浙江省温州市2024年6月普通高中学业水平模拟测试数学

浙江省温州市2024年6月普通高中学业水平模拟测试数学姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合A={x∈N*|0≤x≤3}，B={0,A．{1} B．{0,1} C．{1,2．复数1−i（i为虚数单位）的虚部是（）A．1 B．−1 C．−i D．i3．函数f(x)=1−xA．(0,1) C．(1,+∞) 4．已知向量a=(−2,m)，b=(1,A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．当前我国青少年因脊柱健康患病的人数已经超过了500万，并且还在以每年30万的速度增长。已知某地小学、初中、高中三个学段的学生人数如图所示，为了解该地区学生的脊柱健康状况，现采用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生人数分别为（）A．200，40 B．100，40 C．200，20 D．100，206．下列命题为真命题的是（）A．若a>b>0，则ac2>bc2C．若a<b<0，则a2<ab D．若a<b<07．已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，高为2，则该正四棱台的体积为（）A．1 B．2 C．73 D．8．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（）A．12 B．14 C．169．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若a⊥b，b⊥α，则a∥α B．若a⊥α，b⊥α，则a⊥bC．若a∥α，b⊥α，则a⊥b D．若a∥α，b⊥α，则a∥b10．已知tan(x+y)=2，tan(x−y)=3，则A．7 B．−7 C．17 D．11．已知函数f(x)=cosx，A．函数m(x)=f(x)⋅g(x)在(πB．函数m(x)=f(x)⋅g(x)的最小正周期为πC．函数n(x)=f(x)+g(x)的值域为[−1D．函数n(x)=f(x)+g(x)的一条对称轴为x=12．如图所示，圆柱O1O2的底面半径为43，O1O2=4，AB为圆O1的直径，点C为圆OA．(0,4) C．(0,85二、多项选题（本大题共4小题，小题4分，共16分．在每小题列出的四个选项中有多个符合题目要求，全部选对得4分，选对但不完全的得2分，选错或不选得0分）13．下列选项中正确的是（）A．log31C．0.9914．某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（）A．若不放回取球，则甲乙相互独立B．若有放回取球，则甲乙相互独立C．若不放回取球，则甲乙为互斥事件D．若有放回取球，则甲乙为互斥事件15．双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为F(x)=ex−A．F(x)在R上单调递增B．S(x)的值域为[0C．点(0,12D．函数y=F(x)−S(x)在x∈R上有且仅有一个零点16．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC=12AB=1，点M，N分别为线段AD，BC上的动点，DM=BN=λ(0<λ<1)，点PA．若λ=12B．cosC．|D．若I为△MNP的外心，则DI三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共12分）17．已知x>1，则x+1x−1的最小值为18．已知函数f(x)=−x2+ax+1(a∈R)是偶函数，则a=19．如图，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC=2，D为AB中点，沿CD将△ACD翻折至△A'CD的位置，使得平面A'CD⊥平面BCD20．在△ABC中，已知BC=4，BC=4BD，连接AD，满足DB⋅sin∠ABD=DC⋅sin四、解答题（本大题共3小题，共36分）21．某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，（1）若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名？（2）估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数。22．如图，直线AA'，BB'，CC'相交于点O，AO=A'O，BO=（1）求证：平面ABC⊥平面AOC；（2）M为B'C'中点，求AM23．已知函数f(x)=log2x+a2x（1）若a=0，解不等式f(x)+g(x)≥2；（2）已知a>0，①证明：12②若x1，x2满足log

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由题意可知：A={x∈N*|0≤x≤3}=1，2，3，

所以A∩B=1，2.

故答案为：C.2．【答案】B【解析】【解答】由题意可知：复数1−i（i为虚数单位）的虚部是-1.

故答案为：B.

【分析】根据题意结合复数虚部的定义可得结果.3．【答案】A【解析】【解答】令1-x≥0lnx≠0x>0，解得0<x<1，

所以函数f(x)的定义域为(0,1)4．【答案】B【解析】【解答】因为向量a=(−2,m)，b=(1,1+m)，

若a⊥b，等价于-2+m1+m=0，解得m=1或m=-2，

且1式-2，1的真子集，

所以“a⊥b”是“m=15．【答案】A【解析】【解答】由题意可知：共有3500+4500+2000=10000名学生，

所以样本容量为10000×2%=200，抽取的高中生人数为2000×2%=40.

故答案为：A.

【分析】根据题意结合分层抽样以及抽样的性质分析求解.6．【答案】B【解析】【解答】对于A：若a>b>0，取c=0，则ac2=bc2=0，故A错误；

对于B：若a>b>0，则a2>b2，故B正确；

对于CD：若a<b<0，例如a=-2,b=-1，则a27．【答案】D【解析】【解答】由题意可得：该正四棱台的体积V正四棱台=131+4+8．【答案】D【解析】【解答】记“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”分别为a、b、c、d，从中随机选择两个，所有可能结果为(a,共12个基本事件，且符合题意的为(a,所以所求事件的概率P=1故答案为：D.【分析】根据题意利用列举法求所有基本事件的个数，结合古典概型运算求解.9．【答案】C【解析】【解答】对于A：若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，故A错误；对于B：若a⊥α，b⊥α，由直线与平面垂直的性质可知a//对于C、D：若a∥α，则存在直线a'⊂α，使得因为b⊥α，且a'⊂α，可得所以b⊥a，故C正确，D错误；故答案为：C.【分析】对于A：根据题意分析可知a∥α或a⊂α；对于B：根据直线与平面垂直的性质分析判断；对于CD：根据线面平行的性质结合线面垂直的性质分析判断.10．【答案】A【解析】【解答】令x+y=α,x−y=β，则tanα=2则tan2x=tan2y=所以tan2x故答案为：A.【分析】换元令x+y=α,x−y=β，可得11．【答案】C【解析】【解答】对于A：若x∈(π4,3π4)，则又因为2x∈(π2,3π2所以函数m(x)=f(x)⋅g(x)在(π对于B：因为m(x)=f(x)⋅g(x)=cosx·sinx的定义域为R，所以π不是函数m(x)的最小正周期，故B错误；对于C：因为n(x)=f(x)+g(x)=cosx+sinx的定义域为R，

且n(x+2π)=cos(x+2π)+|sin(x+2π)|=cosx+|sinx|=n(x)，

可知2π是函数n(x)的周期，

又因为n(-x)=cos(-x)+sin(-x)=cosx+sinx=nx，可知n(x)为偶函数，

当x∈[0对于D，因为n(−π4)=cos(−π4)+|sin故答案为：C.【分析】对于A：若x∈(π4,3π4)，可得m(x)=112．【答案】D【解析】【解答】取P所在的母线为DE，连接CE，O1D，O1设PD=h∈(0,4)，则O1可得|PC|2又因为|PE|=4−h，0≤|EC|≤8可得(4−h)2≤|PC|2=16−可得1289≤16−h所以|PC|∈(0,故答案为：D.【分析】设PD=h∈(0,4)，可得|PC|2=16−h2，进而可得13．【答案】A,D【解析】【解答】对于A：因为y=log3x在对于B：因为y=x3在R上单调递增，所以对于C：因为y=0.99x在对于D：由选项C可知：0<0.因为y=3x在R上单调递增，则30故答案为：AD.【分析】对于A：根据对数函数单调性分析判断；对于B：根据幂函数单调性分析判断；对于C：根据指数函数单调性分析判断；对于D：根据指数函数单调性结合中间值1分析判断.14．【答案】A,C,D【解析】【解答】将3个白球2个黑球分别标记为a,b,c和1,对于AC：不放回抽样样本空间为Ω(1,甲事件样本空间为A={(1,共8个样本点，则P(A)=8乙事件样本空间为B={(a(2,a),则A1B1因为P(AB)≠0，且P(AB)≠P(A)P(B)，所以甲乙不为互斥事件，且甲乙不相互独立，故A、C错误；对于BD：有放回抽样样本空间为Ω(c,共25个样本点，甲事件样本空间为A={(1,共10个样本点，则P(A)=10乙事件样本空间为B={(a(1,共15个样本点，则P(B)=15则AB={(1,共6个样本点，P(AB)=6因为P(AB)≠0且P(AB)=P(A)P(B)，所以甲、乙不为互斥事件，且甲乙相互独立，故B正确、D错误；故答案为：ACD.【分析】对于AC：考虑不放回，利用列举法求P(A)，P(B)和P(AB)，结合互斥事件和独立事件分析判断；对于BD：考虑放回，利用列举法求P(A)，P(B)和P(AB)，结合互斥事件和独立事件分析判断.15．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A：由y=ex,所以F(x)=ex−对于B：因为S(x)=1因为ex>0，则0<1所以S(x)的值域为(0对于C：因为F(x)的定义域为R，且F(−x)=e可知F(x)为奇函数；令h(则h(x)的定义域为R可知h(则y=F(x)+S(x)−12为定义在R上的奇函数，其图象关于原点所以y=F(x)+S(x)关于点(0对于D：因为y=F(x)−S(x)=ex−则y'又因为ex+e且0<1可得y'可得y=F(x)−S(x)在R上为增函数，当x=0时，y=−12<0；当x=1所以函数y=F(x)−S(x)在x∈R上有且仅有一个零点，故D正确.故答案为：ACD.【分析】对于A：根据指数函数单调性结合单调性的性质分析判断；对于B：整理可得S(x)=1−11+ex，结合指数函数值域分析求解；对于C：可证F(x)、h(x)=S(x)−116．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A：若λ=12时，可知M,N分别是所以MN=对于B：如图所示，建立平面直角坐标系，连接PC，可知△PCB为正三角形，可知∠DAB=∠CBA=60°，则P(可得PM=则PM⋅|PM所以cos∠MPN=对于C：由选项B知：PM=则PM+所以|PM对于D：在DC上取Q，使得CQ=λ，连接QP,QM,由BN=CQ=λ,BP=CP=1,则NP=QP,且∠CPB=∠CPN+∠NPB=60°，则即∠QPN=60°，则△QPN为正三角形，得同理可得△QPM为正三角形，得QP=QM，所以QP=QN=QM，即Q为△MPN的外心，所以DQ//DC，即故答案为：ABD【分析】对于A：若λ=12时，可知M,N分别是AD,BC的中点，结合梯形中位线分析判断；对于BC：建系标点，可得PM=(−1−λ2,17．【答案】3【解析】【解答】令t=x-1>0，则x=t+1，

则x+1x−1=t+1t+1≥2t×1t+1=3，

当且仅当t=118．【答案】0；(−1【解析】【解答】因为函数f(x)=−则f(−x)=f(x)，即−x整理可得2ax=0恒成立，结合x的任意性可知a=0；可知f(x)=−x2+1，令−x2+1≥0因为y=−x2+1在(−1且y=x在[0可知f(x)在(−1,0)上单调递增，在所以函数f(x)的单调递增区间为(−1,故答案为：0；(−1,【分析】根据题意结合偶函数的定义分析可得a=0，求f(x)的定义域，根据复合函数单调性分析判断.19．【答案】7π【解析】【解答】在△ABC中，因为AC=BC=2，D为BC的中点，则AD⊥BC，即A'D⊥CD，且平面A'CD⊥平面BCD，平面A'CD∩平面可知A'D⊥平面由题意可知：A'将三棱锥A'−BCD补成长方体，则三棱锥则外接球的半径R=(所以三棱锥A'−BCD的外接球的表面积为故答案为：7π.【分析】根据题意可得：A'D⊥CD，CD⊥BD，A'D⊥平面20．【答案】3【解析】【解答】在△ADB中，由正弦定理ADsin∠ABD=在△ADC中，由正弦定理ADsin∠ACD=因为DB⋅sin∠ABD=DC⋅sin即sin∠BAD=又因为∠BAD+∠CAD∈(0,即AD平分∠BAC，可得ABAC令AB=x(x>0)，则AC=3x，在△ABC中，由余弦定理可得BC即16=10x2−6且∠BAC∈(0,π)，则可得S△ABC所以当x2=52，即故答案为：3.【分析】由正弦定理可得sin∠BAD=sin∠CAD，可知AD平分∠BAC，可得ABAC=21．【答案】（1）解：由(0.（2）由(0.设第75百分位数为x,所以第75百分位数在80−90之间，则0.7+(x−80)×0.025=0.所以100名学生数