2025高考数学一轮知识清单：均值不等式及不等式综合（原卷版）

专题03均值不等式及不等式综合

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目录

题型一：公式直接用..............................................................................1

题型二：公式成立条件............................................................................2

题型三：对勾型凑配..............................................................................3

题型四：“1”的代换：基础代换型.................................................................4

题型五：“1”的代换：有和有积无常数型...........................................................4

题型六：“1”的代换：有和有积有常数型...........................................................5

题型七：分母构造型：分母和定无条件型............................................................5

题型八：分母构造型：分离型型....................................................................6

题型九：分母构造型：一个分母构造型..............................................................7

题型十：分母构造型：两个分母构造型..............................................................7

题型十一：分离常数构造型........................................................................8

题型十二：换元构造型...........................................................................9

题型十三：分母拆解凑配型........................................................................9

题型十四：万能“K”型..........................................................................10

题型十五：均值不等式应用比大小.................................................................11

题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型.........................................................11

题型十七：因式分解型...........................................................................12

题型十八：三元型不等式.........................................................................13

空突围・错睚蝗分

题型一：公式直接用

;指I点I迷I津

I

基本不等式：；

：(1)基本不等式成立的条件：。＞0,6基;

：(2)(2)等号成立的条件：当且仅当a=b.

\(3)基本不等式的变形：

；①常用于求和的最小值；

：②滴W(审常用于求积的最大值；

I

A.5B.a1+b2C.aD.2ab

2.(22-23高三•全国•课后作业)若a>0力>0,则下列不等式中不成立的是()

A.a2+b2>2abB.a+b>2y[ab

°°1°111

C.ci+bN—(a+b)D.—i—<----(awb)

2aba-b

3.（22-23高一下•黑龙江佳木斯•开学考试）设X>0,丁>0,且孙=9,则工+丁的最小值为（）

A.18B.9C.6D.3

4.（23-24高一下•河南•开学考试）设〃>l,b<0,则（）

a2+b2__,,

AA.---------..2B.a+b>ab

ab

C.ab<—lD.b<ab

5.（2024•重庆•模拟预测）设元,y>0且x+2y=l,则logz^+log22y的最大值为

题型二：公式成立条件

指I点I迷I津

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

（2）“二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构

成积的因式的和转化成定值；

（3）"三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

1.（23-24高三•辽宁本溪•开学考试）下列函数中，最小值为2的是（）

2XX

A.y=x-\B.y—^2.|_2

1C兀）x2+3

C.y=smx+-------0<x<—D.y=t------=

sin%（2）JX2+2

2.（23-24高三•安徽六安•开学考试）设。>0,"0,贝『审26”是“疑26”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（23-24高三•西藏林芝•期中）下列命题中正确的是（）

A.若a>0,b>。，且〃+/?=16,则

4I4

B.若则〃+—22j“・一二4

a\a

C.若a,6eR,则42丝土比

2

D.对任意/+〃N2ga+b22或^均成立.

4.（多选）（23-24高三•四川眉山•期中）下列结论正确的是（）

r2+2

A.若x<0,贝iJxH—4—2B.若九ER,则j2]"?

x

D.若a>l,则（1+〃）—46

C.若XER且xwO,则x

x

5.（多选）（23-24高三•重庆南岸•期中）下列说法正确的是（）

4B.函数丁=与驾的最小值是2

A.函数>=%+-（％<0）的最大值是T

x+9

C-函数，…提（…2）的最小值是6D.若i4,则小产的最小值是&

6.（多选）（23-24高三•贵州贵阳•阶段练习）下列命题中正确的是（）

A.当时，ab<-+b

2

B.若x>0,则函数〃无）=/+：的最小值等于4«

c.若2，+2y=1,贝|x+y的取值范围是（F,—2]

D.J（3-Q）（Q+6）（-6WaW3）的最大值是—

题型三：对勾型凑配

指I点I迷I津

1b

1.对勾型结构：t+-,at+-

tt

容易出问题的地方，在于能否“取等”，如sin。+二一,其中。锐角，&+5+-^^=

sin。VX2+5

2.对勾添加常数型

1\C

对于形如cx+d+——则把cx+d转化为分母的线性关系：~（ajc+b）+——+d——可消去。不必记忆，直接

ax+baax+ba

根据结构转化

2

1.（2023•湖南岳阳•模拟预测）已知函数〃x）=3-尤-一，则当x<0时，”尤）有（）

X

A.最大值3+2后B.最小值3+2行

C.最大值3-26’D.最小值3-2夜

2.（23-24高三・陕西西安•阶段练习）函数y=三>5）的最小值为（）

A.2B.5C.6D.7

3.（21-22高二上•陕西咸阳•期中）己知函数〃力=4工-2+疝匕的定义域为，巩胃，则外力的最大值

为（）

A.5B.-5C.1D.-1

2

4.（23-24高三•吉林•阶段练习）已知％>3,则>=—^+2元的最小值是（）

x-3

A.6B.8C.10D.12

5.（23-24高三•广东佛山・模拟）函数=-----,的最小值为（）

X—1

A.1B.2C.3D.5

题型四：“1”的代换：基础代换型

指I点I迷I津

“1”的代换

.利用常数工X7〃=l代换法。多称之为“1”的代换

m

1.（2022高三上•全国•专题练习）若〃，Z?GR,ab>0S.a+b=2,则的最小值为（）

ab

A.2B.3C.4D.5

2.（23-24高三・贵州黔南•阶段练习）已知乂y>0且％+4y=l,则’的最小值为（）

%y

A.4&B.8C.9D.10

3.（23-24高三•河南南阳•阶段练习）若。>0力>0,。+36=1,则的［最小值是（）

a3b

A.2B.4C.3D.8

21

4.（22-23高一下•湖南邵阳•阶段练习）设。>0,b>0,若2a+。=2,则一+7的最小值为（）

ab

9

A.372B.4C.9D.-

2

21

5.（22-23高三•内蒙古呼和浩特•期中）已知x,y为正实数，且一+—=2,则x+2y的最小值是（）

%y

A.2B.4C.8D.16

题型五：“1”的代换：有和有积无常数型

指I点I迷I津

有和有积无常数

形如4a+〃i>=tab,可以通过同除ab,化为石X+/LI=t构造“1”的代换求解

1.（23-24高三上•江苏连云港•阶段练习）若。>0,b>0,s.a+b=ab,则2a+6的最小值为（）

A.3+2&B.2+2夜C.6D.3-20

2.（23-24高二上•陕西西安•期中）已知々>0,〃>0且2"=a+2b,则〃+8b的最小值为（）

27

A.4^2B.10C.9D.

3.（2022•四川乐山•一模）已知1>0,y>0,且4%+2y-孙=0,则2x+y的最小值为（）

A.16B.8+40C.12D.6+48

4.（21-22高三•山西太原•阶段练习）已知〃>0,Z?>0,3a+b=2ab,则a+b的最小值为（）

A.2B.3c.2+V2D.2+6

5.(23-24高一下•广西•开学考试)已知〃>0,,且a+b=贝!J2必-々+7。的最小值是(

A.6B.9C.16D.19

题型六：“1”的代换：有和有积有常数型

指I点I迷I津

有和有积有常数

形如(〃W+利)+。孙=/求如+改型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”

的系数系数，如下：

/、/、p/、/、，/、p/(^^)+(〃y)\2

t=(mx+ny)+pxy=(mx+ny)d-----{iwc)(ny)<{nix+ny)d------(------------:-)

mnmn2

1.(23-24高三产茜灌段)巨如合+加=〃6+4,则Q+Z?就最美宿()

A.2B.4C.8D.2A/2

2.(23-24高三•甘肃•模拟)若正数a,b满足“6="+6+3,则ab的取值范围是()

A.(-<»,6]B.[6,9]

C.[9,+e)D.[9,12]

3.(23-24高三•江苏•模拟)已知正实数。，6满足a6+a+b=8,则a+b的最小值是()

A.8B.6C.4D.2

4.(23-24高三•安徽阜阳•模拟)已知正实数8>满足2x+y+6=孙，记孙的最小值为。；若根〃>0且

1Q

满足初+〃=1,记一+一的最小值为6.则a+b的值为()

mn

A.30B.32C.34D.36

5.(23-24高三・福建莆田•模拟)已知x>2,>>1,xy=x+2y+2f贝y+y的最小值是()

A.1B.4C.7D.3+#7

题型七：分母构造型：分母和定无条件型

指I点I迷I津

无条件分母和定型

---二r+-FT型，满足mf(x)+ng(x)=t(定值)，则可以构造

〃+/(%)b-g(x)

-----+(X)+(X)],------------+_

a+b-g(x)tL」\_a+f(x)b-g(x)_|

u———————————————————————————————————————————————————————————————————————

91

1.(2020高三・全国•专题练习)一丁+一「的最小值为()

smacosa

A.2B.16C.8D.12

14

2.（21-22高三・福建莆田•期末）当Ovxvl时，—+——的最小值为（）

X1-x

A.0B.9C.6D.10

1?

3.（2024•山西临汾•三模）若OvxvL则上+谷的最小值是（）

x1-x

A.1B.4C.2+20D.3+2也

19

4.（22-23高三・江苏南通•模拟）函数/（九）=--（-l<x<—）的最小值是（）

x+15—2%2

7896

A.-B.-C.一D.

678

1皿32

5.（23-24高三•四川成都•期中）若。<%<彳，则）=丁+三的最小值为（）

32x1-3%

25

A.12B.6+4-73C.9+新D.——

2

题型八：分母构造型：分离型型

"旨I点I迷I津1

对勾分离常数型（换元型）

长+fer+c型,可以通过换元/=,以+〃分离降暴，转化为对勾型

mx+n

।______________________________________________________________________________________________________!

1.（21-22高三•辽宁沈阳•模拟）若不等式在士里〉“在区间[0』上有解，则实数。的取值范围是（）

2x+l

A.ci<A/2—B.avlC.ci<—D.ci<2v5—

232

2.（23-24高三•海南海口•阶段练习）若函数/（x）=3"土£在》以0,+8）是增函数，则实数。的取值范围

X+1

是（）

A.（F,2]B.[0,1]

C.（-oo,l]D.[L2]

3.（2020高三•河北石家庄•阶段练习）已知x<3,则y=厂一版+4的最大值是（）

x-3

A.-1B.-2C.2D.7

4.（20-21高三・辽宁大连・模拟）"。24"是"关于彳的不等式让土史=。（%>1）有解，的（）

X—1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

则y=L2£+2有（）

5.（20-21高三・浙江绍兴•期中）若.

2x—2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

题型九：分母构造型：一个分母构造型

指I点I迷I津

单分母

形如a+b=f,求—^+工型，则可以凑配（a+M+（b）=.+m,再利用“1”的代换来求解。

a+mb

其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。

则,+—一的最小值为（）

1.（23-24高三•浙江温州•模拟）已知非负实数x，y满足x+y=i,

%1+y

794

A.-B.2C.—D.-

353

…，2»-3=。，则击+：的最小值为（）

2.（23-24高一下•福建南平•期中）已知。>0,

33

A.2B.1C.一D.-

24

71

3.（23-24高三下•江苏扬州•开学考试）已知实数。>1,b>Q,满足。+人=3,则W+1的最小值为(

a—\h

A3+2。3+2&.3+4加D.2

RL.------

4224

4

4.（23-24高三・浙江•模拟）已知a>l,b>0且〃+二=2,则+b的最小值为（）

ba-\

A.4B.6C.8D.9

44

5.（23-24高三•广东肇庆•模拟）已知a>0,Z?>1,ci-\------=h则一+b的最小值为（）

b-1a

A.15B.16C.17D.18

题型十：分母构造型：两个分母构造型

指I点I迷I津

双分母

形如a+b=f,求型，则可以凑配（°+加）+3+冷=/+加+〃，再利用“1”的代换来求解。

a+b+n

其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。

L（2。24.全国.模拟预测）设正实数会满足…=2,则占+力的最小值为（）

2.（23-24高三•浙江•期中）已知。>1,6>工，且2。+匕=3,则二一+-71—的最小值为（）

2A-126-1

9

A.1B.-C.9D.y

2

41

3.（23-24高三•江苏徐州•阶段练习）已知正实数。/满足一-+—=1,不等式mKa+3恒成立，则实

a+bb+1

数机的取值范围是（）

A.m<6B.m<5C.m<9D.m<8

4.（23-24高三上•江苏南京•阶段练习）已知非负实数x,y满足J—+二二=1,则x+y的最小值为（）

、3x+y2y+2、

11cD

A.-B.--1-t

64

5.（23-24高三•湖北•阶段练习）若x>0,y>0,且一二+一4=1,则3x+y的最小值为（）

x+1x+2y

C.；+君D.4+275

A.3B.2A/5

题型十一：分离常数构造型

指I点I迷I津

对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化

为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解

f\-gf

j—（cx+d]+b——b——

分离常数技巧：竺心-----------^=-+—J

cx+dcx+dccx+d

43^-7

1.（23-24高三•广东佛山•阶段练习）已知正数％,>满足x+y=2,则--+-~~的最小值是（）

x+23y+4

1113527

A.—B.—C.-D.—

1616816

2.（23-24高三上•广东东莞•期中）己知a,b为正实数，且a+26=l,则且±驾也±1的最小值为（）

ab

A.1+2A/2B.2+20C.3+2后D.4+2&

r2+4v2+1

3.（23-24高三•全国•期末）已知%>0,y>0,且x+y=4,则-----+—的最小值为（）

xy

725

A.4B.-C.-D.5

44

22

4.（23-24高三・湖北武汉・模拟）已知x>0,y>0且无+y=l,则\+二z的最小值为（）

x+1y+2

111

A.—B.-C.1D.一

423

5.⑵-23高一下•云南•阶段练习）已知心-2,6>。，0+"3'则最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

题型十二：换元构造型

指I点I迷I津

若已知=f（定值），一^+一^型，则可通过线性换元，令1°=於'?，反解出x,y

g（x,y）h[x.y）\b=h^x,y）

代入条件等式，（%/）=/中，换元为简单的条件不等式

u________________________________________________________________________________________________________________________

1.（23-24高三上•四川巴中•开学考试）已知x>y>0且4%+3y=1,则+—^的最小值为（）

2x-yx+2y

A.10B.9C.8D.7

21

2.（23-24高三上•山东•阶段练习）已知实数x,y满足x>y>。，且%-y=2,则——+——的最小值为

x+yx-y

（）

A.3B.4C.5D.6

38

3.（21-22高三•河南洛阳•阶段练习）已知正数x,'满足"+2田.+（3x+2y）x=之，则孙的最小值是（）

5547

A.-B.-C.—D.一

8434

381

4.（22-23高三上•江西南昌•阶段练习）已知正数x,，满足（x+2y）y+（3,+2y）x=1，则冲的最小值是（）

5845

A.-B.一C.1D.一

4332

5.（2022•安徽合肥•模拟预测）已知正数X,y满足&+=1,则x+y的最小值（）

x+3y3x+y

B3+及D3+&

八3+2近r3+20

44〜88

题型十三：分母拆解凑配型

指I点I迷I津

凑配拆解型

形如a+A=t,求I+I型,则可以凑配（方+相）+（法+〃）=/（0+6）,再利用“I”的代换来求解。

ax+mbx+n

其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配

1.（22-23高三上•河北保定•阶段练习）不等式无2一4元+机,0的解集为国磁kb},其中0＜根＜4,则

777，=+Ji的最小值为（）

lQa+2b4b-4a

1111

A.-B.—C.一D.-

2468

549

2.（22-23高三•河北承德•期末）已知正实数。力满足〃+匕=；,则--+-一的最小值为（）

3a+2b2a+b

A.6B.5C.12D.10

3.（19-20高三上•陕西榆林•阶段练习）已知y=log2（J-2x+17）的值域为［乙+⑹，当正数〃力满足

21

-----+---千=加时，则7。+劭的最小值为（）

3a+ba+2b

A95+2&门c

44

4.（202牛四川成都模拟预测）若。,6是正实数，且；7^+二工7=1「则4+6的最小值为（）

3a+b2a+4b

42

A.-B.-C.1D.2

53

5.（23-24高三下•河北•开学考试）已知。，匕均为正实数，且满足上1+-3=2,则^一?7十小3二的最小值为

ab2a-12b—3

（）

A.2B.2A/2C.273D.276

题型十四：万能“K”型

指I点I迷I津

一般情况下的“万能K法”

设K法的三个步骤：

回、问谁设谁：求谁，谁就是K；

回、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；

团、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），20确定最值。

求谁设谁，构造方程用均值

1.（22-23高三上•江苏南京•模拟）已知正实数x,＞满足x+'+4y+,=10,贝!Jx+4y的最大值为（）

尤y

1

A.-B.1C.2D.9

9

19

2.（2022•全国,IWJ—'课时练习）已知为正头数，且Q+0=6HF—则〃+〃的最小值为（）

ab,

A.6B.8C.9D.12

14

3.（2022秋•四川成都•高一成都外国语学校校考期中）已知正数〃/满足。+》+—+：=16,贝！!的最大值

ab

是.

14

4.（21-22高三上•湖北襄阳•期中）若正数冗，>满足2x+2y+—+—=9,则％+丁的最小值是（）

%y

153.

A.-B.—C.—D.2

242

题型十五：均值不等式应用比大小

;指I点I迷I津

:几个重要不等式

（1）a1+b2>_2ab（6Z,Z?GR）；

:（2）—1—•nyfab（。,8£R）；

•（3）y+—>2（a,Z?同号）；

ba

\（4）1等