2025届乐山市高三数学上学期期中考试卷及答案解析

乐山立志达高级中学2024-2025学年度上期半期考试高三数学试卷

时间：120分钟满分150分

出题人：陈健审题人：程才

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

2

A=（xlx-2x-8<=（x|v=yfx,yenD

1.已知集合L」〔卜>,则可）8=（）

A.（-2,4）B.[0,4）C.[0,1]D.{0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】先求出集合A,将其中非负整数代入y=即可判断是否属于集合2,进而结合交集的定义求

解即可.

【详解】根据题意，A={x\-2<x<4},则集合A中的整数为一1,01,2,3,

当x=0时，y=40=0eB,当x=l时，y=4\=\&B,

当x=2时，y=6./B,当x=3时，y=6更B,

所以2口8={0,1}.

故选：D

2.在等比数列{4}中，a.=9,公比q=；,则生与生的等比中项是（）

A.1B.3C.±1D.±3

【答案】D

【解析】

【分析】先求a3a5,结合等比中项的定义可得答案.

【详解】因为a3a5=%•%/=9，所以％与知的等比中项是±3.

故选：D.

3.已知复数4=2+i/2=a+i（aeR）,若复数4—为纯虚数，则实数a的值为（）

11

A.-B.——C.-2D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】计算马22,根据纯虚数的定义计算可得。的值.

[详解]Z].z,=(2+i)(a+i)=2a+(a+2)i—l=2a—l+(a+2)i,

2。-1=0

因为复数Z「Z2为纯虚数，所以<，解得：a

。+2002

故选：A

tanx

兀71

4.已知xe,则函数/(》)=的值域是

1

AB.(0,3]C.一,+ooD.[3,+oo)

°43

【答案】c

【解析】

tanx

【分析】根据正切函数的单调性确定tame(-“,1],再根据复合函数的单调性即可求出/(x)=的

值域，即得答案.

tairr

【详解】令/=tanx,则=

因为，=tanxx€上单调递增，且tan；=l,所以f=tarue(—oo,l],

4

又广;在(一8』上单调递减，且8,1],所以y1

e

33，J，

即/(x)的值域是|,+®I.

故选：C.

1,3

5.命题“IceR,—V+x——a<0”为真命题的一个必要不充分条件是()

22

A.67>0B.a>\

C.a>—2D.a>-3

【答案】D

【解析】

【分析】先由存在量词命题为真求得。的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项.

,1,31,3

【详解】由eR,—x~+x----a<0,可得。〉一x"+x—在R上能成立,

2222

1,31,

因一x~+x—=—(x+l)~—2>—2,故得a>—2.

222

由题意知，(-2,+s)是选项的范围的真子集即可.

故选：D.

6.已知平面向量而，为满足：网=同=2,且应在方上的投影向量为-g晨则向量成与向量方的夹角为

()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】根据投影向量得到而/=-2,求出cos泣〃=-；,得到西方=120°.

—1一m-nn1一

【详解】由加在〃上的投影向量为-y，得可.同=一万〃所以加•〃=一2，

所以成•拓=2x2cos或，拓=一2,所以cos应，拓二——,

2

又两Me[00/801，所以两拓=120°.

故选：C.

7.设a为锐角，若cos(a+*|=；,则cos^^-2a]的值为()

.472口4行「7

A.------D.----C.

999

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得.

TTTT27r

【详解】因为a为锐角，所以一<a+—<—,

663

(兀)兀Z

所以COS[K-2。J=cos—26+|1=sin12a+1

=sin(2a+—)=sin2(a+—)=2sin(tz+—)cos(tz+—)=2x—x4行

3666339

故选：B.

8.若函数/(x)=V1+bln(m—x)+3(a〉0且awl/为常数)在［—c,0］(。为常数)上有最小

值—5,则/⑴在［0,。］上()

A.有最大值12B.有最大值6

C.有最小值-5D,有最小值-8

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数g(x)=*j-g+x),证明函数为奇函数，利用奇函数的性质可得最大

7

值，由/(x)=g(x)+,得解.

【详解】设g(x)=-^—g+Mn(&+i—q,

因为6+1-x>W-x20,所以g(x)的定义域为R,关于原点对称，

g(-x)=---g+bln(J*+1+x)=J］-；-6In(Jx2+1-x)=；——7---61n(Jx2+1-xj=-g(x),

7

即g(x)为奇函数，且/(x)=g(x)+Q,

717

因为/(x)在［-c,o］上有最小值-5,所以g(x)在［-c,o］上有最小值一5-耳=-万，

17

由奇函数的对称性知，g(x)在［o,c］上有最大值万，

177

所以/(%)在［0,上有最大值y+-=12,

故选：A

二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多个

选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.已知10"=2，102b=5,则()

A.a>bB.Q+26=1

12

C.log2tz+log2Z7<-3D.—+—>9

一一ab

【答案】BCD

【解析】

【分析】由对数运算可得。=lg2,Z)=1lg5,借助作差法结合对数运算可得A；由对数运算可得B；借

助基本不等式与对数运算可得C；借助基本不等式“1”的活用可得D.

【详解】由10"=2,则。=炮2,由1()2&=5,则2b=lg5,即b=glg5；

对A：a-Z)=lg2-1lg5=lg-^<lgl=0,故故A错误；

对B：〃+2b=lg2+2x；lg5=lgl0=l,故B正确；

对C：由a=lg2>0,Z)=1lg5>0,则a+2b=l〉2ja-2b=2缶K，

即则Iog2a+log26=log2ab<log2』二—3,故C正确;

88

,工,12fl2blb2a

对D：由Q+26=1,则一+—=—+：(Q+26)=5+—+—,

ab\ab)ab

,_1c/112b2alba_2b2a.

由Q=lg2,b=—Ig5c,则mtl—,故---1—>2./------=4,

2abab\ab

则—I—=5H---1--->9,故D正确.

abab

故选：BCD.

10.已知数列｛。“｝的前"项和为s“，若％=20,an+l=a„-4,(〃eN*),则()

A.4是数列｛%｝中的项B.当S“最大时，"的值只能取5

C.数列是等差数列D.S5=S,

【答案】AC

【解析】

【分析】由等差数列的基本量法求出通项，令4=24-4〃可得A正确；由牝=。可得B错误；求出S”,

再表达出」一心，作差可得C正确；求出65,67可得D正确；

n〃+1

【详解】因为d=a〃+i-=-4,(〃wN*),q=20,

所以数列｛册｝是公差为-4，首项是20的等差数列,

即=Q]+(〃-l)d=20-4(〃-1)—24—477,

对于A,4=24-4〃=〃=5,所以4是数列｛册｝中的项，故A正确；

对于B,令24—4〃=0=>〃=6,即。6=0，前五项大于零，

所以当S“最大时，〃的值可以取5或6,故B错误；

g“C〃(q+%)"(20+24-4")2

对于C,S”=----------=-----------------=22n-2n,

〃22

而zS,22〃—2/5,22(〃+1)—2(〃+1F..

所以」■=---------=22-2n,=—---->-——------=22-2(n+lY

nnn+in+1

2^±L_^L=22-2(/?.+1)-(22-2ZZ)=-2,

所以数列是等差数列，故C正确；

5X47x6

对于D,S5=20x5+—x(-4)=60,57=20x7+—x(-4)=56,

所以S5Hs7,故D错误；

故选：AC.

11.已知函数/(x)=cos2x+asinx,则()

A.函数/(x)的最小正周期为2兀

-9~

B.当。=1时，函数/(x)的值域为一2,三

O_

(TT7兀)

C.当a=—2时，函数/(x)的单调递增区间为2E+g,2E+不(keZ)

D.若a=l,函数/(x)在区间(0,E)(左eZ)内恰有2025个零点,贝”=1350

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用余弦型函数和正弦函数的周期性可判断A选项；利用二次函数的值域可判断B选项；利用复

合函数的单调性可判断C选项；在xe（0,271）时解方程/（x）=0,结合函数的周期性可判断D选项.

2兀

【详解】对于A选项，因为函数丁=32%的最小正周期为7；=万=兀，

函数歹=asinx（a。0）的最小正周期为%=2兀,

故函数/（X）的最小正周期为2兀，A对；

对于B选项，当a=1时，f（x）=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1,

令/=sinx,则歹=一2»+/+l=_2”一；）+\,

19

当，二:时，Vmax=6；当，二一1时，歹二-2-1+1=-2；当，=1时，y=0.

48

所以，Vmin=一2,

9

所以，当。=1时，函数/（X）的值域为—2},B对;

O

对于C选项，当〃=—2时，/(x)=cos2x-2sinx,

则/(x)=—2sin2xi2sinx+1——2sinxH-H—，

令/=sinx,贝ij—则外层函数y=—++1,

外层函数y=—2,+g]+|的单调递增区间为-1,一0,单调递减区间为—g」

当—1；时，则内层函数/=sinx单调递增时，则函数/（x）为增函数，

所以，2而一1Vx<2左兀一弓（左€Z）；

当—时，则内层函数/=sinx单调递减时，则函数/（%）为增函数，

所以，2左兀+巴Vx<2hi+—（A:€Z）.

26

综上所述，当a=—2时，函数/（X）的单调递增区间为[桁―],2桁一：]（左eZ）,

C7兀C77兀

2kli+-,2ATIH——(kGZ),C错;

对于D选项，当Q=1时，/(x)=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1=0,

可得sinx=l或sinx=——

2

由于函数/（x）的最小正周期为2兀，且/（2兀）=1,

现在考虑函数/(X)在(0,2兀)上的零点个数，

由sinx=l可得x=工，由sinx=一l可得》=无'或》=口^,

2266

所以，函数/(x)在(0,2兀)上的零点个数为3,

因为2025+3=675,故左=2x675=1350,D对.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：

①利用sinx和cosx的最值直接求；

②把形如V=asinx+6cosx的三角函数化为y=Nsin(ox+。)的形式求最值；

③利用sinx土cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求最值；

④形如y-asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c转换成二次函数求最值.

三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.

12,已知向量Q=(l,cosx),b=(sinx,-l),若QJ_B'则卜|-•

【答案】国

2

【解析】

【分析】根据向量垂直，得到数量积为0,进而求出cosx,可求口.

【详解】因为£j_B，所以£.3=0nsinx—cosx=0=>sin2x=cos2'=；.

所以=Jl+cos>\=Jl+；=.

故答案为：

2

13.已知函数/(x)=x(li«)2-3x在区间［a,£］内单调递减，则f的最大值为

【答案】e4

【解析】

【分析】求导，利用导数求/(x)的单调递减区间，结合题意可得见，的最值，即可得结果.

【详解】由题意可知：/(X)的定义域为(0,+8),且/'(x)=(ln%)2—3+21nx=(lnx+3)(liu

令/'(x)40,可得—3WhwVl,解得e-WxWe，

可知/(x)的单调递减区间为［e，e］,

因为/(x)在区间［«,/?］单调递减，则［见夕仁,e］,

34

可知amin=e_,Anax=e，所以2的最大值为e.

a

故答案为：e4.

14.函数是数学中重要的概念之一，1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士

数学家欧拉首次使用符号/(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着

信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理

函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.已知对任意的整数区6均有

)(a+6)=/(a)+/(6)+仍+3,且则/(2024)=.

【答案】2048285

【解析】

【分析】根据/(。+6)=/(。)+/他)+仍+3利用赋值法可得/(〃)—/(〃—2)=2〃—2,再由累加法计

算可得结果.

【详解】在/(。+6)=/(。)+/优)+仍+3中,

令a=6=0,得/(0)=/(0)+/(0)+0+3,于是/(0)=-3.

在/(a+6)=/(4)+/㈤+仍+3中，

令a=2,b=-2,得/(0)=/(2)+/(-2)—4+3,;.〃2)=—1.

在/(a+b)=f(a)+/(b)+ab+3中，令a=n-2,b=2,

得/(〃)=/(〃—2)+/(2)+2(〃—2)+3=〃〃H2)—1+2(〃—2)+3=/(〃—2)+2〃=2,

2)=2〃-2.

/(2024)-/(2022)=2x2024-2,

/(2022)-/(2020)=2x2022-2,

7(2020)-/(2018)=2x2020-2,

/(4)-/(2)=2x4-2

上述等式左、右两边分别相加得/(2024)-/(2)=2(2024+2022+---+4)-2xl011.

2024)=2x(202：+4)xlon_2022_1=2048285.

故答案为：2048285

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用赋值法得出递推关系式，再利用累加法即可求得结果.

四、解答题：本题5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量G=kinx,j)B=(cosx,—l).

(1)当时，求tan2x的值；

(2)设函数八＞)=2(万+且0,],求/(x)的值域.

24

【答案】(1)-----

7

”+|

(2)

【解析】

【分析】(1)根据向量平行列出等式，计算tanx的值，二倍角公式即可计算tan2x；

(2)计算/(x),并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域.

【小问1详解】

__3

因为a〃B，所以—sinx=—cosx，

4

32tanx24

因为cosxwO,所以tanx=——，所以tan2x=--------厂=----.

41-tanx7

【小问2详解】

[3/兀\3

f(x)=2伍+B)•B=2sinxcosx+2cos2x+—=sin2x+cos2x+—=-^2sinI2x+—I+—,

因为所以+乎:所以sin[2x+；1e-^y-,1,

所以/(x)的值域为I；,行+|.

16.已知函数/(无为奇函数.

(1)求实数。的值；

(2)设函数g(x)=log2l-logz：+机，若对任意的e(0,1],总存在石e[2,8],使得

g(M)=/(%)成立，求实数机的取值范围.

【答案】(1)-1

5]_

(2)

3；4

【解析】

【分析】(1)首先可得函数的定义域，根据奇函数的性质得到/(。)=0,求出参数。的值，再检验即可;

(2)首先求出/(x)在(0』上的值域A,再利用换元法求出g(x)在xe[2,8]上的值域8,依题意

A^B,即可得到不等式组，解答即可.

【小问1详解】

由题意可得，函数的定义域为R,因为/(x)是奇函数，所以/(。)=*=0,可得。=-1,

经检验，对于VxeR,/(—x)=—/(x)成立，所以a=—1.

【小问2详解】

尸一1?

由(1)可得=~-=1———

V,2*+12工+1

因为xe(O,l],所以2、e(1,2],2X+1G(2,3],了匕€14}

22

，TV-----e

2V+12X+1°4，

所以当xe(O』时/(x)的值域Z=[o,；,

又g(x)nlogzI-logzj+MMOogzX-lXlogzX-Zj+m,xe[2,8],

=logx,re[1,3],则y=«—1)(/一2)+加=产―3f+2+/=|/3+m

2-\

31

当，=—时，取最小值为---\-m,当，=3时，取最大值为2+加，

24

即g(x)在xe[2,8]上的值域8=--^+m,2+m,

又对任意的Ze(O,l],总存在石e[2,8],使得g(xj=/(x2)成立，

--+m<0

4,解得—机三工，即实数加的取值范围是一g5,1

即4=5,所以〈

3434

2+m>—

3

17.已知△45C的角4,B,C对的边分别为a,b,c,2bcosA=2c-y/3a

(1)求2；

(2)若cos/=sinC—1,CA=^CD,BD^^31,求△4SC的面积.

【答案】(1)

⑵4也

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理边化角，再用三角恒等变化由值求角即可;

(2)由三角方程求角，结合条件(1)可知三个内角，再利用向量关系和已知的长度去求边，即可得到面

积.

【小问1详解】

因为26(：05幺=20-1§0，由正弦定理边化角，所以2sin8cosZ=2sinC-J^sinZ

2sinBcosA=2sin(Z+B)-V3sinA=2sinAcosB+2cosAsinB-V3sinA

即百sin4=2sinAcosB

在△48C中，sinZwO,所以cos3=E

2

又因为Be(0㈤，所以2=g

6

【小问2详解】

由cosA=sinC—1,得cosf——。=sinC—1,

cos—cosC+sin—sinC=sinC-1n-^-cosC+—sinC=sinC-l，

6622

—sinC+^-cosC=1nsin(C+—)=1，

223

因为0<C<TT,所以：<C+T■〈二~，所以CH—=—,所以C=—

所以Z=—，且b=c

3

___13

在△48。中，CA=4CD，所以40=—6

4

BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA=b2+—b2-2b--b-\--\=37,

164I2)

解得6=c=4,

所以△4SC的面积5=!48］。51必=、4・4・亚=46.

222

Z(^,人x>/o\J

x+1

18.已知函数/(x)=xlnx,g(x)=<

—+l,x<0

12

(1)求函数/(x)的极值；

(2)若函数y=aex-工区在区间。,2)上单调递增，求。的最小值；

X

(3)如果存在实数加、“，其中加＜“，使得g(772)=g⑺，求〃一机的取值范围.

【答案】(1)极小值为无极大值

e

⑵-

e

(3)[3-2ta2,2)

【解析】

【分析】(1)求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的极值；

(2)依题意可得y'=aex—工20在(1,2)上恒成立，显然。＞0,参变分离可得设

xa

m(x)=xex,xe(l,2),利用导数得到加(x)＞机⑴=e,即可求出参数。的取值范围，即可得解;

(3)方法1：依题意可得函数g(x)在(―叫。］、(0,+8)上为增函数，则—2＜见＜0,0＜〃Ve—1,从

而得到机=21n(〃+l)-2,则〃—加=〃一21n(〃+l)+2,令0(x)=x-21n(x+l)+2,

xe(O,e-l],利用导数说明函数的单调性，即可求出〃一加的取值范围；方法2：依题意可得

/\〃=e'一1"

-2<m<0,0<n<e-1,令g(加)==，，可得<,0<Z<1,令

h(t)=n-m=e,-2t+l,利用导数说明函数的单调性，即可求出〃(7)的范围，从而得解.

【小问1详解】

••・/(x)定义域为(0,+8),/,(x)=l+lnx,

.•.当xe(0,eT)时，f(x)<0；当xe(eT,+e)时，f(x)>0；

.•./(x)在倒,1)上单调递减，在(「,+句上单调递增，

・••/(x)的极小值为/仁一|)=—1,无极大值.

【小问2详解】

依题可知，y=aex-Inx,V="e">0在(1,2)上恒成立，显然。〉0,所以门"2’,

xa

设加(x)=xe“，XG(1,2),m'(x)=(x+l)ex>0,所以加(x)在(1,2)上单调递增，

m(x)>m(l)=e,故即即Q的最小值为

aee

【小问3详解】

ln(x+l),x>0

方法1：由已知g(x)=]x，则函数g(x)在(一8,0]、(0,+8)上为增函数，

—+l,x<0

12

若存在实数加、n,其中加<〃，使得g(加)=g(〃)，则一2c加<0,0<77<e-l,

由g(加)=g(〃)可得£+l=+,则加二21n(〃+l)-2,

故〃一加=〃一21n(〃+l)+2,

X—1

令O(x)=x_21n(x+l)+2,xe(0,e-l],p(x)=]-------一=0,可得x=l.

x+1x+1

当0<x<l时，d(%)<o,此时函数9(%)单调递减，

当时，(p'(x)>0,此时函数9(%)单调递增,

故，0(x)min=9⑴=3-21n2,

又因为9(0)=2,^(e-l)=e-l,且e—1<2,所以3—21n2〈〃«)<2,

因此，〃一机的取值范围是[3—21n2,2).

ln(x+l),x>0

方法2：由已知g(x)=«，则函数g(x)在(-叫。］、(0,+8)上为增函数,

—+l,x<0

[2

若存在实数加、n,其中加<",使得g(加)=g⑺，则一2(机<0,0<zz<e-l,

/=ln(〃+l)

n=el-1

令g(根)=g(〃)=/，则<_加+]'可得<

/-T+m=2t—2

由一2<0可得0</41,

令〃«)=场一加=e'-2/+1,其中0</41,令/(7)=e'-2=0可得/=ln2,

当0</<ln2时，h'(t)<0,此时函数〃⑺单调递减，当。2<区1时,〃'⑺>0,

此时函数〃⑺单调递增，故当0</41时，/z(r)mm=A(ln2)=3-21n2,

又因为力(0)=2,A(l)=e-1,且e-1<2,所以3-2山2«〃⑺<2,

因此〃一机的取值范围是［3—21n2,2).

19.已知函数/(x)=ex---1.

X

(1)若方=e(e为自然对数的底数)，求函数/(x)的极值；

(2)若6=1,函数g(x)=/(x)—@有两个零点T,x2(%1<x2).

X

①求。的取值范围；

X2

②当不等式Xe%+2x2e〉机恒成立时，求实数机的取值范围.

【答案】(1)极小值为/(l)=e—1,无极大值；

(2)①。〉1；②加W3.

【解析】

【分析】(1)直接求导得/'(x)=—e,+elnx,再对分子求导即可得到/(乃的单调性和极值；

X'

(2)①问题化为a=xe*_lnx-x在(0,+0°)上有两个不同的根，利用导数研究右侧的值域范围，即可得参

数范围；

②利用同构思想进行整体换元，转化为7-In/-。=0有两个不同正根4=西0,才2=%产，最后利用比值

换元〃二2

h

化为〃>1时(2〃+1)In〃—m(//—1)>0恒成立求参数范围.

【小问1详解】

由题设/(》)=/—四—1,且xe(O,+s),