2025年初中数学专项复习突破：脚拉脚模型（含答案及解析）

大招脚拉脚模型

模型介绍

成立条件：等腰三角形顶角互补

模块一：认识“脚拉脚”模型

1、等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图

已知：AABC、△ADE为等腰直角三角形,ZB=ZD=90°,AB=CB,AD=ED,点F为

CE的中点。

结论：BF=DF,BF±DF.

法1：倍长中线+手拉手

延长DF至点G,使得FG=FD,易证△DEF0AGCF(SAS)；

所以CG=ED=AD,Z2=Z7；

XZ1+Z2+Z3=36O°,

Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=540°(五边形内角和),

Z4=Z6=90°；

所以N3+/5+N7=/]+N2+/3,

所以Nl=/5；

则ABCGgABAD(SAS),

所以NDBG=90°,BG=BD；

所以BF」DG=DF,BFXDFO

2

G

由△BCF四△GEF(SAS),得BC〃GH,由ADEFgAGCF(SAS),得GH

〃DE,

所以N2=N6=90°,则N2=/l,所以NH+NADE=180°,即/H=

ZADE=90°,

在四边形ADEH中，Zl+Z2=180°,所以/H=NABC=90°,

贝!JN3+N4=18O°,又N4+N5=180°,所以N1=N2（8型转角）,

所以N3=/5所以N3=N4

注意：选择“四边形对角互补”还是“8型转角”证明角相等取决原有等腰直角三角形底边

与公共顶点的夹角（夹角小于45°：选择“四边形对角互补”；夹角大于45°：选择“8型

转角”）

法2：斜边中线+中位线

取AC中点G,AE中点H,连接BG,FG,FH,DH。

由中位线定理可知：FG=-AE=DH,FH=-AC=BG,

22

/1=N3=N2,

所以/1+/5=/2+/4,所以/BGF=NFHD；

则ABGF丝AFHD(SAS),

所以BF=DF,ZFBG=ZDFH,ZBFG=ZFDH；

所以ZBFG+ZGFH+ZDFH=ZBFG+Z3+ZFBG

=ZBFG+Z1+ZFBG,

XZBFG+Z1+ZFBG+Z5=18O°（三角形内角和）,

所以NBFG+N1+NFBG=9O°,所以BF_LDF。

2、等腰三角形的顺序脚拉脚模型

已知：AABC、△ADE为等腰直角三角形，ZB=ZD=90°,AB=CB,AD=ED,

结论：CE=V2BD,ZBFC=45°.

法一：相似

△ABD-AACE(SAS)i------->—=—=—=72

BDABAD

V

N4=N1,>Z2=Z3=45°(8字型转角)

法二：手拉手+平行四边形

将线段BD逆时针旋转90°得到线段BG,连接DG、CG。

易证：ABADgABCG(SAS),Z1=Z4+Z5,

又N3+N5+N6=/7=90°,

所以N1+N2+N3+N6

=Z2+Z4+Z3+Z5+Z6

=90°+90°=180°

所以CG平行且等于DE,所以四边形DECG为平行四边形,

所以CE=DG=V2BD,ZBFC=ZBDG=45°

3、顶角互补型脚拉脚

已知：AABC、ADCE为等腰三角形，1+夕=180°,AB=AC,DC=DE,点F为BE

的

中点.结论：①AF_LDF；②里=tan".

AF2

法1：倍长中线+手拉手法2：中位线+相似

BC

BMC

延长DF至点G,使得FG=FD,连接AD,取BC中点M,EC中点N,连

接AM,FM,

AG,BG,延长BG与CD相交于点H。DN,FNo

易证：△BFG^AEFD(SAS)由中位线定理得:FN=MC,MF=CN,

Z4=Z5；

力DNDNJ3„

得：BG〃DE,BG=DE=DC,所以---=----=tan-,同理Tm

ZEDH=ZGHD=a,所以/CHB=/?又ZAMF+ZCMF=ZFND+Z

CNF；

所以NABG=NACD(8字型转角)所以/AMF=ZFND,得Z

AMFsZFND；

所以AABG乌AACD(SAS),得证。所以N3=N7,=tan—；

AF2

Z1+Z2+Z3+Z4+Z6=Z5+Z

6+Z7+ZAFD；

所以N1+N2=NAFD=90°

0

例题精讲

【例1].如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,点。是线段AC上一点，连接

BD.以8。直角边作等腰直角△BDE,ZDBE=90°,连接AE,点尸为AE中点，若AB

=4,BF=1,则A。的长为

A变式训练

【变式17].如图，△ABC中，ZABC=90°,BA=BC,△8EF为等腰直角三角形，ZBEF

【变式1-2].己知正方形ABC。，将线段54绕点8顺时针旋转a(0°<a<90°),得到

线段BE,连接£4,EC.

(1)在图中依题意补全图形，并求NAEC的度数；

(2)作/EBC的平分线班'交EC于点G,交助于点R连接CR用等式表示线段AE,

FB,FC之间的数量关系，并证明.

A|----------------------------,D

BC

【变式1-3].(1)如图1,AB=AD,AE^AC,NBAD=NEAC,求证：BE=CD.

(2)如图2,ZkACE是等边三角形，尸为三角形外一点，ZAPC=120°,求证：PA+PC

=PE.

(3)如图3,若/ACE=NAEC=/AZ)C=45°,ZACD-ZAED=60°,OC=3,求

长.

图1图3

o

疆实战演练

1.如图，分别以△ABC的边AB,AC向外作两个等边三角形△A2£),AACE.连接BE、

CD交点F,连接AP.

(1)求证：AACZJ^AAEB；

(2)求证：AF+BF+CF=CD.

2.如图，ZsABC与△8DE均为等腰直角三角形，BALAC,Z)E_LBr>,点。在边上，连

接EC,取EC中点F求证：

(1)AF=DF；(2)AF±DF.

3.己知：如图，AB^AC,DC=DE,且NBAC=NCZ）E=90°,连接BE,尸为BE的中点.

求证：（1）/ACD=NABE+/BED；

（2）FA=FD,FALFD.

4.已知正方形ABC。与正方形CEFG,M是AF的中点，连接。W,EM.

(1)如图1,点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断。M,EM的数量关系与位

置关系，并直接写出结论；

(2)如图2,点E在。C的延长线上，点G在8C上，(1)中结论是否仍然成立？请证

明你的结论.

（图1）（图2）

5.如图，等边△ABC外有一点。，连接DA,DB,DC.

A

(1)如图1,若NQA8+/Z)CB=180°,求证：8。平分/AOC；

(2)如图2,若N8£)C=60°,求证：BD-CD=AD；

(3)如图3,延长4。交2C的延长线于点尸，以为边向下作等边若点D,

C,E在同一直线上，且NA8Z)=a,直接写出NCE尸的度数为(结果用含a的式子

表示).

6.在△ABC中，AB=AC,。是边8C上一动点，连接AD,将绕点A逆时针旋转至AE

的位置，使得/ZME+NR4C=180°.

(1)如图1当/BAC=90°时，连接8E,交AC于点?若BE平分/ABC,BD=2,

求AF的长；

(2)如图2,连接8E,取BE的中点G,连接AG.猜想AG与C。存在的数量关系，并

证明你的猜想.

7.如图1,点A在x轴上，点。在y轴上，以。4、4。为边分别作等边△OAC和等边△AOE,

若D(0,4),A(2,0).

(1)若/ZMC=10°,求CE的长和/AEC的度数.

(2)如图2,若点P为无轴正半轴上一动点，点P在点4的右边，连尸C,以PC为边

在第一象限作等边△PCM,延长M4交y轴于N,当点P运动时，

①/AN。的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由.

②AM-AP的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由.

8.已知点A在无轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB,4(x,0),其中x是方程

S一的解.

23x-l6x-2

(1)点A的坐标为;

(2)如图1,点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边△ACZ),连DB并

延长交y轴于点E,求NBEO的度数；

(3)如图2,点P为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连接EB,以尸8为边在

第一象限内作等边△■FBG,连GA并延长交y轴于点当点P运动时，G8-AF的值是

否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围.

9.在平面直角坐标系中，B点在x轴上，且B4_LP8,点A(0,a)、P(m,m),若a、m

满足a2+m2-4a-8/77+20=0

(1)如图1,求a、m的值;

(2)如图2,若A点运动到y轴的负半轴上，求。8-。4的值；

(3)如图3,若。是线段A8上一动点，C为4。中点，PR,尸。且PR=尸。，连BR,

请同学们判断线段8R与PC之间的关系，并加以证明.

10.如图1,在平面直角坐标系中，A(0,4),C(-2,-2),且/ACB=90°,AC=BC.

(1)求点B的坐标；

(2)如图2,若8c交y轴于点M,A8交无轴与点N,过点B作轴于点E,作

BFLx轴于点R请探究线段MN,ME,NF的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,若在点8处有一个等腰Rtz^BDG,MBD=DG,ZBDG=90°,连接AG,

点”为AG的中点，试猜想线段。H与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结

论.

图1图2图3

11.已知正方形4BCD与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.

(1)如图①，连接8G、CF,求空的值；

BG

(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CP、BE,分别取CA8E的中点M、N,

连接MN、试探究：与BE的关系，并说明理由;

(3)连接BE、BF,分别取BE、8尸的中点N、Q,连接。N,AE=6,请直接写出线段

QV扫过的面积.

12.已知：在平面直角坐标系中，点A(-3,0),点B(-2,3).

(1)在图①中的y轴上求作点P,使得R1+P8的值最小；

(2)若△ABC是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点C的坐标；

(3)如图②，在△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,点。(不与点A重合)是x轴上

一个动点，点E是中点，连接BE,把BE绕着点E顺时针旋转90°得到FE(即/

BEF=90°,BE=FE),连接8足CF、CD,试猜想/尸CO的度数，并给出证明.

13.如图，平面直角坐标系中.A点在y轴上，B(b,0),C(c,0)在x轴上，NBAC=

60°,且6、c满足等式d+2儿+°2=0.

(1)判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如图1,尸为A8延长线上一点，连尸C,G为y轴上一点，若/GFC+/ACG=60°.求

证：FG平分NAFC；

(3)如图2,ABDE中,DB=DE,ZBDE=nO°,M为AE中点，试确定DM■与CM

的位置关系，并说明理由.

图1图2

14.如图所示，AABC,ZVIDE为等腰三角形，ZACB^ZAED^90°.

(1)如图1,点E在AB上，点D与C重合，尸为线段2。的中点，则线段E尸与FC的

数量关系是—;/E阳的度数为二.

(2)如图2,在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中。、

A、C在一条直线上，E为线段8。的中点，则线段跖与FC是否存在某种确定的数量关

系和位置关系？证明你的结论.

（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图3的位置，F为线段3。的中点，连接

EF、FC,请你完成图3,请猜想线段所与尸C的关系，并验证你的猜想.

图2

15.已知等边△ABC和等腰△（7£）£,CD=DE,ZCDE=120°.

（1）如图1,点。在BC上，点E在AB上，尸是BE的中点，连接A。，PD,则线段

AD与PD之间的数量关系为—；

（2）如图2,点。在△A8C内部，点E在AABC外部，P是BE的中点，连接A。，PD,

则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3,若点。在△ABC内部，点£和点B重合，点尸在BC下方，且P2+PC为

定值，当尸。最大时，N8PC的度数为.

16.CD是△ABC的高

(1)如图1,若NACB=90°,ABAC的平分线AE交CD于点F,交BC于点E,求证:

CE=CF；

(2)如图2,若的平分线CG交42于点G,求里出的值；

DG

(3)如图3,若△ABC是以为斜边的等腰直角三角形，再以4。为斜边作等腰RtA

AMD,。是的中点，连接C0、MQ,试判断线段C0与M0的关系，并给出证明.

17.(1)探究：如图1,在△ABC和△AOE都是等边三角形，点。在边BCJ5.

①求/OCE的度数;

②直接写出线段CD,CE,AC之间的数量关系；

(2)应用：如图2,在四边形中，AB=BC,ZABC=60°,尸是四边形ABC。内

一点，且NAPC=120°,求证：PA+PC+PD^BD-,

(3)拓展；如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-4,0),点8是y轴上一

个动点，以为边在AB的下方作等边△ABC,求OC的最小值.

18.如图，AABC是等边三角形，ABDE是顶角为120°的等腰三角形，BD=DE,连接

CD,AE.

(1)如图1,连接A。，若NABE=60°,AB=BE=如,求CD的长；

(2)如图2,若点尸是AE的中点，连接CRDF.求证：CD=2DF；

(3)如图3,在(2)的条件下，若AB=2如,BD=2,将△BOE绕点8旋转，点H是

△ABC内部的一点，当。尸最大时，请直接写出2/M+班'+、西8C的最小值的平方.

大招脚拉脚模型

模型介绍

成立条件：等腰三角形顶角互补

模块一：认识“脚拉脚”模型

1、等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图

已知：AABC、△ADE为等腰直角三角形,ZB=ZD=90°,AB=CB,AD=ED,点F为

CE的中点。

结论：BF=DF,BF±DF.

法1：倍长中线+手拉手

延长DF至点G,使得FG=FD,易证△DEF0AGCF(SAS)；

所以CG=ED=AD,Z2=Z7；

XZ1+Z2+Z3=36O°,

Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=540°(五边形内角和),

Z4=Z6=90°；

所以N3+/5+N7=/]+N2+/3,

所以Nl=/5；

则ABCGgABAD(SAS),

所以NDBG=90°,BG=BD；

所以BF」DG=DF,BFXDFO

2

G

由△BCF四△GEF(SAS),得BC〃GH,由ADEFgAGCF(SAS),得GH

〃DE,

所以N2=N6=90°,则N2=/l,所以NH+NADE=180°,即/H=

ZADE=90°,

在四边形ADEH中，Zl+Z2=180°,所以/H=NABC=90°,

贝!JN3+N4=18O°,又N4+N5=180°,所以N1=N2（8型转角）,

所以N3=/5所以N3=N4

注意：选择“四边形对角互补”还是“8型转角”证明角相等取决原有等腰直角三角形底边

与公共顶点的夹角（夹角小于45°：选择“四边形对角互补”；夹角大于45°：选择“8型

转角”）

法2：斜边中线+中位线

取AC中点G,AE中点H,连接BG,FG,FH,DH。

由中位线定理可知：FG=-AE=DH,FH=-AC=BG,

22

/1=N3=N2,

所以/1+/5=/2+/4,所以/BGF=NFHD；

则ABGF丝AFHD(SAS),

所以BF=DF,ZFBG=ZDFH,ZBFG=ZFDH；

所以ZBFG+ZGFH+ZDFH=ZBFG+Z3+ZFBG

=ZBFG+Z1+ZFBG,

XZBFG+Z1+ZFBG+Z5=18O°（三角形内角和）,

所以NBFG+N1+NFBG=9O°,所以BF_LDF。

2、等腰三角形的顺序脚拉脚模型

已知：AABC、△ADE为等腰直角三角形，ZB=ZD=90°,AB=CB,AD=ED,

结论：CE=V2BD,ZBFC=45°.

法一：相似

△ABD-AACE(SAS)i------->—=—=—=72

BDABAD

V

N4=N1,>Z2=Z3=45°(8字型转角)

法二：手拉手+平行四边形

将线段BD逆时针旋转90°得到线段BG,连接DG、CG。

易证：ABADgABCG(SAS),Z1=Z4+Z5,

又N3+N5+N6=/7=90°,

所以N1+N2+N3+N6

=Z2+Z4+Z3+Z5+Z6

=90°+90°=180°

所以CG平行且等于DE,所以四边形DECG为平行四边形,

所以CE=DG=V2BD,ZBFC=ZBDG=45°

3、顶角互补型脚拉脚

已知：AABC、ADCE为等腰三角形，1+夕=180°,AB=AC,DC=DE,点F为BE

的

中点.结论：①AF_LDF；②里=tan".

AF2

法1：倍长中线+手拉手法2：中位线+相似

BC

BMC

延长DF至点G,使得FG=FD,连接AD,取BC中点M,EC中点N,连

接AM,FM,

AG,BG,延长BG与CD相交于点H。DN,FNo

易证：△BFG^AEFD(SAS)由中位线定理得:FN=MC,MF=CN,

Z4=Z5；

力DNDNJ3„

得：BG〃DE,BG=DE=DC,所以---=----=tan-,同理Tm

ZEDH=ZGHD=a,所以/CHB=/?又ZAMF+ZCMF=ZFND+Z

CNF；

所以NABG=NACD(8字型转角)所以/AMF=ZFND,得Z

AMFsZFND；

所以AABG乌AACD(SAS),得证。所以N3=N7,=tan—；

AF2

Z1+Z2+Z3+Z4+Z6=Z5+Z

6+Z7+ZAFD；

所以N1+/2=ZAFD=90°

例题精讲

【例1].如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,点。是线段AC上一点，连接

BD.以8。直角边作等腰直角△BDE,ZDB£=90°,连接AE,点尸为AE中点，若AB

=4,BF=1,则AD的长为—4\历-2_.

解：连接CE,延长A3、CE交于T,

A

T

•I/ABC=/DBE,

：.NABD=NCBE,

'：AB=BC,DB=EB,

:AABD咨ACBE(SAS),

ZBCE=ZBAD=45°,NADB=NBEC,

：.BC=BT=ABf

•・,点尸是AE的中点，

・・・BT是△AET的中位线，

・•・TE=2BF=2,

•・・/ADB=/BEC,

：.ZBDC=ZBETf

'：ZT=ZBCD,BT=BC,

:•△BDC/4BET(A4S),

:.CD=ET=2,

：.AD=AC-CD=4近-2,

故答案为：472-2.

A变式训练

【变式17].如图，△ABC中，ZABC=90°,BA=BC,ZkBE尸为等腰直角三角形，ZBEF

=90°,M为Ab的中点，求证：ME=^CF.

2

C

M

A

E

证明：如图，延长歹E到。，使DE=EF,连接A。、BD,

：△BEP为等腰直角三角形，ZBEF=90°,

：.ZBFE=45°,BE±DF,

...BE垂直平分DF,

；.NBDE=45°,

ABDF是等腰直角三角形，

：.BD=BF,ZDBF=90°,

VZCBF+ZABF=ZABC=90°,

ZABD+ZABF=ZDBF=9Q°,

：.ZCBF=ZABD,

在△ABO和ACB/中，

fAB=BC

<ZCBF=ZABD,

BD=BF

.♦.△ABD段ACBF(SAS),

C.AD^CF,

为A尸的中点，DE=EF,

：.ME是AADF的中位线，

：.ME=—AD,

2

：.ME^—CF.

2

【变式1-2].已知正方形ABCZ),将线段BA绕点8顺时针旋转a(0°<a<90°),得到

线段BE,连接EA,EC.

(1)在图中依题意补全图形，并求NAEC的度数；

(2)作/E8C的平分线Bb交EC于点G,交EA于点E连接CF,用等式表示线段AE,

FB,FC之间的数量关系，并证明.

解：(1)图形如图1中所示:

图1

:将线段绕点2旋转a(0°<a<90°),得到线段BE,

:.AB=BE,

•••四边形ABCD是正方形，

：.BC=AB=BE,

:./BAE=/BEA,ZBEC=ZBCE,

AZA£C=ZAEB+ZCEB=^-(360°-90°)=135°；

2

(2)如图2中，结论：如FB=2FC+AE.

理由：过点2作28〃EC交尸C的延长线于点女，如图3,

\/图2

a

•:BE=BC,BF平分/EBC,

.•.2/垂直平分EC,

：.FE=FC,/FGC=90°,

：.ZFEC=ZFCE=45°,

AZGFC=45°,

'CBH//EC,

■:NFBH=NFGC=90°,NH=NFCG=45°,

FB

：.BF=BH-tan45°=BH,FH=_o=42FB,

sin45°

VZABF=90°-ZFBC,NCBH=90°-ZFBC,

：.ZABF=ZCBH,

,JAB^CB,

:.LABF咨ACBH(SAS),

：.AF^CH,

FH=FC+CH=FC+AF=FC+FE+AE=2CF+AE,

：.y/2FB=2FC+AE.

【变式1-3].(1)如图1,AB=AD,AE=AC,ZBAD=ZEAC,求证：BE=CD.

(2)如图2,是等边三角形，尸为三角形外一点，NAPC=120°,求证：PA+PC

=PE.

(3)如图3,若/ACE=NAEC=NAr>C=45°,ZACD-ZAED=60°,OC=3,求

DE长.

图3

证明：(1)VZBAD=ZEAC,

：.ZBAE=ZDAC,

又；AB=A£),AE=AC,

.♦.△ADC4△ABE(SAS)

:.BE=CD；

(2)如图2,延长CP至G,使尸G=B4,连接AG,

VZAPC=120°,

AZAPG=60°,且AP=GP,

zXAG尸是等边三角形，

；.AP=AG=GP,NB4G=NAGP=60°,

ZXACE是等边三角形，

：.AE=AC=CE,ZCAE=6Q°,

：.ZCAE=ZFAG,

：.ZGAC=ZPAE,S.AG=AP,AC=AE,

...△AGC<ZkAPE(SAS)

：.PE=GC,

：.PE=GC=GP+PC=AP+PC；

(3)VZACE=ZA£C=45°,

J.AC^AE,ZCAE=90°,

如图3,将△4££)绕点A顺时针旋转90°得到△AC",连接力/,CH,

・•・AAED^AACH,

：.AD=AHfZDAH=90°,CH=DE,/AED=/ACH,

：.ZADH=45°,

VZADC=45°,

：.ZHDC=90°,

VZACD-ZAE£）=60°,

・•・ZACD-ZACH=60°=/DCH,

：.ZDHC=30°,且NCDH=90°,

・•・HC=2CD=6,I.DE=CH=6.

o

实战演练

1.如图，分别以△ABC的边43,AC向外作两个等边三角形△AB。，△ACE.连接BE、

CD交点F,连接AH

(1)求证：△AC£)丝△AEB；

(2)求证：AF+BF+CF^CD.

证明：（1）；△A2D和△ACE为等边三角形，

C.AD^AB,AC^AE,ZBAD^ZCAB^60°,

ZDAC=NBA"60°+ZBAC,

'AD=AB

...在△ACO和△AEB中，ZDAC=ZBAE

AC=AB

.♦.△ACD丝AAEB(SAS)；

(2)由(1)知/CD4=/EBA,

如图N1=N2,

.•.180°-ZCDA-Zl=180°-ZEBA-Z2,

：.ZDAB=ZDFB=60°,

如图，延长尸8至K,使FK=DF,连。K,

.•.△。相为等边三角形，

：.DK=DF,

:.4DBK4ADAF(SAS),

：.BK=AF,

：.DF=DK,FK=BK+BF,

：.DF=AF+BF,

又•：CD=DF+CF,

：.CD=AF+BF+CF.

2.如图，△ABC与均为等腰直角三角形，BA±AC,Z)E_LBD,点。在AB边上，连

接EC,取EC中点R求证：

(1)AF^DF-,(2)AF±DF.

证明：(1)连接BE延长。尸交AC于点G,

:NEBD=/ABC=45°,

:.NEBC=90°,

在R77XEBC中,尸为斜边中点，

：.BF=EF,

:・NFBC=NFCB,

：.NDFE=/DFB,

•・•ZEFB=NFBC+NFCB,

：.NDFE+NDFB=NFBC+NFCB,

：・2/DFB=2/FBC,

：.DG//BC,

•••△A4C为等腰直角三角形，且。G〃3C,AB=AC,

：.AD=AGfBD=CG,

■:BD=DE,

:・DE=CG,

'：ZBDE=ZCAB=90°,

:.DE〃AC,

：.ZDEF=/GCF,

在△£>£方和△Gb中，

rEF=CF

<ZDEF=ZGCF

DE=CG

，丛DEFQAGCF(SAS),

:・DF=FG,

・・・△D4G为等腰直角三角形，

：.AF±DG；

(2)・・•方为OG中点，

・••在HMDAG中，AF=DF.

3.已知：如图，AB=AC,DC=DE,且NBAC=NCDE=90°,连接BE,尸为55的中点.

求证：(1)NACD=NABE+/BED；

(2)FA=FD,FALFD.

B

证明：(1)在四边形ABM中，ZABE+ZBED+ZEDA+ZDAB=360°,

:NBAC=NCDE=90°,

ZABE+ZBED+ZCAD+ZCDA=180°,

/ACO+/CAO+/CZM=180°,

ZACD=ZABE+ZBED,

(2)如图，延长AP至点G,使得尸G=4R连接GE、GD,

在AAB尸和△GEF中，

rBF=EF

-NBFA=/EFG，

AF=GF

:.AABF<AGEF(SAS),

：.AC=AB=GE,ZABF=ZGEF,

：.ZACD=ZABE+ZBED=ZGEF+ZBED=ZGED,

在△AC£)和△GED中，

rAC=GE

<NACD=NGED，

CD=DE

AAACD^AGED(SAS),

：.AD^GD,NCDA=/EDG.

：.ZADG=ZCDA+ZCDG=ZEDG+ZCDG=ZCDE=90°,

AADG是等腰直角三角形，

y.'：AF=GF,

：.ZFAD=ZFDA=45

：.FA=FD,FA±FD.

4.已知正方形ABC。与正方形CEFG,M是A尸的中点，连接。M,EM.

(1)如图1,点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断。M,EM的数量关系与位

置关系，并直接写出结论；

(2)如图2,点E在。C的延长线上，点G在BC上，(1)中结论是否仍然成立？请证

解：(1)结论：DMLEM,DM=EM.

理由：如图1中，延长交A。于

(图1)

•..四边形ABC。是正方形，四边形EFGC是正方形,

ZADE=ZDEF=90°,AD=CD,

：.AD//EF,

：.ZMAH=NMFE,

"：AM=MF,ZAMH=ZFME,

:.AAMH%AFME(A4S),

：.MH=ME,AH=EF=EC,

:.DH=DE,

VZEDH=90°,

：.DM±EM,DM=ME；

(2)如图2中，结论不变.DMLEM,DM=EM.

理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H.

・・•四边形A3C。是正方形，四边形跖GC是正方形,

ZADE=ZDEF=90°,AD=CD,

：.AD//EF,

：.ZMAH=Z.MFE,

'：AM=MFfNAMH=NFME,

：.

：.MH=ME,AH=EF=EC,

:・DH=DE,

VZED//=90°,

：.DM±EM,DM=ME.

5.如图，等边△ABC外有一点。，连接D4,DB,DC.

(1)如图1,若ND4B+NOC3=180°,求证：平分NAOC；

(2)如图2,若NBDC=60°,求证：BD-CD=AD；

(3)如图3,延长AO交的延长线于点R以8尸为边向下作等边43跖，若点

C,E在同一直线上，且NABD=a,直接写出NCE厂的度数为60°(结果用含a

的式子表示).

(1)证明：过点3作于点M,BNLAD于点、N,

A

・・・△ABC为等边三角形，

：.AB=BCf

*：ZDAB+ZDCB=1SO°,

Z£>CB+ZBCM=180°,

:・NOAB=NBCM,

:.AABN”ACBM(AAS),

：.BM=BN,

・・・3O平分NADC；

(2)证明：在8。上取点E,使DE=CD,

图2

VZBZ)C=60°

・•・△COE为等边三角形，

：.ZDCE=ZACB=60°,

:./ACD=/BCE,

*：AC=BC,

：.AADC^ABEC(SAS),

：.AD=BE,

：.BD-CD=AD；

(3)解：VAABC,ABEF为等边三角形,：.AB=CB,BF=BE,ZABF=ZCBE

:•△ABF/CBE(SAS),

・•・NDFB=NCEB,

*：ZCEB^ZCEF=60°,NE/8=60°

・•・ZF£>E=180°-/DFB-ZEFB-NCEF=60°

ZADC=120°,

AZADC+ZABC=180°,

由（1）得5。平分NADC

AZBDE=60°,

：.ZFDB=120°,

：.ZFDB+ZFEB=180°,

：.F,E,B,。四点共圆，

:・/CEF=/DBF

VZDBF=60°-a.

：.ZCEF=60°-a.故答案为：60°-a.

6.在△ABC中，AB=AC,。是边8。上一动点，连接AD,将AO绕点A逆时针旋转至AE

的位置，使得ND4E+N3AC=180°.

(1)如图1当NB4C=90°时，连接8E,交AC于点？若8E平分NA8C,BD=2,

求A尸的长；

(2)如图2,连接取BE的中点G,连接AG.猜想AG与存在的数量关系，并

证明你的猜想.

解：(1)连接CE,过点尸作尸5c于。,

,.・3月平分NA5C,ZBAC=90°,

：.FA=FQ,

9：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

CF,

FQ夸

VZBAC+ZDAE=180°,

：.ZDAE=ZBAC=90°,

：.ZBAD=ZCAE,

由旋转知，AD=AE,

AAABD^AACE(SAS),

:.BD=CE=2,ZABD=ZACE=45°,

：.ZBCE=90°,

：.ZCBF+ZBEC=90°,

•二踮平分乙钻。，

JNABF=/CBF,

：.ZABF+ZBEC=90°,

VZBAC=90°,

AZABF+ZAFB=90°,

/.NAFB=NBEC,

NAFB=NCFE,

:・NBEC=NCFE,

：.CF=CE=2f

:.AF=FQ=^~CF=®

(2)AG=^-CD,

2

理由：如图2,延长54至点M,使AM=A8,连接EM,

：G是BE的中点，

：.AG=^ME,

2

VZBAC+ZDAE=ZBAC+ZCAM=180°,

J.ZDAE^ZCAM,

：.ZDAC=ZEAM,

\'AB^AM,AB^AC,

：.AC=AM,

'：AD^AE,

：.AADC^AAEM(SAS),

CD=EM,

：.AG=-^CD.

2

M

图2

7.如图1,点A在x轴上，点。在y轴上，以。4、4。为边分别作等边△OAC和等边△的»£

若。(0,4),A(2,0).

(1)若ND4c=10°,求CE的长和NAEC的度数.

(2)如图2,若点P为x轴正半轴上一动点，点P在点A的右边，连PC,以PC为边

在第一象限作等边延长MA交y轴于N,当点尸运动时，

①NANO的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由.

②AM-AP的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由.

(1)解：•.•△AOC和△D4E是等边三角形,

：.AC^AO,AE=AD,ZOAC=ZEAD=60°,

：.ZCAE=ZDAO^60°+/CW=70°,

在△CAE和△0A£)中

，AC=AO

，ZCAE=ZOAD

AE=AD

：./\CAE^/\OAD(SAS),

：.CE=OD=4,ZACE=ZAOD=90°,

'：ZDAC=10°,ZDAE=6Q°,

VZCAE=70°,

AZAEC=180°-90°-70°=20°.

(2)解：①NANO的值不变化，其度数为30°,

理由是：•.•△AOC和△CPM是等边三角形，

J.OA^AC,CP=CM,ZOCA=ZMCP^6Q°,

：.ZOCP=ZACM,

在△OCP和△ACM中

，OC=AC

，Z0CP=ZACM

CP=CM

.•.△OCP丝△ACM(SAS),

：.ZCOA=ZCAM=6Q°,

：.ZMAP=180°-60°-60°=60°,

：.ZOAN=Z.MAP=60°,

VZAON=90°,

AZANO=90°-60°=30°.

②不变，

理由是：'：/\OCP^/\ACM,

J.AM^OP,

：.AM-OP=OP-AP=OA,

VA(2,0),

；.OA=2,

即AM-AP=2,

：.AM-AP的值不发生变化，永远是2.

8.已知点A在无轴正半轴上，以OA为边作等边△048,A(无，0),其中x是方程

——1=22的解.

23x-l6x-2

(1)点A的坐标为(3,0)；

(2)如图1,点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边△AC。，连DB并

延长交y轴于点E,求N8E。的度数；

(3)如图2,点尸为x轴正半轴上一动点，点尸在点A的右边，连接FB,以加为边在

第一象限内作等边△尸BG,连GA并延长交y轴于点H,当点/运动时，G//-AF的值是

否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围.

用牛：V1J•-----------------------------------，

23x-l6x-2

A3(3x-1)-2=22,

解得：x=3,

经检验，冗=3是原方程的解，

AA(3,0),

故答案为：(3,0)；

(2)如图1,VAACZ),ZXABO是等边三角形，

：.AO=AB,AD=AC,ZBAO=ZCAD=60°,

：.ZCAO=ZBADf

在△CAO和△ZM3中，

'AO二AB

<ZCA0=ZBAD,

AD=AC

•••△CAO之ADAS(SAS),

：.ZCOA=ZDBA=90°,

/.ZABE=90°,

VZAOE+ZABE+ZOAB+ZBEO=360°,

：.ZBEO^120°；

(3)GH-A尸的值是定值，理由如下：

VAABC,ABFG是等边三角形,

：.BO=AB=AO=3,FB=BG,ZBOA=ZABO=ZFBG=60°,

：・NOBF=ZABG,

在AAPG和aOB/中，

'AB=OB

<ZABG=ZOBF,

BG=BF

:.△ABG/AOBF(SAS),

：.AG=OF,ZBAG=ZBOF=60°,

AG=OF=OA+AF=3+AF,

ZOAH=1SO°-ZOAB-ZBAG,

：.ZOAH=6Q°,

VZAOH=90°,OA=3,

：.AH^6,

：.GH-AF^AH+AG-AF^6+3+AF-AF=9,

.••G8-AP的值是定值.

9.在平面直角坐标系中，2点在x轴上，且B4_LPB,点A(0,a)、P(m,m),若。、相

满足cT+m2-4a-8/77+20=0

(1)如图1,求。、机的值;

(2)如图2,若A点运动到了轴的负半轴上，求03-。4的值；

(3)如图3,若。是线段A2上一动点，C为AQ中点，PR1PQS.PR^PQ,连BR,

请同学们判断线段BR与PC之间的关系，并加以证明.

解：(1)4a-8/??+20=0,

(〃-2)2+(m-4)2=0,

•・,(a-2)2三o,(m-4)22o,

(a-2)2=0,(m-4)2=0,

••CL~~2,772^4;

(2)过点P分别作PE±x作于E,PFLy轴于F,

VP(4,4),

：.PE=PF,又NAPB=NEPF=90°,

:.NEPB=NFPA,

在△PEB和中，

,ZPBE=ZAPF

<PE=PF,

ZBEP=ZAFP

：./\PEB^/\PFA(ASA),

：.BE=AF,

：.OB-OA^EB+OE-(AF-OF)=2OE=8；

(3)BR=2PC,BRLPC,

理由如下：过点尸分别作PG_Lx轴于G,PH±y^H,延长PC到S,使CS=PC,连

接AS,

VP(4,4),

；.PG=PH=4,

VZAPB=ZHPG=90a,

:.NHPA=NGPB,

在△PH4和△PGB中，

，ZHPA=ZGPB

>PH=PG,

ZPHA=ZPGB=90°

:.△PHA/APGB