2025高考数学复习必刷题：垂直弦问题（学生版）

第72讲垂直弦问题

知识梳理

1、过椭圆与+2=1的右焦点歹（c,0）作两条互相垂直的弦AB,CD.若弦A3,

a1b1

CD的中点分别为M，N,那么直线"N恒过定点（.

a2+b2

2、过椭圆与+£=1的长轴上任意一点S（S,O）（Y<s<a）作两条互相垂直的弦

ab2

AB,CD.若弦A3,CD的中点分别为Af,N,那么直线MN恒过定点（。，0）.

a2+b2

3、过椭圆与+2=1的短轴上任意一点T（0/）（T<r）作两条互相垂直的弦AB,

ab2

CD.若弦A3,CD的中点分别为M,N,那么直线MN恒过定点（0,二也丁）.

a+b

2222

4、过椭圆\+9=1内的任意一点。（sj）（7+J<1）作两条互相垂直的弦AB,

abab

CD.若弦A3,CD的中点分别为M,N,那么直线MN恒过定点（户，，-“二）.

a+ba+b

5、以（％,打）为直角定点的椭圆=+A=1内接直角三角形的斜边必过定点

ab

,a2-b27Z72-a2yx

d~\~u。+Q

6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y轴上.

7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x轴上.

8、以（/，人）为直角定点的抛物线V=2px内接直角三角形的斜边必过定点（%+2p,

9、以（%,人）为直角定点的双曲线胃-口=1内接直角三角形的斜边必过定点

ab

22

（a+Z7"+/

a2-b2Xo，b2-a2y°

必考题型全归纳

题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点

例1.（2024・辽宁沈阳・高二东北育才学校校考阶段练习）己知点A（-l,0）,3（1,0）,动点P满

足：ZAPB=23,且照||P8|cos2Gl.（尸不在线段A8上）

⑴求动点尸的轨迹C的方程；

（2）过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q,试问直线P。是否

经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

例2.（2024・全国•高三专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别为川-60）,玛（G,。），

短轴长为2.

（1）求椭圆C的标准方程及离心率；

（2）M,。分别为椭圆C的左、右顶点，过”点作两条互相垂直的直线MA,MB交椭圆于

A,3两点，直线AB是否过定点？并求出面积的最大值.

例3.（2024・云南曲靖•高三校联考阶段练习）已知产为圆加：龙2+3；2=4上一动点，过点产

作x轴的垂线段为垂足，若点。满足丽=咚而.

（1）求点。的轨迹方程；

（2）设点。的轨迹为曲线C,过点N（-l,0）作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分

别为E、F,过点N作直线所的垂线，垂足为点X,是否存在定点G,使得|GH|为定

值？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

变式1.（2024.上海青浦.统考一模）在平面直角坐标系龙。》中，已知椭圆「：：+/=1,过

右焦点/作两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CO中点分别为N.

(1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率；

(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；

⑶若弦AB,。的斜率均存在，求面积的最大值.

变式2.(2024.天津河北.高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)设月,F2分别

22

是椭圆C：*+3=l(a>b>0)的左、右焦点，”是C上一点，加入与X轴垂直.直线加片与

ab

C的另一个交点为N,且直线MN的斜率为正.

4

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设。(0,1)是椭圆C的上顶点，过。任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A3两

点，证明直线过定点，并求出定点坐标.

22

变式3.(2024.全国•高二专题练习)设耳耳分别是圆C：A+与=1(°>6>0)的左、右焦

ab

点，/是C上一点，/乙与X轴垂直.直线"居与C的另一个交点为M且直线MN的斜率

为立

4

(1)求椭圆C的离心率.

(2)设。(0,1)是椭圆C的上顶点，过。任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A、B两

点，过点。作线段AB的垂线，垂足为。，判断在y轴上是否存在定点R,使得102I的长

度为定值？并证明你的结论.

22

变式4.（2024.云南昆明.高二统考期中）已知椭圆C:3+方=1（2>6>0）,直线丁=%被

椭圆C截得的线段长为也.

5

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线44.分别交椭圆C于知,双两点（点不同

于椭圆C的右顶点），证明：直线过定点.

题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

22

例4.（2024・高二课时练习）已知双曲线C：。-斗=1（°>0,6>0）经过点尸（2,1）,且双

ab

曲线c的右顶点到一条渐近线的距离为逅.

3

⑴求双曲线C的方程；

⑵过点P分别作两条互相垂直的直线B4,PB与双曲线C交于A,8两点（A,8两点均与

点尸不重合），设直线AB：y=kx+m（k^Q）,试求上和机之间满足的关系式.

例5.（2024•江苏南京•高二校考开学考试）在平面直角坐标系尤Oy中，动点P与定点

FQ'。）的距离和它到定直线/…|的距离之比是常数唳记P的轨迹为曲线E

⑴求曲线E的方程；

（2）设过点A（石，0）两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M,N（异于点A）,求证：直

线MN过定点.

22

例6.（2024•全国•高三专题练习）已知双曲线「*=方=1（a力>0）,经过双曲线「上的

点4（2,1）作互相垂直的直线AM、AN分别交双曲线「于M、N两点.设线段AM、AN的中点分

别为瓦C,直线02、0C（。为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为

⑴求双曲线r的方程；

（2）过点A作（。为垂足），请问：是否存在定点E,使得|。目为定值？若存在，

求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点

例7.（2024•江苏泰州•高二靖江高级中学校考阶段练习）已知抛物线C：y1=2px（p>^

的焦点为E斜率为1的直线/经过R且与抛物线C交于A,B两点，|AB|=8.

（1）求抛物线C的方程;

（2）过抛物线C上一点P（a,-2）作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于两点（异于点

P）,证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标.

例8.(2024•内蒙古巴彦淖尔•高二校考阶段练习)已知抛物线E:/=2py的焦点/关于直

线/:2x-y-4=0的对称点Q恰在抛物线E的准线上.

(1)求抛物线E的方程；

(2)M是抛物线E上横坐标为-2的点，过点M作互相垂直的两条直线分别交抛物线E于

A8两点，证明直线A3恒经过某一定点，并求出该定点的坐标.

例9.(2024•江西吉安・高二吉安一中校考阶段练习)已知抛物线<7:寸=2「吠。>0),。是

坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，1rMi=4,Z<?™=120°.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设点。(%,2)在C上，过。作两条互相垂直的直线QAQB,分别交C于A,B两点(异

于。点).证明：直线A3恒过定点.

变式5.(2024•浙江•高三专题练习)已知抛物线卬：/=2抄(0>0)的焦点/也是椭圆

。+的一个焦点，如图，过点厂任作两条互相垂直的直线4,3分别交抛物线W

于A,C,B,。四点，E,G分别为AC,30的中点.

⑴求P的值；

(2)求证：直线EG过定点，并求出该定点的坐标;

⑶设直线EG交抛物线W于M,N两点，试求的最小值.

变式6.（2024・四川绵阳•高二校考阶段练习）已知抛物线C：y=2px（p>0）的焦点为

尸，点尸（2J）在抛物线C上，且|「肉=3.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过抛物线C上一点NQ〃,4）作两条互相垂直的弦N4和N3,试问直线AB是否过定

点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

变式7.（2024.全国•高三专题练习）已知抛物线C：y2=2px（〃>0）的焦点为尸，直线

、=4与y轴的交点为尸，与抛物线C的交点为Q,且|Q^=；|PQ|.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过抛物线C上一点N（〃z,4）作两条互相垂直的弦N4和NB,试问直线A3是否过定

点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

变式8.（2024・云南曲靖•高二校考期末）已知点M与点/（4,0）的距离比它的直线

/:x+6=0的距离小2.

⑴求点M的轨迹方程；

⑵OA,08是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过x轴上一定点，若经

过，求出该点坐标；若不经过，说明理由.

题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

22

例10.（2024・福建龙岩・统考一模）双曲线「：土一匕=1的左右顶点分别为A，4,动直

43

线/垂直「的实轴，且交：T于不同的两点直线AN与直线4M的交点为？

（1）求点尸的轨迹C的方程；

（2）过点”（1,0）作C的两条互相垂直的弦OE,FG,证明：过两弦DE,尸G中点的直线

恒过定点.

22

例11.（2024•全国•高二期末）已知椭圆3+[=1（。>6>0）的左右焦点分别为与耳，抛

物线y?=4x与椭圆有相同的焦点，点尸为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且|P4l=g.

（1）求椭圆的方程；

（2）过厂作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A,B和C,D,线段的中点

为M,线段C。的中点为N,证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标.

例12.（2024・上海闵行•高二闵行中学校考期末）在平面直角坐标系中，。为坐标原

点，M（V3,0）,已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于4.

(1)求动点尸的轨迹方程；

⑵过M(6,0)作互相垂直的两条直线入，2，4与动点p的轨迹交于A、B,4与动点尸的

轨迹交于点C、D,AB、C。的中点分别为E、F;证明：直线跖恒过定点，并求出定

点坐标；

⑶在(2)的条件下，求四边形AC3D面积的最小值.

变式9.(2024.上海浦东新•高三上海市洋泾中学校考阶段练习)已知椭圆

Q：J+《=l(a>b>0)的离心率为坐，椭圆Q截直线x=l所得线段的长度为6.过

M(道,0)作互相垂直的两条直线晨4,直线(与椭圆Q交于A、B两点，直线4与椭圆

Q交于C、。两点，AB,C。的中点分别为E、F.

⑴求椭圆Q的方程；

(2)证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标；

⑶求四边形ABCD面积S的最小值.

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变式10.(2024・全国•高三专题练习)己知椭圆河：\+2=1(°>6>0)上任意一点尸到椭

ab

圆M两个焦点耳B的距离之和为4,且离心率为也.

一2

⑴求椭圆M的标准方程；

⑵设A为/的左顶点，过A点作两条互相垂直的直线AC,AO分别与M交于C,D两点，证

明：直线C。经过定点，并求这个定点的坐标.

题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

22

例13.（2024・高二课时练习）已知双曲线C：3-A=l（a>0,>>0）的右焦点E半焦距

ab

2

c=2,点/到直线x=2的距离为;，过点P作双曲线C的两条互相垂直的弦AB,CD,设

C2

AB,C。的中点分别为N.

（1）求双曲线C的标准方程;

（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.

例14.（2024.黑龙江.黑龙江实验中学校考三模）在平面直角坐标系xOy中，己知动点P到

点厂（2,0）的距离与它到直线x=|的距离之比为手.记点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

⑵过点尸作两条互相垂直的直线4，64交曲线c于A,B两点，4交曲线c于S,T两

点，线段A3的中点为M,线段ST的中点为N.证明：直线过定点，并求出该定点

坐标.

22

例15.（2024・山西大同.高三统考阶段练习）已知双曲线C：。-4=1（°>0力>0）的右焦

cib

2

点、为F,半焦距c=2,点尸到右准线x=2的距离为过点/作双曲线C的两条互相

垂直的弦A3,CD,设AB,CO的中点分别为M,N.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标.

22

变式11.（2024・贵州•校联考模拟预测）已知双曲线E:左啜=1（。>0]>0）的一条渐近

线方程为x-6y=0,焦点到渐近线的距离为1.

（1）求E的方程；

（2）过双曲线E的右焦点/作互相垂直的两条弦（斜率均存在）AB.CD两条弦的中点分

别为P、Q,那么直线尸。是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点

坐标.

题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

例16.（2024.全国•高二专题练习）己知抛物线G：f=2py（p>0）焦点为尸，R为G上的

动点，K。,2）位于G的上方区域,且归国+|即|的最小值为3.

⑴求G的方程；

⑵过点尸（0,2）作两条互相垂直的直线《和34交G于A,B两点，4交G于C,D两

点，且M,N分别为线段A3和C。的中点.直线是否恒过一个定点?若是，求出该定点

坐标；若不是，说明理由.

例17.(2024・全国•高三专题练习)已知一个边长为8代的等边三角形的一个顶点位于原

点，另外两个顶点在抛物线C:/=2py(p>0)上.

(1)求抛物线C的方程；

⑵过点T(。，P)作两条互相垂直的直线《和上《交抛物线C于A、B两点，4交抛物线C于

D,E两点，若线段A3的中点为线段。E的中点为N,证明：直线过定点.

例18.(2024・全国•高三专题练习)已知抛物线C：丁=2/(°>0)的焦点为R过焦点尸

且垂直于x轴的直线交C于/两点，O为坐标原点，△。印的周长为46+8.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点尸作抛物线C的两条互相垂直的弦A8,DE,设弦AB,DE的中点分别为尸，Q,

试判断直线尸。是否过定点？若过定点.求出其坐标；若不过定点，请说明理由.

变式12.(2024•山西高二校联考期末)已知抛物线C：x2=2py(。>0),过点T(0,0)作

两条互相垂直的直线乙和4，4交抛物线C于A,8两点，4交抛物线C于。，E两点，抛

物线C上一点P&2)到焦点尸的距离为3.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若线段A8的中点为M,线段QE的中点为N,求证：直线MN过定点.

变式13.(2024•全国•高三专题练习)动圆P与直线x=-l相切，点P(1,O)在动圆上.

(1)求圆心P的轨迹。的方程；

(2)过点P作曲线。的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CO的中点分别为N,求

证：直线必过定点.

变式14.(2024•全国•高三专题练习)已知抛物线。：丁=2/(2>0)的焦点为R点M在

抛物线C上，。为坐标原点，AOMF是以。尸为底边的等腰三角形，且AOMF的面积为

2亚.

(1)求抛物线C的方程.

(2)过点P作抛物线C的两条互相垂直的弦AB,DE,设弦AB,DE的中点分别为P,

Q,试判断直线PQ是否过定点.若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由.

变式15.(2024・安徽滁州•高二校考开学考试)在平面直角坐标系Mb中，设点下(L0),直

线点尸在直线/上移动，R是线段与y轴的交点，也是P尸的中

点.RQLFP,PQrl.

(1)求动点。的轨迹的方程E；

⑵过点P作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD,设AB、C。的中点分别为M,N.求直

线MN过定点、R的坐标.

变式16.(2024.福建福州.高二校考期中)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知

111

点。(1,2),P是动点，且三角形P。。的三边所在直线的斜率满足厂+鼠一=二.

K()P/OQKpQ

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)过厂作倾斜角为60。的直线L交曲线C于A,B两点，求△AOB的面积；

(3)过点。(1,0)任作两条互相垂直的直线乙4,分别交轨迹C于点A,B和N,设线段

AB,MV的中点分别为E,F.,求证：直线恒过一定点.

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变式17.(2024•宁夏银川・高二银川一中校考期末)已知椭圆2+1=1(。＞匕＞0)的左、右

焦点分别为月、工，抛物线V=4x的焦点与椭圆的右焦点重合，点尸为抛物线与椭圆在

7

第一象限的交点，且P同=].

(1)求椭圆的方程；

(2)过p作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A、8和C、D,线段A3的中

点、为M,线段CO的中点为N,证明：直线过x轴上一定点，并求出该定点的坐标.

变式18.(2024.湖南.高三阶段练习)如图1,已知抛物线E的顶点O在坐标原点，焦点在

y轴正半轴上，准线与y轴的交点为T.过点T作圆C:d+(y-2)2=l的两条切线，两切

点分别为D,G,且|DG|=乎.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)如图2,过抛物线E的焦点F任作两条互相垂直的直线4，4,分别交抛物线E于P,

Q两点和M,N两点，A,B分别为线段PQ和MN的中点，求AAOB面积的最小值.

题型七：内接直角三角形范围与最值问题

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例19.(2024.江西.高二校联考开学