2024-2025学年高三数学新高考一轮复习专题空间向量及其运算强化训练含解析

Page1空间向量及其运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共11小题，共55.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）在下列条件中，使M与A、B、C肯定共面的是(

)A. B.

C. D.已知向量，，且，则等于(

)A. B. C. D.如图，设，，，若，，则(

)

A.

B.

C.

D.

已知A、B、三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点、共面”的充分条件的是(

)A. B.

C. D.已知向量，点，，且，则实数(

)A. B. C. D.已知向量，，，若，则与的夹角为

A. B. C. D.已知空间三点，，在一条直线上，则实数k的值是(

)A.4 B.2 C. D.如图，在长方体中，下列各式运算结果为的有(

)①②③④⑤⑥A.3个 B.4个 C.5个 D.6个已知向量，，且，均在平面内，直线l的方向向量，则(

)A. B.l与相交 C. D.或已知正四面体ABCD的棱长为1，且，则(

)A. B. C. D.已知向量，，且，则(

)A. B. C. D.5二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和构成空间一个基底的是(

)A. B. C. D.下列条件中，能使点P与A，B，C三点肯定共面的是(

)A. B.

C. D.三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则__________.已知向量，，若，则__________.已知正方体的棱长为3，点P在棱上运动，点Q在棱BC上运动，且PQ与所成角为若线段PQ的中点为M，则M的轨迹长度为__________.

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的实力．

利用空间向量基本定理，进行验证，对于C，可得，，为共面对量，从而可得M、A、B、C四点共面【解答】解：C中，由，得，则，，为共面对量，即M、A、B、C四点共面．

对于A，，、A、B、C四点不共面

对于B，，、A、B、C四点不共面

对于D，，，系数和不为1，、A、B、C四点不共面

故选

2.【答案】C

【解析】【分析】本题考查空间向量平行的坐标运算，属于基础题.

依据得到求出的值即可.【解答】解：

故选：

3.【答案】A

【解析】【分析】本题考查空间向量的加减运算，是基础题.

利用向量的线性运算可得的表示形式，从而可得正确的选项.【解答】解：连接OM，ON，

则，

而，

所以

故答案选：

4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查共面对量定理，属于基础题.

依据共面对量定理可知若，，则M、A、B、C共面，即可推断选项的正误.【解答】解：由共面对量定理可知，若，，则M、A、B、C共面，则可以推断A、C、D都是错误的，则B正确．

故选

5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查空间向量垂直的计算问题，属于基础题．

由题意得出向量的数量积为0，解关于x的方程可得答案.【解答】解：向量，且，

，即

故选

6.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查空间向量数量积的坐标运算，以及求两个向量的夹角，属于基础题.

由已知可得，

，从而求得，求出两个向量的夹角的余弦值，依据夹角的范围得到结果．【解答】解：，，

，，

，，

，

又，，

，

故选

7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了空间向量共线定理，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．

依据三点在一条直线上，利用向量共线的坐标表示，列方程解出实数k的值.【解答】解：因为

，又因为空间三点，，在一条直线上，

所以

所以

.

故选：

8.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题．

结合图形，依据空间向量的线性运算法则进行推断即可．【解答】解：正方体中，

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥

故答案选：

9.【答案】B

【解析】【分析】本题考查直线与平面的位置关系的推断，解题时要仔细审题，留意空间向量的性质合理运用，属于基础题.

由已知条件推导出，不是共面对量，从而得到l与相交．【解答】解：，，且，均在平面内，

直线l的方向向量，

设，则，

方程组无解，

，不是共面对量，

与相交．

故选：

10.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于中等题.先以为基底进行线性转化，再利用数量积定义计算即可.【解答】解：以为基底进行线性转化，棱长均为1，

故，，

故，，故

故答案选：

11.【答案】B

【解析】【分析】本题考查向量的共线的坐标运算和向量的模的运算，考查计算实力．干脆利用向量平行求出t，代入求解即可．

【解答】解：，，即，则，

故选

12.【答案】BC

【解析】【分析】本题考查空间向量基本定理以及共面对量定理，属于基础题.

空间向量的一组基底，随意两个不共线，并且不为零向量，并且三个向量不共面，推断即

可.【解答】解：对于A选项，，

，，共面，不能构成基底；

对于B选项，假设存在x，y使得，

则，x，y无解，所以与，不共面，能构成基底；

对于C选项，假设存在x，y使得，

则，x，y无解，所以与，不共面，能构成基底；

对于选项D，，

，，共面，不能构成基底.

故选：

13.【答案】AB

【解析】【分析】本题考查平面对量与空间向量基本定理，属于基础题.

依据平面对量基本定理可推断A；利用空间向量基本定理推断B，C，【解答】解：对于A，由，且，

依据平面对量基本定理，A，B，C三点共线，

所以点P与A，B，C三点共面，故A正确；

对于B，由，且，

依据空间向量基本定理，，，，共面，

所以点P与A，B，C三点共面，故B正确；

对于C，由，，

依据空间向量基本定理，，，，不共面，

所以得不到点P与A，B，C三点肯定共面，故C错误；

对于D，由，得，

而，

依据空间向量基本定理，，，，不共面，

所以得不到点P与A，B，C三点肯定共面，故D错误.

故选：

14.【答案】1

【解析】【分析】本题考查共面对量定理，属于基础题.

利用向量相等解方程组.【解答】解：因为，，共面，所以存在实数m，n，使得，

则，

则解得

故答案为

15.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查空间两个向量的夹角公式的应用，以及向量数量积的运算，属于中档题.

由已知可得，代入条件可得，将其代入两向量夹角的余弦公式，可得结果.【解答】解：，

，

，，

，，

又，

16.【答案】

【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角，考查立体几何中的动点轨迹问题，属于较难题.

建立空间直角坐标系，作于N，取的中点O，利用已知条件得，设，，可