2025高考数学复习必刷题：切点与切点弦（学生版）

第75讲切点与切点弦

知识梳理

1、点,%)在圆/+y2=/上，过点M作圆的切线方程为+%>=/.

2、点,%)在圆/+：/=/外，过点加作圆的两条切线，切点分别为A,B,则

切点弦AB的直线方程为％彳+%>=严.

3、点M(x0,%)在圆芦+/二产内，过点心作圆的弦至(不过圆心)，分别过A,B

作圆的切线，则两条切线的交点尸的轨迹方程为直线尤°x+%y=产.

4、点M(x0,%)在圆(尤-a)?+(,-6)2=/上，过点"作圆的切线方程为

2

(x0-a)(x-a)+(j0-Z?)(y-Z?)=r.

5、点M(x0,%)在圆(x-a)2+(y-32=户外，过点"作圆的两条切线，切点分别为

A,B,则切点弦AB的直线方程为(x0-")(尤-a)+(%-b)(y-b)=厂.

6、点M(x0,%)在圆(x-a)2+(y-b)2=/内，过点M作圆的弦至(不过圆心)，分

别过A,3作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为

2

(x0-a)(x-a)+(y0-/?)(y-Z?)=r.

22

7、点加伍，％)在椭圆\+A=l(a>6>0)上，过点M作椭圆的切线方程为

ab

/b2~,

22

8、点,%)在椭圆二+2=1(。>6>0)外，过点M作椭圆的两条切线，切点分别

ab

为A,B,则切点弦AB的直线方程为岑+浮=1.

ab

22

9、点M(x0,%)在椭圆二+1=1(。>6>0)内，过点M作椭圆的弦(不过椭圆中

ab

心)，分别过A,3作椭圆的切线，则两条切线的交点尸的轨迹方程为直线警+誓=1.

ab

22

10、点Af(x0,%)在双曲线［-2=l(a>0,6>0)上，过点M作双曲线的切线方程

ab

22

11、点M（/o，%）在双曲线各一斗=1（々>0,10）外，过点M作双曲线的两条切线，

ab

切点分别为A,B,则切点弦AB的直线方程为岑-岑=1.

ab

22

12、点M（%,%）在双曲线J-I=l（a>0,6>0）内，过点M作双曲线的弦AB（不

ab

过双曲线中心），分别过A,8作双曲线的切线，则两条切线的交点尸的轨迹方程为直线

//-.

13、点“优，％）在抛物线产二2px（p>0）上，过点M作抛物线的切线方程为

14、点M（%,%）在抛物线丁=2pxS>0）外，过点M作抛物线的两条切线，切点分

别为A,B,则切点弦AB的直线方程为%〉=0（尤+尤（））.

15、点,%）在抛物线/=2p元（p>0）内，过点M作抛物线的弦AB,分别过

A,3作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线为y=p（x+x0）.

必考题型全归纳

题型一：切线问题

例1.（2024•浙江杭州.高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知抛物线

E-.y2=2px（p>0）,焦点为产.过抛物线外一点P（不在x轴上）作抛物线C的切线

PA,PB,其中AB为切点，两切线分别交y轴于点C,。.

⑴求笈.涛的值；

⑵证明：

①附|是|网与|冏的等比中项；

②FP平分ZAFB.

例2.（2024.江西•高三校联考开学考试）已知抛物线C:f=8y,尸为C的焦点，过点尸的

直线/与C交于H,1两点，且在/两点处的切线交于点T.

⑴当/的斜率为-1时，求|印卜

(2)证明：FT1HI.

例3.(2024・湖北.高三校联考开学考试)已知抛物线C:y2=2px(0＞O)的焦点为尸，过歹

作斜率为依左＞0)的直线/与C交于A3两点，当％=后时，|AB|=6.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设线段AB的中垂线与x轴交于点P,抛物线C在A,8两点处的切线相交于点Q,设

d.

P,Q两点到直线/的距离分别为4，&，求才的值.

变式L(2024.全国.高三专题练习)设抛物线石：/=2川(？＞0)的焦点为尸，过尸且斜率

为1的直线/与E交于A,B两点，＞|AB|=8.

(1)求抛物线E的方程；

⑵设尸(1,m)为E上一点，E在P处的切线与x轴交于。过。的直线与E交于M,N两

点，直线PM和PN的斜率分别为％P”和原N.求证：MM+%V为定值.

变式2.(2024.广东广州.高三华南师大附中校考开学考试)已知椭圆

22

£：宗+方=l（a>b>0）的两焦点分别为月卜6,。），耳（退，。），A是椭圆E上一点，当

4A月=:时，*伍的面积为卓

⑴求椭圆E的方程；

⑵直线4：勺x-y+2匕=0（勺>0）与椭圆E交于“，N两点，线段肱V的中点为P,过P作

垂直x轴的直线在第二象限交椭圆E于点S,过S作椭圆E的切线36的斜率为以，求

k「h的取值范围.

22

变式3.（2024•江西南昌•南昌市八一中学校考三模）已知椭圆E:0+4=l（a>6>0）经过

ab

点（。,3）,且离心率为g,尸为椭圆E的左焦点，点P为直线/:x=3上的一点，过点P

作椭圆E的两条切线，切点分别为A,B,连接AB,AF,BF.

（1）证明：直线A3经过定点“（2,0）；

⑵若记";加、△8R0的面积分别为S1和邑，当lE-Szl取最大值时，求直线AB的方

程.

22

参考结论：。（5,％）为椭圆5+方=1上一点，则过点。的椭圆的切线方程为

%。।11

/b2~'

题型二：切点弦过定点问题

例4.（2024・全国•高三专题练习）已知直线〃是抛物线C：x2=2py（p>0）的准线，直线

12：3^-4y-6=0,且/2与抛物线C没有公共点，动点尸在抛物线C上，点尸到直线〃和/2

的距离之和的最小值等于2.

(1)求抛物线c的方程；

(2)点M在直线〃上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P,Pi,在平面内

是否存在定点N,使得恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请

说明理由.

22

例5.(2024•福建宁德•校考一模)双曲线C:「-A=l的离心率为血，右焦点P到渐近线

ab

h

y=-x的距离为应.

a

(1)求双曲线C的标准方程；

b

(2)过直线x=l上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线y='x于A,8两点，证

a

明：以为直径的圆恒过右焦点F.

例6.(2024・四川绵阳•高三四川省绵阳南山中学校考开学考试)已知抛物线

C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设点尸&1)是该抛物线上一定点，过点尸作圆。:(》-2)2+/=产(其中的两

条切线分别交抛物线C于点48,连接A3.探究：直线是否过一定点，若过，求出该

定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

变式4.(2024.陕西•校联考三模)己知直线/与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,2两点,

且tMJLOB,OD±AB,。为垂足，点。的坐标为(1,D.

⑴求C的方程；

⑵若点E是直线y=x-4上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP,EQ,其中P,Q

为切点，试证明直线PQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.

变式5.(2024•贵州•校联考二模)抛物线G：y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离等于椭圆

22

C2:x+16y=1的短轴长.

⑴求抛物线G的方程；

⑵设。(1J)是抛物线G上位于第一象限的一点，过。作E:(x-2y+y2=/(其中

0<r<l)的两条切线，分别交抛物线于点M,N,证明：直线MN经过定点.

22

变式6.(2024・河南•校联考模拟预测)已知椭圆C：A+A=l(a>b>0)的焦距为2,圆

ab

/+丁=4与椭圆C恰有两个公共点.

(1)求椭圆C的标准方程；

22

(2)已知结论：若点(七,为)为椭圆与+多=1上一点，则椭圆在该点处的切线方程为

ab

岑+*=1.若椭圆c的短轴长小于4,过点7(81)作椭圆C的两条切线，切点分别为

A5,求证：直线A3过定点.

变式7.（2024・重庆九龙坡.高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知尸（0,1）在

22

椭圆「：土+与=1（0<匕<2）上，圆C:（无一1>+;/=/&>0）,圆c在椭圆r内部.

4b-

（1）求r的取值范围;

⑵过尸（0,1）作圆C的两条切线分别交椭圆「于A,B点（42不同于尸），直线A3是否过定

点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

题型三：利用切点弦结论解决定值问题

例7.（2024•全国•高三专题练习）已知中心在原点的椭圆口和抛物线一有相同的焦点

（1,0）,椭圆口的离心率为抛物线门的顶点为原点.

（1）求椭圆口和抛物线L的方程；

⑵设点尸为抛物线口准线上的任意一点，过点尸作抛物线门的两条切线24，PB,其中

A,B为切点.设直线R4,PB的斜率分别为尤，k2,求证：为定值.

例8.（2024•全国•高三专题练习）已知尸是抛物线C：公=2点（。>0）的焦点，以尸为圆

心，2P为半径的圆F与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=4石.

（1）求抛物线C和圆尸的方程；

（2）若点尸为圆/优弧A8上任意一点，过点尸作抛物线C的两条切线PM,PN,切点分别

为M,N,请问|地卜|诋|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

例9.（2024・全国•高三专题练习）已知抛物线C：/=2/（°>0）的焦点为尸，过点尸引

圆/：口+行+仆一以=；的一条切线，切点为N,|印|=半.

（1）求抛物线C的方程；

⑵过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为尸，Q,是否存在点A使得

△AP。的面积为主8?若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.

2

变式8.（2024•全国•高三专题练习）已知抛物线。:丁=2°吠°>0）的焦点尸到准线的距离

为2,圆〃与y轴相切，且圆心又与抛物线C的焦点重合.

（1）求抛物线C和圆M的方程；

⑵设尸为圆M外一点，过点尸作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个

不同的点4（%,%）,川々,为）和点。（玉,%）,^%，^）•且％%%%=16,证明：点尸在一条定

曲线上.

变式9.(2024•全国•模拟预测)己知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为凡尸为抛物线上

一动点，点P到F的最小距离为1.

(1)求抛物线C的标准方程；

⑵过点A(T-2)向C作两条切线AM,AN,切点分别为M,N,直线AF与直线MN交于

点。，求证：点0到直线的距离等于到直线FN的距离.

变式10.(2024・全国•高三专题练习)已知点P(-2,〃2)在抛物线C:Y=2Q(P>0)上,且到

抛物线C的焦点厂的距离为2.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点4(-1,-2)向抛物线C作两条切线切点分别为MN,若直线AF与直线

d,

初V交于点Q,且点。到直线97、直线M的距离分别为4,4.求证：于为定值.

变式11.(2024・上海长宁•高三上海市延安中学校考开学考试)在以A(-2,0)为圆心，6为

半径的圆A内有一点3(2,0),点尸为圆A上的任意一点，线段3尸的垂直平分线/和半径

AP交于点

(1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；

(2)记点M的轨迹为曲线「，过点8的直线与曲线「交于C、。两点，求云•丽的最大

值；

⑶在圆一+,2=14上的任取一点Q,作曲线r的两条切线，切点分别为E、F,试判断QE

与。尸是否垂直，并给出证明过程.

变式12.(2024・全国•高三专题练习)已知抛物线。:丁=22穴°>0),尸为焦点，若圆

E:(X-l)2+户16与抛物线C交于两点,S.\AB\=4y/3

(1)求抛物线C的方程；

⑵若点尸为圆E上任意一点，且过点尸可以作抛物线C的两条切线切点分别为

求证：斗|他代亘为定值.

变式13.(2024•浙江金华・浙江金华第一中学校考模拟预测)已知抛物线G：/=y,圆

G:Y+(y-4尸=1,尸是Cj上异于原点的一点.

⑴设。是C?上的一点，求|PQ|的最小值；

⑵过点尸作G的两条切线分别交G于A,B两点(异于尸).若|冏=|印，求点尸的坐标.

22

变式14.(2。24・湖南长沙・湖南师大附中校考模拟预测)如图‘椭圆C点+?=1("2),

圆0:》2+>2="+4,椭圆C的左、右焦点分别为招，工.

(1)过椭圆上一点尸和原点O作直线/交圆。于N两点，若忸耳卜|根|=6,求

的值;

(2)过圆。上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直.

22

变式15.(2024.河南•校联考模拟预测)在椭圆C：二+多=1(a>A>0)中，其所有

ab

2222

外切矩形的顶点在一个定圆「：X+y=a+b1.,称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过

尸(亭”白

⑴求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的蒙日圆上一点作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N,若G，

k()N存在，证明：kOM-kON为定值.

题型四：利用切点弦结论解决最值问题

例10.(2024.福建泉州.高三校联考阶段练习)已知尸为抛物线C：f=2py(0>O)的焦

点，"(-4,m)是C上一点，M■位于F的上方且I"周=5.

⑴求P；

⑵若点尸在直线x+y+3=0上，PA,尸2是C的两条切线，A,2是切点，求恒刊所|的最

小值.

例11.(2024.全国•高三专题练习)已知抛物线C:y2=2pxO>0)的焦点/到准线的距离为

(1)求抛物线C的方程及焦点F的坐标；

⑵如图，过抛物线C上一动点尸作圆/:(工-2)2+尸=1的两条切线，切点分别为A3,求

四边形24MB面积的最小值.

22

例12.(2024•全国•高三专题练习)己知椭圆C:\+方=l(a>6>0)的左、右焦点分别为

月,尸2,左顶点为D,离心率为经过耳的直线交椭圆于A8两点，A&AB的周长为

8.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过直线x=4上一点尸作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N,

①证明：直线MN过定点；

②求“DMN的最大值.

22

备注：若点(1,%)在椭圆c：A+斗=1上，则椭圆C在点(1,%)处的切线方程为

ab

6b2一

变式16.（2024・贵州•高三校联考阶段练习）已知抛物线。：£=2刀（°>0）上的点（2,%）到

其焦点尸的距离为2.

（1）求抛物线C的方程；

⑵已知点。在直线八、=-3上，过点。作抛物线C的两条切线，切点分别为A3,直线

A3与直线/交于点过抛物线C的焦点尸作直线A3的垂线交直线/于点N,当最

小时,的值.

22

变式17.（2024.全国•高三专题练习）已知椭圆C:三+当=1（0>6>0）的左、右焦点分别

ab

为耳,F2,户（如儿）为C上一动点，|尸耳|的最大值为4+26,且长轴长和短轴长之比为

2.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若1<%<2,过P作圆。:/+3；2=1的两条切线心心设34与x轴分别交于〃，N

两点，求APMN面积的最小值.

变式18.（2024.贵州黔东南•凯里一中校考三模）已知直线丫=辰+1与抛物线C：/二打交

于A,8两点，分别过48两点作C的切线，两条切线的交点为D.

(1)证明点。在一条定直线上；

⑵过点。作y轴的平行线交C于点E,线段的中点为尸，

①证明：E为DP的中点；

②求VADE面积的最小值.

变式19.(2024•新疆喀什・统考模拟预测)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为产，且

/与圆+(y+3)、1上点的距离的最小值为3.

⑴求P;

⑵若点尸在圆M上，PA,网是抛物线C的两条切线，A8是切点，求三角形R4B面积

的最大值.

变式20.(2024.黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考模拟预测)已知抛物线的顶点在原点，焦点

在>轴上，其上一点”(孤1)到焦点的距离为2.

(1)求抛物线方程；

(2)圆E：Y+(y+l)2=l,过抛物线上一点尸伍,九)(/22)作圆E的两条切线与x轴交于

M,N两点，求的最小值.

变式21.（2024•广东茂名•高三校考阶段练习）已知平面内动点P（尤,y）,P到定点厂（遥,0）

的距离与P到定直线/:x=地的距离之比为更，

32

⑴记动点尸的轨迹为曲线C,求C的标准方程.

⑵己知点M是圆龙2+y2=10上任意一点，过点"作做曲线C的两条切线，切点分别是

A,B,求面积的最大值，并确定此时点M的坐标.

注：椭圆：/+/■=1（。>6>0）上任意一点户（外,几）处的切线方程是：学+孝=1.

22

变式22.（2024・湖北黄冈•流水县第一中学校考三模）已知椭圆亍+}=lgb>0）经过点

过原点的直线与椭圆交于M，N两点，点G在椭圆上（异于“，N）,且

-k©N=~~-

（1）求椭圆的标准方程；

⑵若点尸为直线x=4上的动点，过点尸作椭圆的两条切线，切点分别为E,F,求

tan/EPF的最大值.

变式23.（2024•新疆乌鲁木齐・统考二模）已知抛物线C：%2=24（°>0）的准线为/,圆

O：x2+y2=r2.

⑴当厂=君时，圆。与抛物线C和准线/分别交于点A,8和点M,N,S.\AB\^\MN\,求

抛物线C的方程；

⑵当厂=1时，点■?（%,%乂%>r）是⑴中所求抛物线C上的动点.过尸作圆。的两条切

线分别与抛物线C的准线/交于。，E两点，求足〃面积的最小值.

题型五：利用切点弦结论解决范围问题

丫2«1

例13.(2024.全国•高三专题练习)已知椭圆