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文档简介
2025届浙江省温州东瓯中学高三最后一模数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为()尺.A. B. C. D.2.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离3.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},则=()A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}4.已知非零向量,满足,,则与的夹角为()A. B. C. D.5.小张家订了一份报纸,送报人可能在早上之间把报送到小张家,小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件:“小张在离开家前能得到报纸”,设送报人到达的时间为,小张离开家的时间为,看成平面中的点,则用几何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.6.已知命题,,则是()A., B.,.C., D.,.7.已知集合,,若,则()A.或 B.或 C.或 D.或8.若两个非零向量、满足,且,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.9.若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是()A. B.C. D.10.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷200个点,己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是()A. B. C.10 D.11.已知复数满足,则的最大值为()A. B. C. D.612.在各项均为正数的等比数列中,若,则()A. B.6 C.4 D.5二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若实数,满足,则的最小值为__________.14.函数的定义域为____.15.已知数列为等比数列,,则_____.16.如图在三棱柱中,,,,点为线段上一动点,则的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知是递增的等差数列,,是方程的根.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.18.(12分)已知函数,其中.(1)当时,求在的切线方程;(2)求证:的极大值恒大于0.19.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若存在实数,使得不等式成立,求实数的取值范围.20.(12分)已知函数,其中,为自然对数的底数.(1)当时,证明:对;(2)若函数在上存在极值,求实数的取值范围。21.(12分)已知各项均为正数的数列的前项和为,满足,,,,恰为等比数列的前3项.(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前项和为;若对均满足,求整数的最大值;(3)是否存在数列满足等式成立,若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.22.(10分)如图,湖中有一个半径为千米的圆形小岛,岸边点与小岛圆心相距千米,为方便游人到小岛观光,从点向小岛建三段栈道,,,湖面上的点在线段上,且,均与圆相切,切点分别为,,其中栈道,,和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧(圆上实线部分)上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度,并确定的取值范围;求当为何值时,栈道总长度最短.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】如图,已知,,
∴,解得
,∴,解得
.∴折断后的竹干高为4.55尺故选B.2、B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r3、B【解析】
按补集、交集定义,即可求解.【详解】={1,3,5,6},={1,2,5,6},所以={1,5,6}.故选:B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.4、B【解析】
由平面向量垂直的数量积关系化简,即可由平面向量数量积定义求得与的夹角.【详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得,,所以,即,由平面向量数量积定义可得,所以,而,即与的夹角为.故选:B【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算,平面向量夹角的求法,属于基础题.5、D【解析】
这是几何概型,画出图形,利用面积比即可求解.【详解】解:事件发生,需满足,即事件应位于五边形内,作图如下:故选:D【点睛】考查几何概型,是基础题.6、B【解析】
根据全称命题的否定为特称命题,得到结果.【详解】根据全称命题的否定为特称命题,可得,本题正确选项:【点睛】本题考查含量词的命题的否定,属于基础题.7、B【解析】
因为,所以,所以或.若,则,满足.若,解得或.若,则,满足.若,显然不成立,综上或,选B.8、A【解析】
设平面向量与的夹角为,由已知条件得出,在等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律可求得的值,即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为,,可得,在等式两边平方得,化简得.故选:A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值,考查平面向量数量积的运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.9、C【解析】
由题可知,设函数,,根据导数求出的极值点,得出单调性,根据在区间内的解集中有且仅有三个整数,转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数,结合图象,可求出实数的取值范围.【详解】设函数,,因为,所以,或,因为时,,或时,,,其图象如下:当时,至多一个整数根;当时,在内的解集中仅有三个整数,只需,,所以.故选:C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题,还涉及利用导数求函数单调性和函数图象,同时考查数形结合思想和解题能力.10、D【解析】
直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型:,故.故选:.【点睛】本题考查了根据几何概型求面积,意在考查学生的计算能力和应用能力.11、B【解析】
设,,利用复数几何意义计算.【详解】设,由已知,,所以点在单位圆上,而,表示点到的距离,故.故选:B.【点睛】本题考查求复数模的最大值,其实本题可以利用不等式来解决.12、D【解析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算.【详解】由题意.故选:D.【点睛】本题考查等比数列的性质,考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由约束条件先画出可行域,然后求目标函数的最小值.【详解】由约束条件先画出可行域,如图所示,由,即,当平行线经过点时取到最小值,由可得,此时,所以的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查了线性规划的知识,解题的一般步骤为先画出可行域,然后改写目标函数,结合图形求出最值,需要掌握解题方法.14、【解析】由题意得,解得定义域为.15、81【解析】
设数列的公比为,利用等比数列通项公式求出,代入等比数列通项公式即可求解.【详解】设数列的公比为,由题意知,因为,由等比数列通项公式可得,,解得,由等比数列通项公式可得,.故答案为:【点睛】本题考查等比数列通项公式;考查运算求解能力;属于基础题.16、【解析】
把绕着进行旋转,当四点共面时,运用勾股定理即可求得的最小值.【详解】将以为轴旋转至与面在一个平面,展开图如图所示,若,,三点共线时最小为,为直角三角形,故答案为:【点睛】本题考查了空间几何体的翻折,平面内两点之间线段最短,解直角三角形进行求解,考查了空间想象能力和计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)方程的两根为,由题意得,在利用等差数列的通项公式即可得出;(2)利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出.【详解】方程x2-5x+6=0的两根为2,3.由题意得a2=2,a4=3.设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而得a1=.所以{an}的通项公式为an=n+1.(2)设的前n项和为Sn,由(1)知=,则Sn=++…++,Sn=++…++,两式相减得Sn=+-=+-,所以Sn=2-.考点:等差数列的性质;数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用,解答中方程的两根为,由题意得,即可求解数列的通项公式,进而利用错位相减法求和是解答的关键,着重考查了学生的推理能力与运算能力,属于中档试题.18、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)求导,代入,求出在处的导数值及函数值,由此即可求得切线方程;(2)分类讨论得出极大值即可判断.【详解】(1),当时,,,则在的切线方程为;(2)证明:令,解得或,①当时,恒成立,此时函数在上单调递减,∴函数无极值;②当时,令,解得,令,解得或,∴函数在上单调递增,在,上单调递减,∴;③当时,令,解得,令,解得或,∴函数在上单调递增,在,上单调递减,∴,综上,函数的极大值恒大于0.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程,考查利用导数研究函数的极值,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.19、(1);(2).【解析】
(1)将函数的解析式表示为分段函数,然后分、、三段求解不等式,综合可得出不等式的解集;(2)求出函数的最大值,由题意得出,解此不等式即可得出实数的取值范围.【详解】.(1)当时,由,解得,此时;当时,由,解得,此时;当时,由,解得,此时.综上所述,不等式的解集;(2)当时,函数单调递增,则;当时,函数单调递减,则,即;当时,函数单调递减,则.综上所述,函数的最大值为,由题知,,解得.因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了绝对值不等式中的参数问题,考查分类讨论思想的应用,考查运算求解能力,属于中等题.20、(1)见证明;(2)【解析】
(1)利用导数说明函数的单调性,进而求得函数的最小值,得到要证明的结论;(2)问题转化为导函数在区间上有解,法一:对a分类讨论,分别研究a的不同取值下,导函数的单调性及值域,从而得到结论.法二:构造函数,利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域,再利用零点存在定理说明函数存在极值.【详解】(1)当时,,于是,.又因为,当时,且.故当时,,即.所以,函数为上的增函数,于是,.因此,对,;(2)方法一:由题意在上存在极值,则在上存在零点,①当时,为上的增函数,注意到,,所以,存在唯一实数,使得成立.于是,当时,,为上的减函数;当时,,为上的增函数;所以为函数的极小值点;②当时,在上成立,所以在上单调递增,所以在上没有极值;③当时,在上成立,所以在上单调递减,所以在上没有极值,综上所述,使在上存在极值的的取值范围是.方法二:由题意,函数在上存在极值,则在上存在零点.即在上存在零点.设,,则由单调性的性质可得为上的减函数.即的值域为,所以,当实数时,在上存在零点.下面证明,当时,函数在上存在极值.事实上,当时,为上的增函数,注意到,,所以,存在唯一实数,使得成立.于是,当时,,为上的减函数;当时,,为上的增函数;即为函数的极小值点.综上所述,当时,函数在上存在极值.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值,涉及函数的单调性,导数的应用,函数的最值的求法,考查构造法的应用,是一道综合题.21、(2),(2),的最大整数是2.(3)存在,【解析】
(2)由可得(),然后把这两个等式相减,化简得,公差为2,因为,,为等比数列,所以,化简计算得,,从而得到数列的通项公式,再计算出,,,从而可求出数列的通项公式;(2)令,化简计算得,从而可得数列是递增的,所以只要的最小值大于即可,而的最小值为,所以可得答案;(3)由题意可知,,即,这个可看成一个数列的前项和,再写出其前()项和,两式相减得,,利用同样的方法可得.【详解】解:(2)由题,当时,,即当时,①②①-②得,整理得,又因为各项均为正数的数列.故是从第二项的等差数列,公差为2.又恰为等比数列的前3项,故,解得.又,故,因为也成立.故是以为首项,2为公差的等差数列.故.即2,4,8恰为等比数列的前3项,故是以为首项,公比为的等比数列,故.综上,(2)令,则所以数列是递增的,若对均满足,只要的最小值大于即可因为的最小值为,所以,所以的最大整数是2.(3)由,得,
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