】∵cos由正弦定理可得cosB整理可得sinB所以sinB∵A为三角形内角，sinA≠0∴cosB=12，∵B∈(0,π)∵S△ABC=3∴334由余弦定理b2=a解得a+c=23或a+c=−2又3=a2+c2所以C=π3，则故选：C.10．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且2b=a+c，∠B=30°，△ABC的面积为32，那么b等于（

A．1+32 B．1+3 C．【答案】B【详解】由S△ABC可得ac=6，又2b=a+c，且b2得b2所以b2则b=3故选：B11．△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120°，BD⊥BC交AC于点D，且BD=1，2a+c的最小值为（

）A．83 B．83【答案】B【详解】由题意可知：∠ABD=120°，因为S△ABC=S整理得1a则2a+c=1当且仅当c=2a=4所以2a+c的最小值为83故选：B.12．如果△ABC内接于半径为R的圆，且2Rsin2A−sin2A．π6 B．π4 C．π【答案】B【详解】2RsinasinA−csina2+b2−所以C=π故选:B．13．在△ABC中，内角A、B、C对应边分别为a、b、c，已知acosBcosA=−b−2c，且角A的平分线AD交BC于点D，AD=1A．5+26 B．6+26 C．5+2【答案】A【详解】因为acosBcos由正弦定理可得−2sin因为A、C∈0,π，则sinC>0，所以，cos因为角A的平分线AD交BC于点D，AD=1，由S△ABC=S所以，34bc=3所以，2AC+3AB=2b+3c==5+26当且仅当2bc=3c故2AC+3AB的最小值为5+26故选：A.14．在三角形ABC中，角A，B，C的对边为a,b,c.且2sinA+sinB=asinA．3+22 B．2+23 C．3【答案】A【详解】在△ABC中，由正弦定理及2sinA+sinB=asinB，得因此a+b=(1当且仅当ba=2a所以当a=2+1,b=2+2时，a+b故选：A15．下列命题正确的是（）①在△ABC中，“tanA>tanB②在△ABC中，cosA<③在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，当a2+c④在△ABC中，asin⑤在三角形中，已知两边和一角，则该三角形唯一确定．A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．①④⑤【答案】B【详解】①tanA>tanB若cosB<0，则有B>π2若a>b，可能cosA<0,此时sinAcos故“tanA>tanB②若cosA<cosB，由A、B∈0,π，y=cos若sinA≤sinB，则有B≥与在△ABC中矛盾，故有sinA>由asinA=bsin若a>b，由asinA=即有0<B<A<π−B或若0<π−B<A<B<π，此时π与在△ABC中矛盾，故0<B<A<π−B，即有由y=cosx在0,π即a>b⇒A>B⇒cosA<cos③由a2+c即B为锐角，但A或C可能为钝角，故错误；④在△ABC中，sinC=故sinA+sinB−则a+b−csin故asin⑤已知两边和一角，例如A=π6，a=2、此时sinB=b⋅sin故有两解，即该三角形并不唯一确定，故错误.故选：B.16．记锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2且a2+b2−A．(2+23,6]C．(23,6]【答案】A【详解】在△ABC中，由射影定理得acos则题目条件a2+b由余弦定理得：a2则cosC=因为C∈0,π，所以因为c=2所以在△ABC中，由正弦定理得asin则△ABC周长C△ABC因为sin=3所以C△ABC因为△ABC为锐角三角形，C=π则A+C>π2所以A+π所以sin所以C△ABC故选：A二、多选题17．下列命题中正确的是（

）A．在△ABC中，若sin2A=sin2BB．在△ABC中，A>B是sinA>C．函数y=sin2x的图象向左平移π4D．在△ABC中，若AB=3,AC=1,B=30°，则△ABC的面积为3【答案】BCD【详解】A选项中，因为sin2A=sin2B，所以2A=2B即A=B或A+B=π2，所以B选项中，由A>B，得a>b，则由正弦定理得，sinA>C选项中，由函数y=sin2x的图象向左平移得y=sinD选项中，由正弦定理得，ABsinC=ACsin则C=60°或C=120°，所以A=90°或A=30°，所以△ABC的面积为S=12×所以D正确．故选：BCD．18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，sinB=3sinA．满足条件的△ABC不可能是直角三角形B．△ABC面积的最大值为3C．当A=C时，△ABC的内切圆的半径为2D．若△ABC为锐角三角形，则c∈(1,【答案】BC【详解】sinB=3sin对选项A：取c=1，则b=3，a=2，故a2=对选项B：设c=x，则b=3x，cosB=S=12×2xsinB=x1−cos对选项C：A=C时，a=c=2，b=23，cosB∈0,π，故B=2则12×2×2×sin对选项D：△ABC为锐角三角形，则b2<a2+且a2<b2+c2故选：BC【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握余弦定理，从而得解.19．如图，已知⊙O的内接四边形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=CD=4，下列说法正确的是（

）A．四边形ABCD的面积为8B．该外接圆的半径为2C．BOD．过D作DF⊥BC交BC于F点，则DO【答案】ABC【详解】对于A，连接AC，在△ACD中，cosD=16+16−AC由于B+D=π，所以cosB+cosD=0，故所以cosD=−17，cos故S△ABCS△ADC故四边形ABCD的面积为243对于B，设外接圆半径为R，则2R=AC故该外接圆的直径为4213，半径为对于C，连接BD，过点O作OG⊥CD于点G，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理得：CG=12CD=2，由于A+C=即4+16−BD216+16+36−BD2且CE=BC⋅cosC=6×12=3，所以EF且EG与CD反向，故BO⋅对于D，由C选项可知：C=60∘，故DF=CD⋅因为AD=CD，由对称性可知