2025年高考数学专项题型点拨训练之排列与组合

2025年高考数学专项题型点拨训练

排列与组合

【题型一】排列数与组合数(押题型)

【题型二】人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空

【题型三】人坐座位模型2：染色(平面、空间)

【题型四】分配问题：球不同，盒不同

【题型五】分配问题：球同，盒不同

【题型六】书架插书模型

【题型七】代替元法：最短路径

【题型八】代替元法：空车位停车等

【题型九】环排问题：直排策略

【题型十】数列思想：上楼梯等

排列组合和二项式定理是高考热点知识点，有了多选题型后常和概率结合起来考察，所以需要考生对

于排列组合的基础题型有所了解，以及一些特殊的方法，这块有很多固定的题型，当然在掌握题型的基础

上还需要明白其原理，能够冷静分析，合理运用好排列组合的解题思维。

根据高考回归课本的趋势，排列数与组合数的运算以及术与式的归纳理解要求要相继变高，而这块内

容也是因为传统的固定题型容易被学生忽略的知识点，需要重视起来。

易错点：对两个计数原理理解混乱

两个计数原理

完成一件事的策略完成这件事共有的方法

分类加法有两类不同方案❶,在第1类方案中有m种不同

N=m+n种不同的方法

计数原理的方法，在第2类方案中有w种不同的方法

分步乘法需要两个步骤❷,做第1步有机种不同的方法，

N=mxn种不同的方法

计数原理做第2步有〃种不同的方法

❶(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就

可完成这件事.

(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.

❷(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这

件事.

(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.

易错提醒：1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有ml种不同的方

法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有

N=ml+m2+…+mn种不同的方法.

2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有ml种不同的方法，做第2步有m2种不同的

方法……做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N=mlxm2x...xmn种不同的方法.

例设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2,3,3,4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意

一面下山，则下列结论正确的是()

A.从东面上山有20种走法B.从西面上山有27种走法

C.从南面上山有30种走法D.从北面上山有32种走法

破解：若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法；

若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；

若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；

若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法；

故选：ABD

变式1：近年来，重庆以独特的地形地貌、城市景观和丰富的美食吸引着各地游客，成为“网红城市”.远道

而来的小明计划用2天的时间游览以下五个景点：解放碑、洪崖洞、重庆大剧院、“轻轨穿楼”打卡点、磁器

口，另外还要安排一次自由购物，因此共计6项内容.现将每天分成上午、下午、晚上3个时间段，每个

时段完成1项内容，其中大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，“轻轨

穿楼”必须安排在白天，其余项目没有限制，那么共有种方案.

变式2：从0,1,2,3,4,5,6这7个数字中取出4个数字，试问：

(1)有多少个没有重复数字的排列？

(2)能组成多少个没有重复数字的四位数？

【题型一】排列数与组合数(押题型)

1.排列、组合的定义

排列的按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元

从n个不同元

定义素的一个排列

素中取出

组合的

皿形9)个兀素合成一组，叫做从〃个不同元素中取出机个元素的一个组合

定义

2.排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数组合数

从n个不同元素中取出

定从n个不同元素中取出m(m<n,m,〃£N*)

m(m<n,m,〃£N*)个元素的

义个元素的所有不同组合的个数

所有不同排列的个数

Am

A：=n(n—l)(n一2)...(n一m

公〃Am

n\

式+1)=-----------_〃(网一1)(〃一母)？n—m+

(n-m)!

ml

性

z~»0_[「m_「m.z^m-1_「tn

A：="!，0!=1,'Jfi—'Ln—

质

正确理解组合数的性质

(1)c；=C'；；'n：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n-m个元素的方法数.

(2)C；+C：-1=CL：从"+1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C：种

方法；②含特殊元素A有种方法.

I—I

典例精讲

【例1】组合数C„(n>r..l,〃、reZ)恒等于()

A.二B.(n+lXr+DC；：；C.nrC^D.-C；：；

【例2】规定=—(i+1),其中xeR,机是正整数，且C"l,这是组合数C；(〃，机是正整

ml

数，且加W〃)的一种推广.

(1)求C1的值.

⑵组合数的两个性质：①C：=C7"；②C：+C：T=C3是否都能推广到C：(xeR,根是正整数)的情形？

若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；

(3)已知组合数C：是正整数，证明：当xeZ,相是正整数时，C：eZ.

【例3】(1)求7C：?4C；的值；

(2)设m,neN*,n>m,求证：

(m+1)C：+(m+2)CC+i+(m+3)C：+2++nC：_1+(n+1)C：=(m+1)C鬻.

I—I

名校模拟

【变式1](2024辽宁沈阳•模拟预测)(多选)若优，”为正整数且〃>旭>1,贝I()

f-yrn/^i/n+1

A.C,+C++C：=2"B-C“=C,+1-C“

1

c.mCXn-DC：；D.A：+,＜：-'=A：+1

【变式2］（2024山东济南.一模）（多选）下列等式中正确的是（）

88

A.ECs=28B,fc：=C；

k=lk=2

8、

2©）一=或

【变式3X2024・安徽合肥・一模）“4-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意“wN*,

定义'"数"（叽=1+4++/T利用“好数”可定义“4-阶乘”⑺!产（力（2%（矶，且（。/=1.和“”组合

二（矶

数”，即对任意左WN,〃EN*,ZM〃,q

k

）q（左儿（九一左儿

⑴计算:

（2）证明：对于任意左,〃EN*,左+1«〃

n+m+l\(n\g(n+i\

（3）证明：对于任意左，机wN,〃wN*,左+1W〃，

【题型二】人坐座位模型1:相邻捆绑与不相邻插空

人坐座位模型：

特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩

余座位随人排列。

主要典型题：1.捆绑法2插空法；3.染色。

出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：

=n（A）+n（B）-n（AnB）

容斥原理

।—।

典例精讲

【例1】高二年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若

采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2

位同学没有被排在一起的概率为：（）

A.—B.—C.—D.-----

102040120

【例2】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、

乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A.504种B.960种C.1008种D.1108种

【例3】在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着

出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为

A.30B.36C.60D.72

।—।

名校模拟

【变式1］（2024•陕西安康•模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1,1,2,

3,5,8,…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的

银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（）

A.144B.120C.108D.96

【变式2】现有7位同学（分别编号为A3,CD,瓦尸,G）排成一排拍照，若其中A瓦C三人互不相邻，D,E

两人也不相邻，而尸,G两人必须相邻，则不同的排法总数为.（用数字作答）

【变式3】“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛.自由式滑雪接力赛设有空中

技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目.现安排两名男生和两名女生组队

参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，

则共有一种出场顺序与项目展示方案.（用数字作答）

【题型三】人坐座位模型2：染色（平面、空间）

染色问题：

1.用了几种颜色

2.尽量先从公共相邻区域开始。

空间几何体，可以“拍扁”，转化为平面图形

«—I

典例精讲

【例1】如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其

中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有

A.360种B.720种C.780种D.840种

【例2】某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂

颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）

EF

A.1080种B.720种C.660种D.600种

【例3】如图，用5种不同的颜色给图中的A、B、C、D、E、尸6个不同的点涂色，要求每个点涂1种

颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有种.

名校模拟

【变式1】如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条

线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用

C.240种D.168种

【变式2】如图，一圆形信号灯分成A尻C,。四块灯带区域,现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每

块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色,则不同的信号总数为（)

A.18B.24C.30D.42

【变式3】如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且

相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有

A.360种B.320种C.108种D.96种

【题型四】分配问题：球不同，盒不同

球不同，盒不同(主要的)

方法技巧：盒子可空，指数幕形式，盒的球次幕，盒子不可空"先分组再排列”分类讨论

注意平均分组时需要除以组数的全排列。

典例精讲

【例1】(2024高三下•全国・专题练习)8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？(用式子表示)

(1)平均分成四份;

(2)平均分给甲、乙、丙、丁四人;

(3)分成三份，一份4张,一份2张，一份2张;

(4)分给甲、乙、丙三人,甲4张，乙2张，丙2张;

(5)分给三人，一人4张,一人2张,一人2张;

(6)分成三份，一份1张,一份2张,一份5张;

(7)分给甲、乙、丙三人,甲得1张,乙得2张，丙得5张;

(8)分给甲、乙、丙三人,一人1张,一人2张，一人5张.

【例2】如图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否

则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均

分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是()

信号源

8

D.

15

【例3】(23-24高三上.云南昆明.开学考试)现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本,

已知书籍A分发给了甲，则不同的分发方式种数是.（用数字作答）

I—I

名校模拟

【变式1］（2024•山东烟台・三模）教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，

毕业后分配到相应的地区任教.现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教,

则（）

A.甲学校没有女大学生的概率为士

25

B.甲学校至少有两名女大学生的概率为二

42

C.每所学校都有男大学生的概率为g

D.乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为:

【变式2］某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2

名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）

A.48B.54C.60D.72

【变式3］已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装

有小球的盒子的编号之和恰为11,则不同的放球方法种数为（）

A.150B.240C.390D.1440

【题型五】分配问题：球同，盒不同

球相同，盒子不同

方法技巧：盒子不可空用挡板法，盒子可空用接球法。

«—I

典例精讲

【例1】1.10块相同的巧克力，每天至少吃一块，5天吃完，有种方法；若10块相同的巧克力，每天

至少吃一块，直到吃完为止又有种方法.（用数字作答）

【例2】（2024高三下•江苏・专题练习）某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班至

少一个名额，则不同的分配方法共有种（用数字作答）.

【例3】按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？

（1）5个不同的小球放入3个不同的盒子；

（2）5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

（3）5个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

（4）5个不同的小球放入3个不同的盒子，恰有1个空盒.

I—1

名校模拟

【变式1］（2024•湖北武汉•模拟预测）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装

2个球，则不同的装法种数为（）

A.7B.8C.9D.10

【变式2］（23-24高二上.辽宁沈阳・期末）将20个无任何区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要

求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（）

A.90种B.120种C.160种D.190种

【变式3】（2024高三上•全国•专题练习）（要求每个盒子可空）将8个相同的小球分别放入4个不同的盒子

中，每个盒子可空，有多少种不同的放法？

【题型六】书架插书模型

（1）书架上原有书的顺序不变；（2）新书要一本一本插；

（2）定序问题可使用倍缩法。

I—I

典例精讲

【例1】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其

他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A.168B.260C.840D.560

【例2】书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不

同的插法种数为（）.

A.60B.120C.336D.504

【例3】（21-22高二下・重庆渝中•阶段练习）一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A,B,C三个新节

目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目2要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有—

种不同的插入方法.（用数字作答）

I—I

名校模拟

【变式1］（2024•陕西宝鸡•模拟预测）2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕.某

班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临

时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，那么不同的插法的种数为（）

A.42B.30C.20D.12

【变式2】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目

插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）

A.6B.12C.15D.30

【变式3］（2024春・江苏盐城•高二校考阶段练习）书架上已有《诗经》、《西游记》、《菜根谭》、《呐喊》、《文

化苦旅》五本书，现欲将《围城》、《骆驼祥子》、《四世同堂》三本书放回到书架上，要求不打乱原有五本

书的顺序，且《骆驼祥子》和《四世同堂》必须相邻，则不同的放法共有（）

A.40种B.42种C.60种D.84种

【题型七】代替元法：最短路径

左右上下移动的最短距离，可以把移动方向看做字母，比如，向右是字母A,向上是字母B,则移动几步就

是几个A,与B相同元素排列

代替元法：标记元素为数字或字母，重新组合，特别适用于“相同元素”

I—I

典例精讲

［例1］格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原

点的“格点距离”（如：尸（-2,1）,则点尸到原点的格点距离为2+1=3）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格

点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有—

条（用数字作答）.

（多选）【例2】（2024•江苏•高二专题练习）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志

愿者活动.小明在如图的街道£处，小华在如图的街道P处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确

的是（）

———————TG

F

E*-----------------------

A.小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

B.小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

1O

C.小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为方

D.小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件4小明经过a

事件2：从厂到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则尸（引力=百

【例3】如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从A到8的最短线路有（）

条

A.100B.400C.200D.250

।—»

名校模拟

【变式1】有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C、D点到达2点的最短路径有

种.

【变式2】某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路）,

则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有条.

北

A

【变式3】由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不

考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉

“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（）

C.6条D.4条

【题型八】代替元法：空车位停车等

这类题大多可以用字母元来代替转化为简单的问题从而解决问题。

典例精讲

【例11某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好

有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）

A.240B.360C.480D.720

【例2】马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯，为节约用电，可以把其

中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有

种

【例3】现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车

位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有种.

I—1

名校模拟

【变式1］（2020•浙江•模拟预测）现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求

每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有种.

【变式2］（2024•江西新余•二模）据中国汽车工业协会统计显示，2022年我国新能源汽车持续爆发式增长，

购买电动汽车的家庭越来越多.某学校为方便驾驶电动汽车的教职工提供充电便利，在停车场开展充电桩安

装试点.如下图，试点区域共有十个车位，安装了三个充电桩，每个充电桩只能给其南北两侧车位中的一辆

电动汽车充电.现有3辆燃油车和2辆电动汽车同时随机停入试点区域（停车前所有车位都空置），请问2辆

电动汽车能同时充上电的概率为（）

A1A3B1B3B5北

n期

A2A4B2B4B6

【变式3】甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆

电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不

同的搭配方式有

A.12种B.11种C.10种D.9种

【题型九】环排问题：直排策略

环排问题即为手拉手围一圈的模型，此类问题以一人为中心考虑，比如三人手拉手围一圈，以其中一人为

中心将其一分为二，即变成中间两人全排列问题，再合起来即为一圈。

I—I

典例精讲

【例1】己知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得

到的排列“乙丙甲''或"丙甲乙''是同一个排列.现有加位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共

有60种，那么这加位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（）

A.24B.48C.60D.120

【例2】（23-24高三下•山东荷泽•开学考试）一对夫妻带着3