2025年高考数学一轮复习讲义：函数的概念及其表示（原卷版）

专题06函数的概念及其表示（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................3

【考点1】函数的概念........................................................3

【考点2】求函数的定义域....................................................4

【考点3】求函数的解析式....................................................5

【考点4】分段函数..........................................................6

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培优篇】.................................................................10

考试要求：

1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.

2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用.

■知识梳理

1.函数的概念

一般地，设A,3是非空的实数集,如果对于集合A中的任

意一个数x,按照某种确定的对应关系方在集合3中都有唯

概念

二确定的数y和它对应，那么就称/：A-3为从集合A到集

合B的一个函数

三对应关系y=f(x),x^A

要定义域工的取值范围

素值域与x对应的y的值的集合伏x)|xGA}

2.同一个函数

(1)前提条件：①定义域相同;②对应关系相同.

(2)结论：这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

⑴若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种

函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.

常用结论

1.直线x=a{a是常数)与函数y=/(x)的图象至多有1个交点.

2.注意以下几个特殊函数的定义域：

⑴分式型函数，分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

(3次幻为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若人x)=x。，则定义域为{x|xWO}.

(5)正切函数尸tanx的定义域为blxWE+宗左

.真题自测

一、填空题

2

1.（2023・北京•高考真题）已知函数/（尤）=4*+1。82无

2.（2022•北京•高考真题）函数/（x）=1+A/i二7的定义域是

—炉+2,xW1,

3.（2022•浙江•高考真题）已知函数〃%）=1则/若当）£[a,b]时,

x-\-----1,x>l9

、X

1</W<3,则b—。的最大值是

-ax+1,x<a,

4.（2022・北京•高考真题）设函数/（x）=2若AM存在最小值，则。的一个取值为______；。

（%-2）,x>a.

的最大值为

x2-4,x>2

5.（2021•浙江・高考真题）已知awR,函数/（无）=若/[7（网]=3,则。=

|x—3|+a,x<2,

考点突破

【考点11函数的概念

一、单选题

1.（2023•山东潍坊•一模）存在函数满足：对任意xeR都有（）

A./（|x|）=x3B./（sinx）=x2C./（x2+2x）=|x|D./（|x|）=x2+l

’2工一1,尤WO,

2.（2022•山东济南二模）已知函数/（x）=1若〃切=3,则根的值为（）

x2,x>0,

A.73B.2C.9D.2或9

二、多选题

3.（21-22高一•全国•单元测试）下列函数中，与函数>=尤+2不是同一个函数的是（）

A.y=（>/x+2）B.y=+2C.y=——"I-2D.y=+2

4.（22-23高一上•陕西西安•期末）设集合P={x|0Wx<4},Q={引0W”4},则下列图象能表示集合「到集

合。的函数关系的有（）

3

三、填空题

5.（2023•上海青浦二模）已知函数y=口71：VxW'的图像绕着原点按逆时针方向旋转/0464万）弧

度，若得到的图像仍是函数图像，则。可取值的集合为.

6.（2023•辽宁大连•一模）已知可导函数g（x）定义域均为R,对任意x满足〃x）+2x2ggj=

且"1）=1,求1（l）+g[3J=.

反思提升：

（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集3中有且只有一个元素与之对

应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而3中有可能存在与A中元素不对应的元素.

（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同

【考点2】求函数的定义域

一、单选题

1.（2023・湖北•三模）函数/'（x）=Sog2（lr）的定义域是（）

A.(-℃,1)B.(0,+oo)C.(0,1)D.(-<»,0]

2.（2023•江苏镇江•模拟预测）若函数y=〃2x）的定义域为[-2,4],则y=〃x）-〃-x）的定义域为（）

A.[—2,2]B.[-2,4]

C.[T,4]D.[-8,8]

二、多选题

3.（2023•河南•模拟预测）已知函数/⑺在R上单调递增，函数g（x）在（-8,0）上单调递增，在[0,+8）上单

调递减，则（）

A.函数/（〃彳））在R上单调递增

B.函数f（g（x））在（一*0）上单调递增

C.函数g（-g（x））在（-双。）上单调递减

D.函数g（-/（尤））在。内）上单调递减

2r-3

4.（2022•海南•模拟预测）下面关于函数的性质，说法正确的是（）

x-2

A.“X）的定义域为（-8,2）U（2,+CO）B./（元）的值域为R

4

c.在定义域上单调递减D.点(2,2)是/(%)图象的对称中心

三、填空题

5.(23-24高一上•新疆•期中)已知函数的定义域是［0,4］,则函数>=半』的定义域是

yJx-2

6.(2023•山东枣庄•模拟预测)已知函数y=/(x)是定义在［T4］上的减函数，且〃a+1)>/(2a),则。的

取值范围是.

反思提升：

1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列

出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

(1)若已知函数人x)的定义域为［a,b］,则复合函数月g(x)］的定义域可由不等式oWg(x)W5求出.

⑵若已知函数月g(x)］的定义域为［a,b］,则兀t)的定义域为g(x)在C上的值域.

【考点3】求函数的解析式

一、单选题

1.(2023•河南郑州・二模)若函数〃无—的部分图象如图所示，则〃5)=()

IDXIC

1

D.---

12

2.(2022•河北保定•二模)若函数/则函数g(x)=/(%)-4x的最小值为(

A.-1B.-2D.-4

二、多选题

3.(2024・全国•一模)设。为常数，/(0)=,/(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x),则().

A.1

B.y(x)=；成立

C./(x+j)=2/(%)/(y)

D.满足条件的/(x)不止一个

4.(2023•江西•模拟预测)设函数的定义域为R,〃x+l)为奇函数，〃x+2)为偶函数，当xe［l,2］时,

5

〃x）=a-log?尤.则下列结论正确的是（）

A."1)=1B./(8)=-1

206100

C.Z〃%)=TD.^kf(k)=5Q

k=lk=l

三、填空题

5.（2022•全国•模拟预测）若函数〃无）满足关系式2/（x）+/（J=3x+l,则/⑶=.

6.（22-23高一下•上海浦东新•阶段练习）已知对任意的实数。均有37（sina）-4/（cosa）=sin%cos2a成立,

则函数〃尤）的解析式为.

反思提升：

函数解析式的求法

（1）配凑法：由已知条件Hga））="x）,可将R（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以X替代g（x）,

便得Hx）的表达式.

⑵待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法.

（3）换元法：已知复合函数Hg（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

（4）方程思想：已知关于五x）与0或五一x）等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等

式组成方程组，通过解方程组求出兀。

【考点4】分段函数

一、单选题

1.（2023•全国•模拟预测）已知函数/（尤）=则—()

x-3x-4,x>0'/

A.-6B.0C.4D.6

/\fl,XGQ,

2.（2023•山西•模拟预测）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了''狄利克雷函数〃。（力=jo它在现代

数学的发展过程中有着重要意义，若函数/（X）=f—。（耳，则下列实数不属于函数“X）值域的是（）

A.3B.2C.1D.0

二、多选题

三2-1＜尤＜0

3.（2021•重庆沙坪坝•模拟预测）已知〃x）=Hl是定义在（T+口）上的函数，则（）

ax--,x＞Q

I2

A.若〃x）为增函数，则。的取值范围为

6

B.若〃x）为增函数，贝M的取值范围为（3,y）

C.若〃x）为减函数，则。的取值范围为1,1

D.若，（x）为减函数，则。的取值范围为（0」）

4.⑵-22高三上•江苏常州•开学考试）已知函数,若函数⑺]+“有7个零点,

则实数。的可能取值是（）

111

A.0B.C.—D.—

435

三、填空题

logJX,X<1

5.（2023・贵州遵义•模拟预测）若函数〃x）=3,则不等式〃x）>2的解集为.

fJQ0<%<1

6.（2022•全国•模拟预测）已知〃x）=e；x>l，若存在巧>外>。，使得/伍）=学'（M），则周"（%）的

取值范围为.

反思提升：

1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式

代入求解.

2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但

要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

.分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2023・陕西西安・模拟预测）已知函数〃力满足/（ei）=2x-l,〃a）+〃6）=0,则下列说法正确的是

（）.

A.a+b=\B.a+b=—

e

C.ab=lD.ab=—

e

2.（2023•江西九江•模拟预测）已知函数y=的定义域为[T5],则函数y=f（2尤?一1）的定义域为（）

A.[0,3]B.[-3.3]C.[一百，百]D.[-3,0]

7

X

3.（2022•全国，模拟预测）设函数/（力=,8-2,,则函数/的定义域为（）

A.(ro,6]B.-00,3]C.[3,+00)D.[6,+oo)

4.（2023•吉林长春•模拟预测）已知函数f(x)满足2/(尤)+/(-x)=3f+2x+6,则()

2x?+4x+34

A.f（x）的最小值为2B.HxeR,————<2

/(x)

2尤2+4x+5

C./（元）的最大值为2D.wVxeRw,———--<2

”尤)

二、多选题

5.（2023•云南昆明•模拟预测）函数〃x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且

/(x)-g(x)=x3+x2-l,则()

A.=B.g(T)=2

c.7(i)+g(i)=iD./(l)+g(l)=2

Inx+2X,x>0

6.（22-23高一上■云南昆明・期末）已知函数/（尤）=<,2，则下列结论正确的是（）

——,x<0

、1—x

A.“X）在R上为增函数

B./(e)>/(2)

C.若/（无）在上单调递增，则或420

D.当xe[—1,1]时，了⑺的值域为口,2]

7.（2024•广东•模拟预测）给定数集A=1^,8=（0,饮），苍、满足方程2'_>=0,下列对应关系/为函数

的是（）

A.f-.A^B,y=/(x)B.f-.B^A,y=/(x)

C.f:A^B,x=f(y)D.于：BTA,x=f(y)

三、填空题

8.（23-24高一上•江苏扬州,期末）已知/（幻=岸=1的定义域为A,集合3={xeR[l<ax<2},若B=

则实数a的取值范围是.

9.（2022•山东济南•二模）已知函数/。）=一/一2了+3,则/（x+l）=

Z7X%〉]

10.（2021•广东•模拟预测）若a>0且awl,且函数〃尤）=，'一.，在R上单调递增，那么。的取值

ax+a—2,x<i

8

范围是.

四、解答题

11.(20-21高二上■山东临沂■期末)已知函数I/(x)=0n+l)x+xlnx.

(1)当〃7=1时，求曲线>=/(尤)在(LAD)处的切线方程.

(2)…时’若双击房’求且⑴的定义域’并分析其单调性・

2x—5,x>0

12.(2020,山东•高考真题)已知函数。(x)=

x2+2x,x<0

(1)求⑴］的值;

(2)求了(|。-1|)<3,求实数。的取值范围.

【能力篇】

一、单选题

1.(2023・全国•三模)已知对于每一对正实数x,y,函数满足：f(x)+/(y)=三(x+y)—孙一1,若"1)=1,

则满足/e)="(〃eN+)的〃的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、多选题

2.(2023・重庆•模拟预测)已知函数/(x)=3专(aeR),则下列说法正确的是()

A.”力的定义域为(3,—2)。(—2,”)

B.“X)在上的值域为［2-

C.若了(“在(y,-2)上单调递减，则a<l

D.若。>1,则/(x)在定义域上单调递增

三、填空题

3.(2022•上海浦东新•模拟预测)函数的图象是两条线段(如图)，它的定义域为［-1,0)则不等式

/W-/(-%)>-1的解集为.

四、