2025年高考数学一轮复习讲义：任意角和弧度制及三角函数的概念（（解析版））

专题20任意角和弧度制及三角函数的概念（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................7

【考点1】象限角及终边相同的角..............................................7

【考点2】弧度制及其应用....................................................12

【考点3］三角函数的定义及应用..............................................17

【分层检测】...............................................................21

【基础篇】.................................................................21

【能力篇】.................................................................28

【培优篇】.................................................................31

考试要求：

1.T解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

M知识梳理

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的喘点旋转所形成的图形.

、大!按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

(2)分六［按终边位置不同分为象限色和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S={四夕=a+

k360。，左GZ}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：长度等于坐/旨的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.

(2)公式

|a|=:(弧长用/表示)

角a的弧度数公式

角度与弧度的换算1。—180皿1rad一

弧长公式弧长l=\a\r

扇形面积公式

3.任意角的三角函数

⑴定义

如图，设a是一

个任意角，它的

前提*4,

终边与单位圆交

于点P(x,y)

正弦L叫做a的正弦函数,记作sina,即sina=y_

余弦工叫做a的余弦函数,记作cosa,即cosa=1

正切)叫做a的正切函数，记作tana,即tana=、(xW0)

定义

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上

三角函数的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们

统称为三角函数

(2)定义的推广

2

设尸(x,y)是角a终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0),那么sina=*cosa

=',tana=%W0).

常用结论

1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制与弧度制可利用180。=兀rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致,

不可混用.

3.象限角

第一象限角｛«|2ATT<a<2fcTT,k&Z

la\2kk&z]

第二象限角7T4-乎<a<2kTT+7T,

(a,kEz]

第三象限角尿TT+"<ot<2A：Tr+等

殊L4e

F十<aFZ

第四象限角la<2

4.轴线角

;真题自测

一、单选题

1.(2023•全国•高考真题)已知函数〃x)=sin3+0)，3>0)在区间已引单调递增，直线x=£和丁=等

为函数y=/(x)的图像的两条相邻对称轴，则/

1

A.B.——C.

22

2.(2022•全国•高考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的''会

圆术〃，如图，A5是以。为圆心，0A为半径的圆弧，。是A3的中点，。在AB上，CDLAB.”会圆术〃

CD2

给出A3的弧长的近似值s的计算公式：S=AB+^-.当Q4=2,NAO3=60。时，s=()

OA

3

9-4g

-2~

二、填空题

3.（2023•北京•高考真题）已知命题P：若a,"为第一象限角，且贝hana>tan£.能说明p为假命题

的一组。,夕的值为a=，P=

4.（2023•全国•高考真题）已知函数〃x）=sin（0x+。），如图A,B是直线y=g与曲线y=/（%）的两个交

点，若|A8|=g贝4（兀）=

6

5.（2023•全国•高考真题）若,贝!]sin9—cose=.

6.（2021・北京・高考真题）若点人（85。⑼11。）关于丁轴对称点为瓯0式。+刍,411（。+9））,写出。的一个取值为

o6

参考答案：

1.D

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x=-三即可得到答案.

【详解】因为/'（x）=sin（0x+9）在区间

T2冗IT冗2兀

所以，=可一15,且0>°,贝用5'由于=2,

当％=巳时，/（%）取得最小值，则2弓+0=2也—方，keZ,

则°=2加一5小兀,kGZ,不妨取女=0,则/(x)=sin12x一■—j,

6

故选：D.

4

2.B

【分析】连接OC,分别求出AB,OC,CD,再根据题中公式即可得出答案.

【详解】解：如图，连接OC,

因为C是A3的中点，

所以OC_LAB,

又CDLAB,所以o,c,r＞三点共线，

即8=Q4=OB=2,

又ZAO3=60°,

所以AB=Q4=OB=2,

则。C=G故CD=2-B

c（2-石）11-473

2s

所以2d-------=------

OA22

9兀兀

3.T7

【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.

【详解】因为〃x）=tanx在（0向上单调递增，若0＜%＜用＜（贝ijtan/＜tan4,

取1=2占兀+g,4=2左2兀+4，勺,左2eZ,

则tana=tan（2勺兀+%）=tan%,tan（3=tan（2%2元+4）=tan4，即tanavtan力，

令％>k2,则a—'=（2/兀+4）_（2&兀+4）=2（/_&）兀+（%_4），

5

因为2（占一左2）兀之2九,一微v4—尸0v0,则a—£=2（左一左2）兀+（4一A））＞皇＞0，

即勺〉左2，则。＞£.

TTTT97rTT

不妨取左=1,左2=。，%=1，&=可，即。=工,/?=耳满足题意.

97T冗

故答案为：

43

4.一走

2

【分析】设小,；：2底,£|,依题可得，=聿，结合sinx=:的解可得，研%-石）=年，从而得

到0的值，再根据/（I；。以及/（。）＜0,即可得/5）=5布,-罚，进而求得〃兀）.

【详解】设什国,句,2［尤2,可，由可得=5，

1兀、5K_

由sin%=—可知，X=—+2e或%=—+2E,keZ,由图可知，

266

&%2+夕一（0%+0）=%兀一弓=g，BPCD［X2，「•切=4.

因为/（g兀）=sin（g+o）=0,所以g+o=E,即0=_g?i+E,kwZ.

所以/（x）=sin（4x-g兀+左兀］=sin^4x-j7i+^7i^,

^f^/（^）=sin^4x-17r^i!（/（x）=-sin^4x-17t^,

又因为〃。）＜0,所以〃x）=sin14x-g”,兀）=si“47i-：T=-¥.

故答案为：

2

【点睛】本题主要考查根据图象求出。以及函数F（尤）的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质,

以及特殊角的三角函数值是解题关键.

5.一些

5

【分析】根据同角三角关系求sin。，进而可得结果.

【详解】因为。e1o，W，贝Ijsin0＞0,cos6＞0,

又因为tane=22g=1,贝｝jcose=2sin，，

cose/2

6

且cos?e+sii？8=4sin2e+sin?8=5sin2。=1,解得sin。=好或sin。=（舍去）,

55

所以sin。-cos。=sin-2sin0=-sin0=

5

故答案为：一正.

5

6.1|（满足。=||+丘，左eZ即可）

TTTT

【分析】根据A,2在单位圆上，可得ae+J关于〉轴对称，得出e+J+e=%+2左巩无ez求解.

OO

【详解】A（cose,sin。）与Bcos办?卜巾+.71关于y轴对称,

6

7T

即关于y轴对称，

O

冗

0-\---\-0=71+2左跖keZ

69

57r

贝lj0=br+——,keZ,

12

57r

当上=0时，可取。的一个值为石■.

故答案为：=57r（满足6=左左+157r，左eZ即可）.

考点突破

【考点1］象限角及终边相同的角

一、单选题

1.（23-24高一下,河南•阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角。的集合是（）

A.jaI7+2EWaW（2左+1）兀，左£z|B.|不+左兀WaW（2+1）兀,％£Z

C.I-^-+2hi<a<（2^-1）K,Z:Gz|D.—弓+2%兀VaV2左兀/£Z

ct（1n

2.（2022•全国•模拟预测）已知角a第二象限角，且cos,=cos5,则角I是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

7

二、多选题

3.（23-24高一上•吉林长春・期末）下列说法正确的是（）

A.为第一象限角"是"■!■为第一象限角或第三象限角"的充分不必要条件

JT1

B.aa=—+2kn,keZ"是"sina=—〃的充要条件

62

C.设加二,aa二E±:，左EZ,,N=，zo=?,攵£Z,,则“8〃是“8wN〃的充分不必要条件

A

D."sin9＞0"是"tan-＞0"的必要不充分条件

4.（22-23高二下•吉林长春•期末）下列说法正确的是（）

A.轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为也兀

B.若]＜夕＜71,贝lj-2sin（'1'+a]sin（7t-a）=sina-cosa

C.已知a为锐角，sina=g,角夕的终边上有一点尸（2,1）,则tan（（z+0=l

D.在-360。360。范围内，与-410。角终边相同的角是310。和-50。

三、填空题

5.（2022・河南开封•三模）在平面直角坐标系xOy中，角a与角/均以。尤为始边，它们的终边关于直线＞=%

对称.若sina=g,则sin（a-尸）=.

6.（2022•全国•模拟预测）已知a的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在第二象限，sin&=@，

23

则tana的值为.

参考答案：

1.B

【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角a的集合.

5兀

【详解】终边落在阴影部分的角为9+（左+1）兀，kwZ,

即终边落在阴影部分（包括边界）的角a的集合是传+1）私左ez}.

故选：B.

2.A

【分析】写出象限角a的取值范围，可求出♦Of是第一象限角或第三象限角，再由cosO£f＞。可得出选项.

JT

【详解】因为角a第二象限角，所以^+2也＜&＜兀+2配伍eZ）,

所以:+也＜1＜5+也（左eZ）,所以角£是第一象限角或第三象限角.

422v72

8

acinn

又因为COS,=cos-,即cos§>0,所以角［是第一象限角,

故选:A.

3.AC

TT

【分析】对于A,利用象限角，求得角a的范围，可判定充分性，取a=1,验证必要性即可；对于B,考

查sina=g时，a的取值范围，可判定必要性不成立；对于C,根据集合

N的关系即可判定；对于D,

根据条件求得a的取值范围即可判断.

【详解】对于A,因为。为第一象限角,

兀

所以2E<a<—+2kn,eZ,

2

7C

贝ijE<a<—+kji.kGZ,

4

当％为偶数时，。为第一象限角,

当上为奇数时，a为第三象限角,

所以充分性成立;

当a=gjr时，a为第一象限角，贝iJ2a=q27r,为第二象限角,

即必要性不成立，故A正确;

TT

对于B,当a=—+2E,左eZ时,

6

sma=；成立，则充分性成立;

|TT5冗

当sina=—时，a=—+2左兀或a=---i-2fai,kwZ,

266

故必要性不成立，则B错误;

（4k-l）7lT

对于C,M=aa=fai土;，kEZ}=<aa=------,ksZ\,

4

a=­,k^z\,

而双=a

4

则〃N,故则是的充分不必要条件，故C正确;

对于D,当sin6>>0时，2E<6<2E+无，左cZ,

则E<—<fai+一,左EZ,

22

A

则tan/A0,故充分性成立,

9

当tane〉0时，H<—<^7i+—,^eZ,

222

贝ij2kji<3<2kn+Ti,kGZ,

则sin6>0成立，

A

所以"sine>0"是"tan彳>0"的充要条件，故D错误,

2

故选：AC.

4.ABD

【分析】对于A,根据扇形相关知识计算即可;

对于B,根据角的范围判断正弦值和余弦值的符号，结合诱导公式和同角三角函数的平方关系化简即可；

31

对于C,通过同角三角函数关系和三角函数定义求得tana=1，tan£==,再通过两角和的正切公式代入

计算即可；

对于D,根据终边相同的角的概念直接判断.

【详解】对于A,圆锥的轴截面为等腰直角三角形，设其母线长为无，则其底面圆的直径为叵t，

则圆锥侧面展开图的半径（即圆锥母线长）为尤，弧长（即底面周长）为回，

所以其侧面展开图的圆心角的弧度数为叵=缶，故A正确；

X

兀

对于B,右/<。<兀，贝!Jsina>0,cosaVO,则sina—cosa>0,

则，一2sin+a]sin（兀一a）=J1-2cosasina=J（sina-cosaf

=bina-cosa|=sina-cosa,故B正确；

n

对于C,若。为锐角，sincr=-,则cosa=—sin2a=、,则tana=s,"=「,

55cosa4

角夕的终边上有一点尸（2,1）,贝ljtan£=g,

31

-+-

tana+tan尸42

则tan(cr+/?)==2,故C错误;

1-tanor-tan/?l-3xl

42

对于D,在-360。360。范围内，与T10。角终边相同的角是310。和-50。，故D正确.

故选：ABD

7

5.——

9

【分析】根据给定条件，用a表示出夕，再代入并结合诱导公式、二倍角公式计算作答.

【详解】因在平面直角坐标系xOy中，角a与角夕均以Ox为始边，它们的终边关于直线Y=x对称,

10

则有a+/3=2k7i+—,kE,Z,即/?=2k7i+--a,keZ,而sina=§,

17

所以，左eZ,sin(a-P)=sin(2a---2fcr)=-cos2a=-1+2sin2a=--.

7

故答案为：

6.-4A/5

【分析】由题知W在第一象限，cos^=|,tan-=^-,再根据正切的二倍角公式求解即可.

22322

ex

【详解】解：由a在第二象限可知，?在第一、三象限，

2

又sin0=@>O,所以?在第一象限，

232

所以cosg=],故tan4=好.

2322

2tan-2x好

因止匕tana=--------—=-----2_=-4百.

«。a,5

1-tan~-1——

24

故答案为：-4A/5

反思提升：

(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的

所有角的集合，然后通过集合中的参数-上©Z)赋值来求得所需的角.

⑵确定ka,取kGN*)的终边位置的方法

nn

先写出ht或食勺范围，然后根据上的可能取值确定ka或食勺终边所在的位置.

K.K

【考点2】弧度制及其应用

一、单选题

1.(2023•陕西安康•三模)羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托

上，测得每根羽毛在球托之外的长为6cm,球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端

所围成圆的直径是6cm,底部所围成圆的直径是2cm,据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆

712兀

B.C.—D.兀

23

11

2.（2024・全国•模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖

等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派.苏

派砖雕被称为"南方之秀"，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑

中.图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD,如图（2）,砖雕厚度为6cm,AD=80cm,CD=3AB，

CO所对的圆心角为直角，则该梅花成雕的表面积为（单位：cn?）（）

图⑴图⑵

A.320071B.480TT+960C.6880TI+960D.368071+960

二、多选题

3.（2024•全国•模拟预测）如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点4（1,0）,以x轴的非负半轴为始边作锐

7T

角a,0,a-13,它们的终边分别与单位圆相交于点片，A，P.若。=：，则下列说法正确的是（）

TlJ

A.当月=:时，0ap的面积为了

44

B.当力=3时，扇形0A出的面积为5

OO

C.当尸=:时，四边形0Ap4的面积为2+4一应

D.四边形0AA6面积的最大值为1

4.（23-24高三上•云南昆明•阶段练习）质点A,2在以坐标原点。为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆

时针匀速圆周运动，点4的起点在射线y=A（xNO）与圆。的交点处，点4的角速度为lrad/s,点8

的起点在圆。与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为2rad/s,则下列说法正确的是（）

A.在2s末时，点8的坐标为（-cos4,-sin4）

jr

B.在2s末时，劣弧AB的长为2-§

12

C.在57ts末时，点A与点3重合

D.当点A与点2重合时，点A的坐标可以为

5.（2023•上海普陀•一模）若圆。上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆

心角的大小为.

6.（2024•上海黄浦•二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段尸与分别以

为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点C,。是线段A3上的动点，点。为线段AB,8的中

点，点瓦尸在以A3为直径的半圆弧上，且NOCE,/O□尸均为直角.若至=1百米，则此步道的最大长度为一

百米.

/|

参考答案:

1.C

【分析】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，求出小圆锥的母

线长后可得展开图圆心角.

【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，

X1

设小圆锥母线长为X,则大圆锥母线长为x+6,由相似得三=即x=3,

x+63

回可估算得球托之外羽毛所在的曲_面_的展开图的圆心角为小2兀•1=三27t

2.C

【分析】先求出C£»=60兀cm，AB=20;icm，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环A5CD的面积可得该梅花砖

雕的表面积.

【详解】

13

D

\

।、\\

।\I

d-B------------c

延长D4与CB交于点。.由CD=3AB，AD=80cm,得Q4=40cm,OD=120cm.

因为CD所对的圆心角为直角，所以8=60兀cm，AB=207icm.

所以该梅花砖雕的侧面积S恻=6(co+AB+AO+8C)=480兀+960(cm12),

2

扇环ABCD的面积为[(兀x1202_兀x402)=32007t(cm),

贝U该梅花砖雕的表面积黑面积=480兀+960+2x3200；!=68807t+960(cm2).

故选：C.

3.AC

【分析】根据三角形面积公式可判断A；由扇形面积公式可判定B；S四边形加速=$2”+$人,根据三角形

面积公式即可判断C；S四边形切片=5AAO4+SAW,借助三角函数恒等式化简即可判断D.

【详解】由题意，得圆的半径厂=1,ZAOPi=a,AAOP=a-p.

对于A,由a=—,P=—,得N&OP=/3-(a-/3)=2/3—a=—,

346

1TT1

贝=^xlxlxsinz=:，故A正确；

264

对于B,当尸时，因为=g—B=

o366

所以扇形0Al的面积S=[XFX12=2,故B错误；

2612

7T11

对于C,当=a时,S四边形3pA=S^OAP+%期「=]Xlxlxsin(。—⑶+

1.，兀兀)12+s/6—A/2,,Trfe

=-sin-------+-=--———,故C正确；

2(34)48

对于D,§四边形0相片=^AACWJ+Szxqoq

=；xlxlxsin/+；xlxlxsin(a-/)=gsin/+gsin(a-/),

由a=5，得§四边形0M6=g‘in'+Jsin[g■一广

1.f-)1).7C万兀.d

=—sinp+—Isin—cosp-cos—smp\

14

1.11.1.兀

=—smp+——cosp=——sinp+——cosp=—sinp+—\,

442、222I3）

所以当〃+?=g,即〃时，鼠边形出4取得最大值，为:，故D错误.

326/

故选：AC

4.BD

【分析】根据旋转的弧度数，结合三角函数的定义以及弧长公式判断AB；设/时刻点A与点8重合，求出

冗

则^=1+2E（左eZ）可以判断CD.

【详解】由题意，2s末时，射线08逆时针旋转了4rad,则点B的坐标为（cos4,sin4）,A错;

点A的初始位置为2s后，射线。4逆时针旋转了2rad,

则乙403=4-（2+。=2-1,所以劣弧AB的长为24，B对；

设/时刻点A与点3重合，贝lJ2/T=/=1+2E（左eZ）,

JT7

令,+2配=5兀=>左右Z,所以在51s末时，点A与点B不重合，C错；

TTTT

由C知，/=1时，点A与点B第一次重合，此时射线。4逆时针旋转了；，

射线08逆时针旋转了g,可得A与点2重合于1cos^,sin与），

此时点A的坐标为（-g,咚）.D对，

故选：BD.

5.1弧度

【分析】根据弧度的定义求解即可.

【详解】圆的内接正六边形的边长等于圆半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角.

故答案为：1弧度.

2

【分析】设半圆步道直径为尤百米，连接A瓦3E,借助相似三角形性质用尤表示CE,结合对称性求出步道

长度关于无的函数关系，利用导数求出最大值即得.

【详解】设半圆步道直径为无百米，连接AE,BE,显然/AE8=90,

由点。为线段钻,8的中点，得两个半圆步道及直道CE,DF都关于过点。垂直于A3的直线对称，

贝UAC=L-X,BC=L+无，又CEJ.AB,则RtACE回RtVECB,有CE2=AC3C,

22

15

即有DF=CE=,因止匕步道长f（x）=2j；—J+也=Ji—4/+口,0<x<1,

4x7t

求导得小）=一；^?+兀'由小）=°'得x=^7Z'

71711

当°<X</2时,f'（x）>0,函数”x）递增，当/2〈尤<7时,/（幻<0,函数/（X）递减,

2771+42卜+42

兀2

7171

因此当户主工时'/⑴-1-4(-)2

27777+2^/7742

所以步道的最大长度为近土上百米.

2

故答案为：

2

反思提升：

应用弧度制解决问题时应注意:

（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

⑵求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

【考点3】三角函数的定义及应用

一、单选题

TT

1.（2024・湖北•模拟预测）在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角a（0<c<1）交单位圆于A

点、顺时针旋转角"：<尸<今交单位圆于B点，若A点的纵坐标为与，且Q4B的面积为变，则8点的纵

42134

坐标为（）

A.一3B一.C.一述D.一述

2262613

2.（2024•新疆乌鲁木齐•二模）已知角。（0。<。<360。）终边上A点坐标为（sin310o,cos310。），则。=（）

A.130°B.140°C.220°D.230°

二、多选题

3.（2024•广东广州•模拟预测）下列命题正确的是（）

A.。：〃。是第二象限角或第三象限角〃，9：〃costz<0〃，则夕是4的充分不必要条件

B.若。为第一象限角，则c°s。+sine=坐

Vl+cos2acos2a2

C.在;.ABC中，若tanA-tan3>l,则ASC为锐角三角形

16

D.已知且cos2a则tane=^——

I4j32

4.（2024•河北保定•二模）一般地，任意给定一个角aeR,它的终边。尸与单位圆的交点尸的坐标，无论

是横坐标x还是纵坐标y,都是唯一确定的，所以点尸的横坐标X、纵坐标y都是角。的函数.下面给出这些

函数的定义：

①把点尸的纵坐标y叫作a的正弦函数，记作sine,即丫=$也。；

②把点尸的横坐标尤叫作a的余弦函数，记作cosa,即无=cosa；

③把点尸的纵坐标y的倒数叫作a的余割，记作csca,即:=csca；

④把点P的横坐标龙的倒数叫作a的正割，记作seca,即工=sectz.

C.函数〃x）=secx的定义域为左eZ}

D.sec2a+sin2a+csc26z+cos2a>5

三、填空题

5.（2024•全国，模拟预测）在平面直角坐标系中，若角a-1的顶点为原点，始边为x轴非负半轴，终边经

过点P（—3,—4）,贝卜2«2二+三）=.

3

6.（2023•江西赣州•二模）已知。为锐角，满足siYe+sinOcose-3cos,贝！Jtan9=.

参考答案：

1.B

【分析】利用三角函数定义求出sin%cosa,利用三角形面积公式求出sin（a+月），进而求出。+尸，再利用

差角的正弦求出sin3即可得解.

【详解】由A点的纵坐标为*得sina="cosa=］显然%戊吟

17

而SA0B=gx1x1xsin(a+尸)=,即sin(a+0=,又:</<^，

因止匕乙<。+/?<兀，a+P=-,有£=至一a,

244

sin/7=sin(--a)=(cos6z+sin«)=—x(—+—)=IZ2/E?显然j5点在第四象限，

422131326

所以5点的纵坐标为-小旦.

26

故选：B

2.B

【分析】先确定角a的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解.

【详解】因为sin310°<0,cos310°>0,

所以角a的终边在第二象限，

cos310。cos(360°-50°)cos50°

又因为tane=

sin310°sin(360°-50°)-sin50°

cos(140°-90°)sin140°

=tan140°

-sin(140°-90°)cos140°

且0。<夕<360。，

所以a=140。.

故选：B.

3.ACD

【分析】对A,根据充分，必要条件的概念判断；对B,利用二倍角余弦公式化简求解；对C,将条件式切

化弦结合三角变换求解判断；对D,利用二倍角余弦公式化简条件式，再弦化切求解.

【详解】对于A,若a是第二象限角或第三象限角，贝Ucosa<0.若cosa<0,取c=7i,cosa=-1<0,

此时a不是第二象限角或第三象限角，则P是4的充分不必要条件，故A正确；

对于B,由于a为第一象限角，贝i]cosa>0,sina>0,

cosasinacosasina

J1+cos2aJl-cos2aVl+2cos2a-lJl-(l-Zsi/a)

coscrsinar-,,…1

=nr.=，故B车日厌；

V2coscrV2sma

jT4H，八sinA-sinBsinA-sinB-cosA-cosB八-„,

对于C,在ABC中，若tanA-tan3=-------------->14,则-------------------->0,所rr以

cosAcosBcosA•cosB

-cos(A+B)_cosC

->u,

cosAcosBcosAcosB

故cosA-cosacosC>0,所以cosA>0,cosB>0,cosC>0,故ASC为锐角三角形，故C正确；

18

对于D,由cos2a=cosasina_1tana=@,所以3—3tan2a=7^+7^tan2°,贝！J

cosa+sina1+tana3

3-75_(3-^)2

tan2a=

3+#)4

知tana=-——，故D正确.

2

故选：ACD.

4.ABD

【分析】根据正余弦函数及余割正割的定义逐一判断即可.

5兀—1_/?

【详解】CSC]=-=—A正确;

sin——

4

coscr•seca=costz---=1,B正确；

cosa

函数/(%)=secx的定义域为卜左EZ：,C错误;

2.2221II1I4

seca+sma+esca+cosa=l-\-----,——i------=l-\---------,------^―=1+—,―25,

cosasinasincrcosasin2a

当sin2tz=±1时，等号成立，D正确.

故选:ABD.

24

5.——

7

【分析】先利用三角函数的定义得到tan[a-5,再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得tanpa+^J.

【详解】由三角函数的定义，得