2025届高考数学一轮复习作业不等关系与不等式新人教B版

PAGEPAGE1不等关系与不等式一、选择题1．若a>b，则下列不等式肯定成立的是()A．a2>b2 B．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a－1>b－2 D．a＋b>2eq\r(ab)C[对于A：若a＝0，b＝－1，明显满意a>b，但是a2<b2，故A错误；对于B：若a＝0，b＝－1，明显满意a>b，eq\f(1,a)无意义，故B错误；对于C：因为a>b，－1>－2，所以a－1>b－2，故C正确；对于D：若a＝1，b＝－1，明显满意a>b，但是2eq\r(ab)无意义，故D错误；故选C．]2．若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是()A．|a|＞|b| B．eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)C．eq\f(1,a)＞eq\f(1,b) D．a2＞b2B[∵a＜b＜0，∴a＜a－b＜0，∴eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)，因此B不正确，故选B．]3．已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则()A．P<Q B．P≤QC．P>Q D．P≥QC[∵P－Q＝a2＋3a＋3－(a＋1)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，∴P>Q．]4．若a＞0，且a≠7，则()A．77aa＜7aa7 B．77aa＝7aa7C．77aa＞7aa7 D．77aa与7aa7的大小不确定C[eq\f(77aa,7aa7)＝77－aaa－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,7)))eq\s\up12(a－7)．若a＞7，则eq\f(a,7)＞1，a－7＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,7)))eq\s\up12(a－7)＞1；若0＜a＜7，则0＜eq\f(a,7)＜1，a－7＜0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,7)))eq\s\up12(a－7)＞1．综上知eq\f(77aa,7aa7)＞1．又7aa7＞0，∴77aa＞7aa7，故选C．]5．设p＝(a2＋a＋1)－1，q＝a2－a＋1，则()A．p>q B．p<qC．p≥q D．p≤qD[p＝(a2＋a＋1)－1＝eq\f(1,a2＋a＋1)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))>0，q＝a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，则eq\f(q,p)＝eq\f(a2－a＋1,a2＋a＋1－1)＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝(a2)2＋a2＋1≥1．故p≤q，当且仅当a＝0时，取等号，故选D．]6．我国南北朝数学家何承天独创的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为eq\f(b,a)和eq\f(d,c)(a，b，c，d∈N＋)，则eq\f(b＋d,a＋c)是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道e＝2.71828…，若令eq\f(27,10)<e<eq\f(14,5)，则第一次用“调日法”后得eq\f(41,15)是e的更为精确的过剩近似值，即eq\f(27,10)<e<eq\f(41,15)，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e的近似分数为()A．eq\f(109,40)B．eq\f(68,25)C．eq\f(19,7)D．eq\f(87,32)C[第一次用“调日法”后得eq\f(41,15)是e的更为精确的过剩近似值，即eq\f(27,10)<e<eq\f(41,15)；其次次用“调日法”后得eq\f(68,25)是e的更为精确的过剩近似值，即eq\f(27,10)<e<eq\f(68,25)；第三次用“调日法”后得eq\f(19,7)是e的更为精确的不足近似值，即eq\f(19,7)<e<eq\f(68,25)，故选C．]7．已知12＜a＜60,15＜b＜36，则eq\f(a,b)的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))B[由15＜b＜36得eq\f(1,36)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,15)，又12＜a＜60，所以eq\f(12,36)＜eq\f(a,b)＜eq\f(60,15)，即eq\f(1,3)＜eq\f(a,b)＜4，故选B．]8．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是运用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不精确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金()A．大于10g B．小于10gC．大于等于10g D．小于等于10gA[由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b(不妨设a>b)，先称得的黄金的实际质量为m1，后称得的黄金的实际质量为m2．由杠杆的平衡原理：bm1＝a×5，am2＝b×5．解得m1＝eq\f(5a,b)，m2＝eq\f(5b,a)，则m1＋m2＝eq\f(5b,a)＋eq\f(5a,b)．下面比较m1＋m2与10的大小：(作差比较法)因为(m1＋m2)－10＝eq\f(5b,a)＋eq\f(5a,b)－10＝eq\f(5b－a2,ab)，因为a≠b，所以eq\f(5b－a2,ab)>0，即m1＋m2>10．所以这样可知称出的黄金质量大于10g．]二、填空题9．给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)．能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________(答案不唯一，写出一个即可)．a>b>0(答案不唯一)[使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0，当a>b>0时，①②明显成立，对于③，(eq\r(a－b))2－(eq\r(a)－eq\r(b))2＝2eq\r(ab)－2b＝2eq\r(b)(eq\r(a)－eq\r(b))，∵a>b>0，∴2eq\r(b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0，所以(eq\r(a－b))2－(eq\r(a)－eq\r(b))2>0，即eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)．]10．已知M＝eq\f(e2020＋1,e2021＋1)，N＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，则M，N的大小关系为________．M>N[法一：M－N＝eq\f(e2020＋1,e2021＋1)－eq\f(e2021＋1,e2022＋1)＝eq\f(e2020＋1e2022＋1－e2021＋12,e2021＋1e2022＋1)＝eq\f(e2020＋e2022－2e2021,e2021＋1e2022＋1)＝eq\f(e2020e－12,e2021＋1e2022＋1)>0．∴M>N．法二：令f(x)＝eq\f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq\f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq\f(1,e)＋eq\f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，明显f(x)是R上的减函数，∴f(2020)>f(2021)，即M>N．]11．若α，β满意－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))[由－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)得－π＜2α＜π，－eq\f(π,2)＜－β＜－α＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(3,2)π＜2α－β＜2α－α＝α＜eq\f(π,2)，即－eq\f(3,2)π＜2α－β＜eq\f(π,2)．]12．已知三个不等式①ab＞0；②eq\f(c,a)＞eq\f(d,b)；③bc＞ad．若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．3[①②⇒③，③①⇒②．(证明略)由②得eq\f(bc－ad,ab)＞0，又由③得bc－ad＞0．所以ab＞0，②③⇒①．所以可以组成3个正确命题．]1．有三个房间须要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一个颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z；且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋czB[采纳特别值法验证：令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13．由此可知最低的总费