2025高考数学复习必刷题：概率与统计的综合应用（学生版）

第93讲概率与统计的综合应用

必考题型全归纳

题型一：决策问题

例L(2024•甘肃兰州・高三兰化一中校考期中)据悉强基计划的校考由试点高校自主命

题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有

三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目达到优

秀的概率均为：，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为"，其

365

中0<〃<1.

⑴若W=g,分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的

概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期

望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求〃的范围.

例2.(2024•全国•高三专题练习)2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的

专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余

队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业

余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束.已知各场比赛相互独

立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为。，甲与丙比赛，甲赢的概率为

P,其中!<p<~■

23

(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛.请分别

计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该

安排乙还是丙与甲进行比赛？

(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金6万元，负队获奖

金3万元；若平局，两队各获奖金3.6万元.在比赛前，己知业余队采用了(1)中的最优

决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望“（X）

的取值范围.

例3.（2024•江西吉安・高三吉安三中校考阶段练习）2020年以来，新冠疫情对商品线下零

售影响很大.某商家决定借助线上平台开展销售活动.现有甲、乙两个平台供选择，且当

每件商品的售价为。（3004。4500）元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取

100天的日销售量统计如下，

商品日销售量（单位：件）678910

甲平台的天数1426262410

乙平台的天数1025352010

假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售

量互不影响，

⑴求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天

的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；

（2）已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平

台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部

分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元.某商家决定在两个平台中选择一

个长期合作，从日销售收入（单价x日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该

商家应如何决策？说明理由.

变式1.（2024.江西•校联考模拟预测）某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生

代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定4个问题，

假设李明能且只能对其中3个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均

3

为;.由李明和王华各自从中随机抽取2个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均

相互独立.

（1）求李明和王华回答问题正确的个数均为2的概率；

⑵设李明和王华回答问题正确的个数分别为X和y,求X,y的期望E（X）、E（y）和方差

o（x）、。（丫），并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好.

变式2.（2024.全国•高三专题练习）根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年

夏季有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.05.今年夏季该地区某工地有许多大型

设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失20000元，为保护设备，有以

下3种方案：

方案1：修建保护围墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水；

方案2：修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水；

方案3：不采取措施

工地的领导该如何决策呢？

题型二：道路通行问题

例4.（2024・重庆•高三重庆市育才中学校考阶段练习）9月6日位于重庆朝天门的来福士广

场开业，成了网红城市的又一打卡胜地重庆育才谢家湾校区与来福士之间的驾车往返所需

时间为T,T只与道路畅通状况有关，对其容量为500的样本进行统计，结果如下：

T（小时）0.80.911.1

频数（次）10015020050

以这500次驾车往返所需时间的频率代替某人1次驾车往返所需时间的概率.

(1)记T的期望为E(T),求尸(T<E(T))；

(2)某天有3位教师独自驾车从谢家校区返于来福士，记X表示这3位教师中驾车所用时

间少于E(T)的人数，求X的分布列与E(X).

例5.(2024.湖北.统考•模)交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通

或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T,其范围为分别有五个级别：

re[0,2),畅通；Te[2,4),基本畅通；Te[4,6),轻度拥堵；Te[6,8),中度拥堵；

TG[8,10],严重拥堵.在晚高峰时段(TA2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通

路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.

(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；

(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次

抽取的三个级别路段的个数；

(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.

例6.(2024・四川眉山・高三四川省眉山第一中学阶段练习)随着我国经济的不断深入发

展，百姓的生活也不断的改善，尤其是近几年汽车进入了千家万户，这也给城市交通造成

了很大的压力，为此交警部门通过对交通拥堵的研究提出了交通拥堵指数这一全新概念，

交通拥堵指数简称交通指数，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T,其

范围为[0,9],分别有5个级别：Te[0,2）畅通；Te[2,4）基本畅通；7«4,6）轻度拥堵；

Te[6,8）中度拥堵；Te[8,9]严重拥堵.早高峰时段（T>3）,从北京市交通指挥中心随机

选取了五环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的部分频率分布直方图如图所示:

（1）据此直方图估算交通指数TG[4,8）时的中位数和平均数；

（2）据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？

（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分

钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望.

变式3.（2024•江西•校联考模拟预测）“低碳出行”，一种降低“碳”的出行，以低能耗、低污

染为基础，是环保的深层次体现，在众多发达国家被广大民众接受并执行，S市即将投放

一批公共自行车以方便市民出行，减少污染，缓解交通拥堵，现先对100人做了是否会考

虑选择自行车出行的调查，结果如下表.

（1）如果把45周岁以下人群定义为“青年”，完成下列2x2列联表，并问你有多少把握认

为该地区市民是否考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关？

年龄考虑骑车不考虑骑车

15以下63

[15,30)166

P（K2>k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.072.703.845.026.637.8710.82

（2）S市为了鼓励大家骑自行车上班，为此还专门在几条平时比较拥堵的城市主道建有无

障碍自行车道，该市市民小明家离上班地点10km,现有两种.上班方案给他选择；

方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以19km/h的速度直达上班地点.

方案二：开车以30km/h的速度上班，但要经过A、B、C三个易堵路段，三个路段堵车的

概率分别是:，1且是相互独立的，并且每次堵车的时间都是10分钟（假设除了堵

车时间其他时间都是匀速行驶）

若仅从时间的角度考虑，请你给小明作一个选择，并说明理由.

变式4.（2024・全国•高三专题练习）某人某天的工作是驾车从A地出发，到昆C两地办

事，最后返回A地，A8,C,三地之间各路段行驶时间及拥堵概率如下表

路段正常行驶所用时间(小时)上午拥堵概率下午拥堵概率

AB10.30.6

BC20.20.7

CA30.30.9

若在某路段遇到拥堵，则在该路段行驶时间需要延长1小时.

现有如下两个方案：

方案甲：上午从A地出发到3地办事然后到达C地，下午从C地办事后返回A地；

方案乙：上午从A地出发到C地办事，下午从C地出发到达3地，办完事后返回A地.

(1)若此人早上8点从A地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案

甲，求他当日18点或18点之前能返回A地的概率.

(2)甲乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后更早返回A地？请说明理由.

题型三：保险问题

例7.(2024•广东湛江•高三统考阶段练习)某单位有员工50000人，一保险公司针对该单

位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干

赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为A,B,C三类工种，从事三类工种的人数分布

比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示:

工种类别ABc

121

赔付概率

107Io7W

职工类别分布饰图

对于A,B,C三类工种，职工每人每年保费分别为。元、。元、匕元，出险后的赔偿金额

分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20

万元.

（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的15%,证明：153a+17624200.

（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出

意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工

作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，。=35,6=60,单位负责

职工保费的80%,职工个人负责20%,出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开

支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.

例8.（2024•新疆克拉玛依・统考三模）已知某保险公司的某险种的基本保费为•（单位：

元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关

联如下：

上年度出险次数0123>4

保费（元）0.9aa1.5。2.5a4a

随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表:

出险次数0123>4

频数2808024124

该保险公司这种保险的赔付规定如下:

出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上

赔付金额（元）2.5。1.5。a0.5〃0

将所抽样本的频率视为概率.

（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；

（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付（2.5a+1.5a+a）元;

若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付（2.5a+1.5a+a+0.5a）元；依此类推，求本

年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值.

例9.（2024・广东深圳.高三校联考期末）已知某保险公司的某险种的基本保费为。（单

位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数

的关联如下：

上年度出险次数0123>4

保费（元）0.9aa1.5a2.5a4a

随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表:

出险次数0123>4

频数2808024124

该保险公司这种保险的赔付规定如下:

出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上

赔付金额（元）2.5a1.5aa0.5a0

将所抽样本的频率视为概率.

（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值;

（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付（2.5a+1.5a+a）元；

依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；

（3）续保人原定约了保险公司的销售人员在上午10:3。~11:30之间上门签合同，因为续

保人临时有事，外出的时间在上午10:45~11:05之间，请问续保人在离开前见到销售人员

的概率是多少？

变式5.（2024.山东潍坊•校联考一模）某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款

意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险

公司把企业的所有岗位共分为A、5、C三类工种，从事这三类工种的人数分别为

12000、6000、2000,由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概

率）：

工种类别ABC

121

赔付频率

方W7

已知A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金

额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10

万元.

（1）求保险公司在该业务所获利润的期望值；

（2）现有如下两个方案供企业选择：

方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的

等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；

方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%,职工个人负责30%,出险后赔

偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.

根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.

变式6.（2024.全国.高考真题）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费”

元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度

内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内

至少支付赔偿金10000元的概率为1_0.999g.

（I）求一投保人在一年度内出险的概率

（II）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不

小于0,求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）.

变式7.（2024.北京丰台.高三统考期末）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就

医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作

为本人就诊的医疗机构，若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有AB,C三家

社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的

（1）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；

（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；

（3）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为求^的分布列和数学期望.

题型四：概率最值问题

例10.（2024.全国•高三专题练习）某电子工厂生产一种电子元件，产品出厂前要检出所有

次品.已知这种电子元件次品率为0.01,且这种电子元件是否为次品相互独立.现要检测

3000个这种电子元件，检测的流程是：先将这3000个电子元件分成个数相等的若干组，

设每组有七个电子元件，将每组的七个电子元件串联起来，成组进行检测，若检测通过，

则本组全部电子元件为正品，不需要再检测；若检测不通过，则本组至少有一个电子元件

是次品，再对本组个电子元件逐一检测.

(1)当左=5时，估算一组待检测电子元件中有次品的概率；

(2)设一组电子元件的检测次数为X,求X的数学期望；

(3)估算当上为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时检测的总次数(提

示：利用(1-P)晨「利进行估算).

例11.(2024.江西新余.高三新余市第一中学校考开学考试)现如今国家大力提倡养老社会

化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化

生活及疗养需求.某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的

120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示：

双人间三人间

入住房间的类型单人间

人数366024

(1)若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从

这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为九求J的

分布列和数学期望.

(2)记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的

机(a>2且加eN*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房

间类型相同，则该组标为I,否则该组标为H.记询问的某组被标为H的概率为。.

(i)试用含加的代数式表示"；

(ii)若一共询问了5组，用g(p)表示恰有3组被标为的概率，试求g(0的最大值及此时

m的值.

例12.（2024・全国•高三专题练习）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质

教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校

区，三个校区的队员人数分别是3,4,5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队

员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则

如下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3:2取胜

的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取

胜的概率均为p（0<pel）.

（1）比赛结束后冠亚军（没有并歹U）恰好来自不同校区的概率是多少？

⑵第10轮比赛中，记张三3:1取胜的概率为了（必，求出/（P）的最大值点P0.

变式8.（2024.山东潍坊.高三校考阶段练习）今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病

例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多.9月19日，中国疾控中心发布了我国首例“输入

性猴痘病例”的溯源公告.我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控

已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南

（2022年版）》.此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗

者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力.据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家

制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21

天.在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大.对

该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒

情况，得到下面的列联表：

接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接种天花疫苗3060

接种天花疫苗2090

（1）是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；

（2）以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率.现从该国所有结束

医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感

染猴痘病毒的概率：

（3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查.在排查期间，发

现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行

猴痘病毒检测.每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为

“感染高危家庭”.假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为P（O<P<1）且相互独

立.记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为求当。为

n(ad—be)2

何值时，”0）最大？附：z2=

(a+6)(c+d)(o+c)(6+d)

尸（力匕务）0.10.050.010

及02.7063.8416.635

变式9.（2024・上海徐汇・上海市南洋模范中学校考模拟预测）进入冬季，某病毒肆虐，己

知感染此病毒的概率为。（。<。<1）,且每人是否感染这种病毒相互独立.

⑴记100个人中恰有5人感染病毒的概率是/（p）,求“P）的最大值点P。；

（2）为确保校园安全，某校组织该校的6000名师生做病毒检测，如果对每一名师生逐一检

测，就需要检测6000次，但实际上在检测时都是按以1〈女46）人一组分组，然后将各组发

个人的检测样本混合再检测.如果混合样本呈阴性，说明这上个人全部阴性；如果混合样

本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次.当p

取p0时，求左的值，使得总检测次数的期望最少.

题型五：放回与不放回问题

例13.(2024・湖南•高三校联考阶段练习)某中学为了解学生课外玩网络游戏(俗称“网

游”)的情况，使调查结果尽量真实可靠，决定在高一年级采取如下“随机回答问题”的方式

进行问卷调查：一个袋子中装有6个大小相同的小球，其中2个黑球，4个红球，所有学

生从袋子中有放回地随机摸球两次，每次摸出一球，约定“若两次摸到的球的颜色不同，则

按方式①回答问卷，否则按方式②回答问卷”.

方式①：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“Y”，否则画“x”.

方式②:若你课外玩网游，则在问卷中画“小，否则画“x”.

当所有学生完成问卷调查后，统计画“小，画“x”的比例，用频率估计概率.

(1)若高一某班有45名学生，用X表示其中按方式①回答问卷的人数，求X的数学期望.

(2)若所有调查问卷中，画“卡与画“x”的比例为1：2,试用所学概率知识求该中学高一年级

学生课外玩网游的估计值.(估计玩值网=游学的学骷生人制数X］。。％)

例14.(2024•江苏南通•高三统考开学考试)现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球和1

个白球，乙盒中有2个红球和2个白球，所有的球除颜色外都相同.某人随机选择一个盒

子，并从中随机摸出2个球观察颜色后放回，此过程为一次试验.重复以上试验，直到某次

试验中摸出2个红球时，停止试验.

(1)求一次试验中摸出2个红球的概率；

(2)在3次试验后恰好停止试验的条件下，求累计摸到2个红球的概率.

例15.(2024・上海黄浦•高三上海市敬业中学校考开学考试)某公司使用甲、乙两台机器生

产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为94%；乙机器生产的芯片

占产量的四成，且合格率为95%,已知两台机器生产芯片的质量互不影响.现对某天生产

的芯片进行抽样.

(1)从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；

(2)现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为X,求X

的分布列以及数学期望E(X).

变式10.(2024.广东广州.高三执信中学校考开学考试)中国共产党第二十次全国代表大会

于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定

举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和8两类试题，每类试题各10题，其中

每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛

的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题抽后不放回).已知小明同学A类试题中

有7道题会作答，而他答对各道8类试题的概率均为

(1)若小明同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；

(2)若小明只作答A类试题，设X表示小明答这3道试题的总得分，求X的分布列和期望.

变式11.(2024・全国•高三专题练习)某商场在周年庆活动期间为回馈新老顾客，采用抽奖

的形式领取购物卡.该商场在一个纸箱里放15个小球(除颜色外其余均相同)：3个红球、5

个黄球和7个白球，每个顾客不放回地从中拿3次，每次拿1个球，每拿到一个红球获得

一张A类购物卡，每拿到一个黄球获得一张8类购物卡，每拿到一个白球获得一张C类购

物卡.

(1)已知某顾客在3次中只有1次抽到白球的条件下，求至多有1次抽到红球的概率;

(2)设拿到红球的次数为X,求X的分布列和数学期望.

题型六：体育比赛问题

例16.(2024.广东广州.高三华南师大附中校考阶段练习)最是一年春好处，运动健儿满华

附.为吸引同学们积极参与运动，鼓励同学们持之以恒地参与锻炼，养成良好的习惯，弘扬

“无体育，不华附”的精神理念，2024年3月华附举办了春季运动会.春季运动会的集体项目

要求每个学生在足球绕杆、踢健子和跳大绳3个项目中任意选择一个参加.来自高三的某学

生为了在此次春季运动会中取得优秀成绩，决定每天训练一个集体项目.第一天在3个项目

中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一

项训练.

(1)若该学生进行了3天的训练，求第三天训练的是“足球绕杆”的概率.

⑵设该学生在赛前最后6天训练中选择“跳大绳”的天数为X,求X的分布列及数学期望.

例17.(2024・湖南娄底.娄底市第三中学校联考三模)冰壶是2022年2月4日至2月20日

在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端

(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使

冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心。

的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆。中，得3分，

冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环8中，得1分，其余情况均得0

分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为:，甲、乙得

2分的概率分别为刍，甲、乙得1分的概率分别为:，

5/56

M

⑴求甲、乙两人所得分数相同的概率;

（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X,求X的分布列和期望.

例18.（2024.河北保定.统考二模）某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，

该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓

球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺

序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利

（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成2:2则第5场比赛定胜

负.已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为高三每位队员战胜高一相应对

手的可能性均为彳7，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均I为且队员、年级之间

的胜负相互独立.

（1）求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜

高一年级的概率.

（2）若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望.

变式12.（2024.重庆沙坪坝.高三重庆八中校考开学考试）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有

32支球队参加，欧洲球队有13支：其中有5支欧洲球队闯入8强.比赛进入淘汰赛阶段

后，必须要分出胜负.淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负；比赛结束，

若比分相同.则进入30分钟的加时赛.在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相

同，就要通过点球大战来分出最后的胜负.点球大战分为2个阶段，第一阶段：共5轮，双

方每轮各派1名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准，5轮合计踢进点球数更

多的球队获得比赛的胜利.如果第一阶段的5轮还是平局，则进入第二阶段：在该阶段双方

每轮各派1名球员，依次踢点球，如果在一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续

下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得

最终的胜利.

(1)根据题意填写下面的2x2列联表，并根据小概率值。=0.01的独立性检验，判断32支决

赛圈球队“闯入8强”与“是欧洲球队”是否有关.

欧洲球队其他球队合计

闯入8强

未闯入8强

合计

(2)甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战.已知甲队

球员每轮踢进点球的概率为:1，乙队2球员每轮踢进点球的概率为:，每轮每队是否进球相

互独立，在点球大战中，两队前3轮比分为3:3,试求出甲队在第二阶段第一轮结束后获

得最终胜利的概率.

n(ad-bc)2

参考公式：/=n—a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)'

J2a)0.10.050.010.0050.001

a2.7063.8416.6357.87910.828

变式13.(2024.贵州.高三凯里一中校联考开学考试)为了丰富学生的课外活动，某中学举

办羽毛球比赛，经过三轮的筛选，最后剩下甲、乙两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜

制，即当参赛甲、乙两位中有一位先赢得三局比赛时，则该选手获胜，则比赛结束.每局比

赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在每一局获胜的概率均

为。(0<p<1).

⑴若比赛进行三局就结束的概率为,求的最小值；

(2)记(1)中，“P)取得最小值时，。的值为P。，以作为。的值，用X表示甲、乙实

际比赛的局数，求X的分布列及数学期望E(X).

题型七：几何问题

例19.(2024•辽宁沈阳•沈阳市第一二O中学校考模拟预测)某人玩一项有奖游戏活动，其

规则是：有一个质地均匀的正四面体(每个面均为全等的正三角形的三棱锥)，四个面上分

别刻着1,2,3,4,抛掷该正四面体5次，记录下每次与地面接触的面上的数字.

⑴求接触面上的5个数的乘积能被4整除的概率；

⑵若每次抛掷到接触地面的数字为3时奖励200元，否则倒罚100元，

①设甲出门带了1000元来参加该游戏，记游戏后甲身上的钱为X元，求E(X)；

②若在游戏过程中，甲决定当自己赢了的钱一旦不低于300元时立即结束游戏，求甲不超

过三次就结束游戏的概率.

例20.(2024•江西•高考真题)如图，从4(1,0,0),4(2,0,0),男(0,1,0),层(0,2,0),

q(0,0,1),G(0,0,2),这6个点中随机选取3个点.(1)求这3点与原点。恰好是正三棱

锥的四个顶点的概率；(2)求这3点与原点。共面的概率.

例21.(2024•河北张家口•高二统考期末)如图，己知三棱锥尸-ABC的三条侧棱R4,

PB,PC两两垂直，且R4=a,PB=b,PC=c,三棱锥P-ABC的外接球半径R=2.

(1)求三棱锥尸-ABC的侧面积S的最大值；

(2)若在底面ABC上，有一个小球由顶点A处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底

边，滚向顶点B的概率为滚向顶点C的概率为g；当球在顶点3处时，滚向顶点A的

概率为57,滚向顶点C的概率为1:；当球在顶点C处时，滚向顶点A的概率为号7，滚向顶

点B的概率为1.若小球滚动3次，记球滚到顶点3处的次数为X,求数学期望E(X)的值.

变式14.(2024•全国•高三专题练习)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长和高都为2.现从

该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积.

P

(1)求概率P(X=2)的值；

(2)求随机变量X的概率分布及其数学期望E(X).

题型八：彩票问题

例22.(2024・全国•高二随堂练习)在一种称为“幸运35”的福利彩票中，规定从01,

02,35这35个号码中任选7个不同号码组成一注，并通过摇奖机从这35个号码中摇

出7个不同的号码作为特等奖.与特等奖号码仅6个相同的为一等奖，仅5个相同的为二等

奖，仅4个相同的为三等奖，其他的情况不得奖比.为了便于计算，假定每个投注号只有1

次中奖机会(只计奖金额最大的奖)，该期的每组号码均有人买，且彩票无重复号码比.若

每注彩票为2元，特等奖奖金为100万元/注，一等奖奖金为1万元/注，二等奖奖金为100

元/注，三等奖奖金为10元/注，试求：

(1)奖金额X(元)的概率分布；

(2)这一期彩票售完可以为福利事业筹集多少资金(不计发售彩票的费用)？

例23.(2024・全国•高三专题练习)中国福利彩票双色球游戏规则是由中华人民共和国财政

部制定的规则，是一种联合发行的“乐透型”福利彩票.“双色球”彩票投注区分为红色球号码

区和蓝色球号码区，“双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成，红

色球号码从1—33中选择；蓝色球号码从1—16中选择.“双色球”奖级设置分为高等奖和低

等奖，一等奖和二等奖为高等奖，三至六等奖为低等奖.“双色球”彩票以投注者所选单注投

注号码与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级：

一等奖：7个号码相符（6个红色球号码和1个蓝色球号码）（红色球号码顺序不限，下

同）；

二等奖：6个红色球号码相符；

三等奖：5个红色球号码和1个蓝色球号码相符；

四等奖：5个红色球号码，或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符；

五等奖：4个红色球号码，或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符；

六等奖：1个蓝色球号码相符（有无红色球号码相符均可）.

（1）求中三等奖的概率（结果用。表示）；

（2）小王买了一注彩票，在已知小王中了高等奖的条件下，求小王中二等奖的概率.

参考数据：曾3屐6=。

例24.（2024.全国.高三专题练习）现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票

1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5

张.1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？

变式15.（2024.高二课时练习）某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%,抽

中10元奖的概率是1%,抽中1元奖的概率是20%,假设各种奖不能同时抽中，试求：

（1）此人收益的概率分布；

（2）此人收益的期望值.

变式16.（2024全国•高二随堂练习）根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从1~37

这37个数中选取7个数.如果所选7个数与开出的7个数一样（不管排列顺序），彩票即中

一等奖.

（1）多少注不同号码的彩票可有一个一等奖？

（2）如果要将一等奖的中奖机会提高到:以上且不超过:,可在37个数中

取几个数？

题型九：纳税问题

例25.（2024・四川南充・统考一模）自2019年1月1日起，对个人所得税起征点和税率进

行调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减去5000元后的余额为

应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表:

个人所得税税率（调整前）个人所得税税率（调整后）

免征额3500元免征额5000元

级税率级税率

全月应纳税所得额全月应纳税所得额

数（%）数（%）

1不超过1500元的部分31不超过3000元的部分3

超过1500元至4500超过3000元至12000元

210210

元的部分的部分

超过4500元至9000超过12000元至25000

320320

元的部分元的部分

（1）假如李先生某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记尤表示总收入，y

表示应纳的税，试分别求出调整前和调整后y关于x的函数表达式；

（2）某税务部门在李先生所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收

入，并制成下面的频数分布表：

收入

（元[3000,5000)[5000,7000)[7000,9000)[9000,11000)[11000,13000[13000,15000)

）

人数304010875

先从收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为

新纳税法知识宣讲员，求选中的2人收入都在［3000,5000）的概率;

例26.（2024.全国•高三专题练习）个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准

或免征额，个税起征点与个人税负高低的关系最为直接，因此成为广大工薪阶层关注的焦

点.随着我国人民收入的逐步增加，国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各

方面因素，规定从2019年1月1日起，我国实施个税新政.实施的个税新政主要内容包括：

①个税起征点为5000元②每月应纳税所得额（含税）=收入一个税起征点-专项附加扣除；③

专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）

计算方法及其对应的税率表如下：

旧个税税率表（个税起征点3500

新个税税率表（个税起征点5000元）

元）

缴税每月应纳税所得额（含税）税率每月应纳税所得额（含税）=收入-税率

级数=收入一个税起征点/%个税起征点-专项附加扣除/%

1不超过1500元3不超过3000元3

部分超过1500元至4500元

210部分超过3000元至12000元部分10

部分

超过4500元至9000元的

320超过12000元至25000元的部分20

部分

超过9000元至35000元的

425超过25000元至35000元的部分25

部分

超过35000元至55000元

530超过35000元至55000元部分30

部分

随机抽取某市1000名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者（以下互联网从业者都

是指无亲属关系的男性）的相关资料，经统计分析，预估他们2022年的人均月收入为

30000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子

女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合

子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符

合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1.此外，他们均不符合其他专项

附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房10。。元/月，子女教育每孩1000元/

月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣

除，将预估的该市该收入层级的互联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估

计总体的思想，解决下列问题.

（1）按新个税方案，设该市该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为X元，求X的

分布列和数学期望；

（2）根据新旧个税方案，估计从2022年1月开始，经过几个月，该市该收入层级的互联

网从业者各月少缴的个税之和就能购买一台价值为29400元的华为智慧屏巨幕电视？

例27.（2024•全国•高三专题练习）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民生活水

平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，

新政策的主要内容包括：①个税起征点为5000元；②每月应纳税所得额（含税）=（收入）-（个

税起征点）-（专项附加扣除）；③专项附加扣除包括赡养老人、子女教育、继续教育、大病医疗

等.新个税政策下赡养老人的扣除标准为：独生子女每月扣除2000元，非独生子女与其兄

弟姐妹按照每月2000元的标准分摊扣除，但每个人的分摊额度不能超过1000元；子女教

育的扣除标准为：每个子女每月扣除1000元（可由父母中的一方扣除，或者父母双方各扣

除500元）税率表如下:

级数全月应纳税所得额税率

1不超过3000元的部分3%

2超过3000元至12000元的部分10%

3超过12000元至25000元的部分20%

4超过25000元至35000元的部分25%

频率

组距

0.16----------------

0.14・

0.12・•一"!—

0.10----------------------

0.08■

0.06---------------------------

0.04---------------------------------

0.02--------------------------------------

0__

3579111315千元）

（I）税务部门在小李所在公司用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入,

并制成如图的频率分布直方图.

（i）请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数；

（ii）同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，在不考虑他们的专项附加扣

除的情况下，甲、乙两位同学用如下两种方法估计小李所在的公司员工该月平均纳税，请判

断哪位同学的方法是正确的，不需说明理由.甲同学：

0.24x0+0.32x30+0.2x90+0.12x290+0.08x490+0.04x690=129.2（T£）；乙同学：先计算

收入的均值x=0.24x4000+0.32x6000+0.2x8000+0.12x10000+0.08x12000

40.04x14000=7200（元），再利用均值计算平均纳税为：（7200-5000）x0.03=66（元）

（2）为研究某城市月薪为20000元群体的纳税情况，现收集了该城市500名公司白领（每

人至多1个孩子）的相关资料，通过整理数据知道：这500人中有一个孩子符合子女教育专

项附加扣除（假定由他们各自全部扣除）的有400人，不符合子女教育专项附加扣除的人有

100人，符合子女专项附加扣除的人中有300人也符合赡养老人专项附加扣除，不符合子

女专项附加扣除的人中有50人符合赡养老人专项附加扣除，并且他们均不符合其他专项附

加扣除（统计的500人中，任何两人均不在一个家庭且为独生子女）.若他们的月收入均为

20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群每月应缴纳个税金

额X（单位：元）的分布列与期望.

变式17.（2024・全国•高三专题练习）企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依法纳

税叫