2025高考数学二轮复习：向量、数列-专项训练【含答案】

2025高考数学二轮专题.向量、数列•专项训练

—.选择题（共12小题）

1.已知向量Z，E满足：|aI=1>|-a+2bI=2-且6-27）1E，则市=（）

A.1B.亚C.返D.1

222

2.记S”为等差数列｛斯｝的前"项和.若S5=S10,。5=1,则。1=（）

A.1B.工C.-AD.-J—

23311

3.已知向量2=（x+l，x）,b=（x,2）,则（）

A."a±b"的必要条件是“尸-3”

B.吗〃E”的必要条件是“尸-3”

C.ua±b"的充分条件是。=0"

D.“二〃石”的充分条件是'”=-1+向”

4,已知a,b,c成等差数列，直线ar+by+c=0与圆C：/+（y+2）2=5交于A,8两点，则|A8|的最小值

为（）

A.1B.3C.4D.275

5.设a，b是向量,贝U"（a+b"（a-b）=。"是"a=-b或a—b”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知向量@=（1，1），b=（1，-1）.若（a+入b）-L（a+|ib），贝U（）

A.入+呼1B.入+呼-1C.入呼1D.入四=-1

s

7.记品为数列｛即｝的前几项和，设甲：｛即｝为等差数列；乙：｛上｝为等差数列，贝IJ（

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.记品为等比数列｛珈｝的前〃项和，若84=-5,56=2152,则我=（）

A.120B.85C.-85D.-120

9.数列｛.｝满足劭+1=工（即-6）3+6,下列说法正确的是（）

4

A.若m=3,则｛即｝是递减数列，3MGR,使得斯＞〃

B.若m=5,则｛即｝是递增数列，3M^6,使得即

C.若ai=7,则｛〃“｝是递减数列，3M＞6,使得肉＞加

D.若m=9,则｛砺｝是递增数列，3MGR,使得胡

__

io.向量I；I=EI=L1d=V2>且a+b+c=0，则cos〈ac»bc)=()

A.」B.C.2D.A

5555

11.已知正项等比数列｛斯｝中,ai=l,S,为｛劭｝前〃项和，SS=5S3-4,则S4=（）

A.7B.9C.15D.30

12.已知。。的半径为1,直线用与。。相切于点A,直线与。。交于8,C两点，。为的中点,

若|P0|=J5，则笆•西的最大值为（）

B.喑C.]+-./2D.2+我

二.填空题（共6小题）

13.记品为等差数列｛劭｝的前〃项和，若43+44=7,3〃2+。5=5,则S10=

14.在正方形ABCD中，边长为1.E为线段CD的三等分点，EC=—DE-BE=ABA+nBC，则人+U

2

=;若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则屈•前的最小值

为.

15.设｛斯｝与｛阮｝是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合M=｛川以=从，4CN*｝,给出下列四个

结论：

①若｛久｝与｛为｝均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若｛珈｝与｛加｝均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若｛加｝为等差数列，｛加｝为等比数列，则加中最多有3个元素；

④若｛加｝为递增数列，｛为｝为递减数列，则M中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

16.已知向量Z，E满足N-El=F，la+bl=|2a-bb则后尸.

17.在△ABC中，BC=1,ZA=60°,标得冠，不】而,记AB=a，AC=b，用a和b表示AE

=；若BF=』•丽，则AE・AF的最大值为・

3

18.已知｛〃〃｝为等比数列，。2〃4〃5=。3。6,〃9。10=-8,则。7=

三.解答题(共5小题)

19.已知数列｛斯｝的前〃项和为曲，且4S〃=3a〃+4.

(1)求｛所｝的通项公式;

(2)设bn=(-1)kina/求数列｛阮｝的前"项和为八•

20.已知数列｛板｝是公比大于0的等比数列，其前“项和为S"，若m=l,Si=a3-1.

(1)求数列｛的｝前〃项和曲；

k，n—

(2)设氏=<11,4=1,其中人是大于1的正整数.

*+2k,aQnVa肝［

(Z)当〃=ot+l时，求证：bn-l^ak,bn;

Sn

5)求£br

i=l

21.设等差数列｛所｝的公差为差且41.令加=二_±1,记％,2分别为数列｛劭｝，｛阮｝的前〃项和.

an

(1)若3。2=3〃1+。3,53+73=21,求｛劭｝的通项公式;

(2)若｛加｝为等差数列,且的9-乃9=99,求d.

'a-6,n为奇数

22.已知｛斯｝为等差数列，bn=\、­皿，，记曲，心为｛斯｝，｛晟｝的前w项和，54=32,73=16.

2an，n为偶数

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)证明：当〃>5时，Tn>Sn.

23.已知数列｛〃〃｝中，〃2=1,设S八为｛〃〃｝刖〃项和，2Sn=nan.

(1)求｛斯｝的通项公式；

a+1

n

(2)求数列｛—)的前n项和Tn.

参考答案与试题解析

选择题（共12小题）

1•【解答】解：向量a，b满足IaI=1,Ia+2bl=2,且（b-2a）J_b，

石"曰"*2—―-*2—2-*—*

"寸a+4a*b+4b=4,b-2awb=0,

可得6/=3,

所以后尸叵.

2

故选：B.

2.【解答】解:S5=Sio,

贝|JSio-S5=a6+ai+as+a9+aio=5«8=0,解得“8=0,

又因为。5=1,所以公差d=」，

3

故«l=6!8-7d=—■

3

故选：B.

3.【解答】解：软=（x+1,x）,b=（%，2）,

若aJ_b，

贝！Jx（x+1）+2%=0,解得x=0或-3,

故的充分条件是“x=0"，故A错误，C正确；

若aIIb>

则2（x+1）=?,解得尤=1±通，故80错误.

故选：C.

4.【解答】解:因为a,b,c成等差数列，所以a-26+c=0,

所以直线ax+by+c=O恒过P（1,-2）,

因为尸（1,-2）在圆C：/+（>+2）2=5内，

当PCLA8时，|AB|取得最小值，此时|PC|=L||=275-|PC|2=4-

故选：C.

5.【解答】解：（W+E）・（Z-E）=0,

则加工2=0,即|a|=|bb

la1=lb|不能推出彳=与或7=-%,充分性不成立，

a=b或a--b能推出IaI=Ibb必要性成立,

故a+b）<a-b）=0”是“7=芯或==-b"的必要不充分条件.

故选：B.

6.【解答】解：・.・之=（1,1）,b=（1，-1），

a+）b=（入+1,1-入），a+Nb=（u+1,1-（i）,

由（a+入b）-L（a+ub），得（入+1）（u+1）+（1-入）（1-）i）=0,

整理得：2入（1+2=0,即入（1=-1.

故选：D.

7•【解答】解：若｛板｝是等差数列，设数列｛斯｝的首项为幻，公差为d,

则S?=M+n（n-1）d,

2

BP=ai+n-d=—n+ai--）

n222

S

故｛上｝为等差数列，

n

即甲是乙的充分条件.

cc<?

反之，若｛为｝为等差数列，则可设沱_

nn+1n

S

则上=Si+（n-1）D,即Sn^nSi+n（〃-1）D,

n

当时，有（H-1）Si+（7?-1）（n-2）D,

上两式相减得：an=Sn-Sn-l=Sl+2（R-1）D,

当”=1时，上式成立，所以即=ai+2（77-1）D,

贝Ua„+l-an^ai+2nD-[oi+2（n-1）D]=2D（常数），

所以数列｛斯｝为等差数列.

即甲是乙的必要条件.

综上所述，甲是乙的充要条件.

故本题选：C.

8.【解答]解：等比数列｛。,?｝中，S4=-5,S6=21S2,显然公比qWl,

设首项为川则ai（Lq4）=-5①,ai（l-q6）=21a］（l-q2）

1-q1-q1-q

化简②得-20=0,解得/=4或/=-5（不合题意，舍去）,

代入①得，J_=2,

1-q3

所以S8=a/Lq8）=旦

(1-/)(1+/)(-15)X(1+16)=-85.

1-q1-q3

故选：C.

9.【解答］解：法（i）对原式进行变形，得-劭=［』-6）2~1］（〃〃-6）,

4

当m=3,则a2<3,

设以<3（左CZ,k»,则ot+i-ai<-3,所以｛即｝是递减数列,

当"f+8,即―-8,A错误，同理可证明。错误,

当。1=5,则。2-。1>0,即。2>5,又因为工（ai-6）3<0,所以5<及<6,

4

假设5<或〈6（左6Z,k»,则以+1-公>0,即以+1>5,又因为工（以-6）3<0,所以5V延+1<6,

4

所以当〃f+8,劭f6,B正确,

对于C,当〃1=7,可得。2=工+6,〃3=」~+6,可得｛即｝是递减数列，

4n—8

故不存在M>6,即〉M恒成立，。错误.

1(an-6)3+6,可得1a

法（法）an+1an+i-6=—(an-6),”eN+,

44

所以a2-6=」(ai-6)3,。3-6=-1(42-6)3=(41-6)3]3=-X-J^X(dll-6)32

4444443

“4-6=Ax-l-X(m-6)33

44349

1z/QD-I29

归纳猜想：an-6=-X(i21-6V------Cai-6)3匚.

-2)n-1

^1+3+^-...3n,2Q3

n-1

当m=3时,即-6=―-—4-3)3=、-2X(2\3n-1,即所工一4-3产]=-2X(2x3+6,

2)3n-1)2)

232

所以｛z｝是递减数列，无边界;

“1=5时，an-6=―-—•(-1)3二*=-2X(Ax3E\即即=-2X(A\3E*+6=2[3-(A\3r**],

n-1)

23)22J2)

由复合函数的单调性，可得｛•｝是递增，有边界，所以2正确；

。1=7时，a-6=--—,I3n-1=2X所以｛丽｝是递减数列，有边界；所以C不正确；

nn-11

232,

m=9时，斯-6=—^F3E=2X（3）3^,所｛以.｝是递增数列，无边界；所以。不正确;

n-115）

232

故选：B.

10.【解答】解：因为向量Ial=lbl=l，Icl=V2>且a+b+c=0，所以-c=a+b，

所以；2=,+12+2；4,

即2=1+1+2X1X1XCOS<W，b>>

解得cosVa，b>=0，

所以a-Lb，

又a-c=2a+b，b-c=a+2b，

所以（a-c）«b-C）=（2a+b）・（a+2b）=2；乙+2］乙+5b=2+2+0=4，

Ia-cl=lb-。尸,石之+石4+^2=。4+0+1

所以cos〈a-C.b-c）4^=4.

Ia-cIIb-cIV5XA/55

故选：D.

11.【解答］解：等比数列｛坳｝中,设公比为q,

m=l,品为｛即｝前〃项和,S5=5S3-4,显然qWl,

（如果q=L可得5=15-4矛盾），

1513

可得」丑_=5・1-&-4,

1-ql-q

解得丁=4,即4=2,

4

s4=】-q..=-1-2=15.

l-q1-2

故选：C.

12•【解答】解：如图，设/opc=a,则一2L<a<三，

4%飞4

根据题意可得：ZAPO=45°,

PA•PD=|PA|•|PD|*cos(■

=1XV2COSC1cos(a

=cos2a-sinacosa

=l+cos2a-sin2a

2-

_1V2/兀、▽兀//兀

-qL^-cos(2ay-)，又w(a(N，

・••当2a二S。=^cos(2a=1时,

PA•而取得最大值/，身.

二.填空题（共6小题）

13.【解答］解：等差数列｛斯｝中，〃3+〃4=2〃i+5d=7,3〃2+45=4m+7d=5,

解得，d=3,ai=-4,

则Sio=lO义(-4)+10：9X3=95.

故答案为：95.

14.【解答】解：由题意可知，BE=BA+AD+DE=BA+BC4^DC=BA+BC-^CD=BA+BC-|"BA=

1—•—*

-BA+BC

O

・••入+|1=生

3

如图:

设而=切筋（OWmWl）,

则AF=AB+BF=-BA+mBE=-BA+m（-BA+BC）=（0厂1）BA+mBC）

33

・・・G为A尸中点，

11

•••DG=DA+AG=-BC-BC(in-1)BA+mBC]=(7-m-）BA+（5in-l）BC，

62

,/正方形ABCD的边长为1,

•,•就2=i,BA-BC=O,

•••AF-DG=［（-K-1）BA-4nBC］-［（-m-）BA+（—m-1）BC］=（工%-1）（工加-工）+m（lm_p

362、23622

=5241

万1nm

对于函数y=am2-^md，对称轴为机=2，

9325

函数y=2m2_Amd在1°，1］上单调递减，

932

当优=1时，函数y=S1n2秘md取得最小值一区，

93218

即而•花的最小为-§.

18

故答案为：1；-A.

318

15•【解答】解:对于①，｛,｝,｛加｝均为等差数列,"=｛用踩=瓦｝,｛如｝,｛加｝不为常数列且各项均不相

同，

故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，

所以〃中至多一个元素，故①正确；

对于②，令a=2n-1>b=-（-2严I满足｛劭｝，｛加｝均为等比数列,

n_1n-1）

但当“为偶数时，an=2=bn=-（-2）此时加中有无穷多个元素，故②错误；

对于③,设bnUAqRAq#。，q#±1>an=kn+b（20）,

若"中至少四个元素，则关于〃的方程A/=bi+A至少有4个不同的正数解，

若qVO,qW±l,考虑关于〃的方程A^=切奇数解的个数和偶数解的个数,

当Aq"=kn+b有偶数解，此方程即为用切"=桁+6,

方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln\q\>0,

否则47川切<0,因为y=A@r，y=B?+b单调性相反，

方程A\q^=kn+b至多一^H禺数解，

当Aqn=kn+b有奇数解，此方程即为-A|*=h?+b,

方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-A〃川切>0,即川q|<0,

否则Akln\q\>0,

因为y=-A\q\n,y—kn+b单调性相反，

方程A|q|"=如+b至多一个奇数解，

因为A人历|q|>0,Akln\q\<0不可能同时成立，

若q>0,k1,

贝|］由y=Aq"和y=h?+b的散点图可得关于n的方程至多有两个不同的解，矛盾；

故Aq"=h?+b不可能有4个不同的正数解，故③正确.

对于④，因为｛珈｝为单调递增，｛为｝为递减数列，/=｛可或=4｝,｛班｝,｛为｝不为常数列且各项均不相

同，

前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，

两者至多一个交点，故④正确.

故答案为：①③④.

16.【解答】解：；la-bl=V3>Ia+bl=|2a-bl>

•—2-*2———2—♦2———2—♦2—♦—♦

,•a+b-2a•b=3,a+b+2a*b=4a+b-4a•b,

•—2―♦—•—♦2&

•,a=2ab・热

•1.lbI=V3.

故答案为：V3.

17.【解答］解：在△ABC中，NA=60°,|前|=1,点。为AB的中点，点£为C。的中点，AB=a-AC

=b­

则立-1（AD+AC）=评卷正=/；V*

设IABI=X，|菽|=y，

由余弦定理可得：1=/+/-孙，

又孙，

即孙W1,当且仅当x=y时取等号，

又BF='BC，

O

则而=AB4yBC=AB(AC-AB)=>yAB-^AC=|a率，

则标"AF=(苦蒋1)"(-j-a-»yb)

—1—2———2

(z2a+5a・b+2b)

=^-(2x2+2y2+yxy)

=^-(fxy+2)

<今/+2)

_13

------------f

24

即标•厢的最大值为卫.

24

故答案为：—a

4224

・・〃244〃5=。2〃3〃6=43〃6，角军〃2=1,

而49〃10=42/4248=(〃2)2夕”=_8,可得，5=(45)3—_

即q5=-2,

〃7=〃20=1义(-2)=-2.

故答案为：-2.

三.解答题(共5小题)

19•【解答】解：(1)因为4s〃=3劭+4,

所以4S〃+i=3©?+i+4,

两式相减可得4劭+1=3〃八+1-3。”，

即an+l=-3Gi,又因为4si=3m+4,

所以m=4,故数列｛劭｝是首项为4,公比为-3的等比数列，

所以an=4・(-3)kl；

所以Tn=4(l・3°+2・31+3・32+-w・3n_l>

123n

3Tn=4(1-3+2-3+3*3+--+n»3),

12n-1nnn-4zl)

两式相减可得：-2Tn=4(l+3+3+---+3-n-3)=4(l-3-n-3)=(23"-2,

所以Tn=(2n-l)3n+l-

20.【解答】解：(1)<71=1,$2=。3-1=。1+。2,

可得1+4=/-1，整理得/-q-2=0,

解得0=2或《=-1,

因为数列｛久｝的公比大于0,所以g=2,

l-2n

所以Sn==2"-1；

1-2

(2)(z)证明：由(1)可知Qn-l,且依N*,左N2,

4n=乙9

k-1k

ak=2<2-l=n-l

当门=@1：+1=2卜》4时，贝.，BPak<n-l<ak+if

n-l=ak+1-l<ak+1

可知@卜=2卜1，bn^k+1,

bn-i=b+(或+1-以一1)・2Z=Z+2Z(2-1-1)=k(2〃-1),

ak

^^bn-1-akbn=k(2^-1)-(Z+l)2K1=(攵-1)2公1-%三2(%-1)-左=%-220,

当且仅当％=2时，等号成立，

所以加-12以•加;

n

㈤Sn=2-l=an+1-l>

若〃=1,则Si=l,bi=l,

若几，则k-1,

2,ak+l-ak=2

当2-1<»忘24-1时，bi-bi.i=2k,可知｛历｝为等差数列,

可得工6f2*1+2四一/_也=左W1=J[(3k-i)4L(3k-4)4卜1]，

i=2—29

s

y"b.=1+A[5X42-2X4+8X43-5X42+...+(3/i-1)4"-(3〃-4)4"」]=)4n+l,

士工99

s

且〃=1,符合上式，综上所述：Lb=(2)/+1.

i=l”

21.【解答】解：(1)・・・3。2=3。1+。3,53+73=21,

3(a1+d)=3aj+aJ+2d

・・・根据题意可得《26+12

3al+3d+)=21’

ai+2d

=d

6cH4=21'

・・・2屋-71+3=0,又d>l,

:•解得d=3,.•.〃i=d=3,

an—a\+(n-1)d=3n,nGN*；

(2)•••｛所｝为等差数列，｛加｝为等差数列,且尻=正上

根据等差数列的通项公式的特点，可设即=打，则b，迎，且d=r>l；

nt

或设斯=%（九+1）,则b且"=%>1,

nk

①当即=m，='+1,d=/>l时，

nt

则S99-T99=（t+99t）X99一心3）X理=99,

2t'2

C;Q^._AL=|,.*.50?-t-51=0,又d=f>l,

解得d=t=^-^-；

50

②当即=左（九+1）,卜4=左>1时，

nk

则599-799=（2卜+1004乂99_（1反/号=99,

**,51k--^_=l,，51芥-女-50=0,又d=k>l,

k

・•・此时左无解，

.•.综合可得4=旦.

50

22•【解答】解：（1）设等差数列｛%