浙江省北斗星盟2023-2024学年高三下学期适应性联考数学试卷

浙江省北斗星盟2023-2024学年高三下学期适应性联考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|log3(x+2)>1}，B={x|x(x−2)<0}A．∅ B．(0,1) C．(1,2．已知复数z满足(z−1)(1−2i)=5i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量a=m,1，b=m,−1，若3aA．2 B．3 C．3 D．64．已知数列{an}满足a1=2，则“{anA．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件5．在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（）A．11 B．13 C．15 D．176．若sin(α−β)+cos(α−β)=22A．tan(α−β)=−1 B．tan(α−β)=1C．tan(α+β)=−1 D．tan(α+β)=17．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ=x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离PB=y．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是y=A．ln2 B．ln3 C．ln38．设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点为F，过坐标原点的直线与C交于AA．2 B．3 C．5 D．7二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数fxA．fx的最小正周期为T=π B．fx的图象关于C．fx在−π2,0上单调递减 10．已知A，B，C是一个随机试验中的三个事件，且0<P(A)<1，0<P(B)<1，下列说法正确的是（）A．若A与B互斥，则A与B不相互独立B．若A与B相互独立，则A与B不互斥C．若P(A|B)⋅P(B|A)=P(AB)，且P(AB)≠0，则A与B相互独立D．若P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)，则A，B，C两两独立11．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点A．当λ=μ时，则C1P+PDB．过点P在平面ADD1AC．若C1P与AD所成的角为π4D．当λ=1，μ∈0,1时，正方体经过点A、P、C1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若(2x−1x)n展开式的二项式系数之和为128，则展开式中13．已知圆C1：x2+y2=2和圆C2：(x−3)2+(y−4)2=16，过圆C2上一动点P作圆C14．已知函数f(x)=(x−2)ex+lnx，g(x)=ax+b，对任意a∈(−∞,1]，存在x∈(0四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在直角坐标平面内有线段A1A2，已知点A3是线段A1A2上靠近A2的三等分点，点A4是线段A2A3上靠近A3的三等分点，……，点A（1）求证：数列{a（2）若a1=1，a216．在四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，AD=DC=12AB=2，PC=22，E、F分别为直线（1）若异面直线AD与PC所成的角为45°，判断PB与AD是否具有垂直关系并说明理由；（2）若PB=PA=22，EF//PC，求直线AC与平面BEF17．将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回取球.（1）若每次取一个球，求：（ⅰ）前两次均取到红球的概率；（ⅱ）第2次取到红球的概率；（2）若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：（ⅰ）另一个也为红球的概率；（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，F1(−5,0)（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知过点T(3,−1)的直线l与曲线C交于两点M，N，连接AM，（ⅰ）记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：（ⅱ）直线AM，AN与直线y=−12x分别交于B，C19．莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用μ(n)作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数n都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：n=p1r1p2r2⋅⋅⋅pkrk（k为n的质因数个数，pi为质数，ri≥1，i=1,2,⋅⋅⋅,（1）求μ(68)，μ(985)；（2）已知n>1，记n=p1r1p2r2⋅⋅⋅pkrk（k为n（ⅰ）证明：|μ(a（ⅱ）求μ(a1)a1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由log3(x+2)>1，即x+2>3，解得x>1，则集合A={x|x>1}，

由x(x−2)<0，解得0<x<2所以∁RB=(−∞,故答案为：D.【分析】先解对数不等式求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B，再根据补集、交集的定义计算即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：由(z−1)(1−2i)=5i，可得z−1=5i即z=−1+i，z=−1−i，则复数z在复平面内对应的点为(−1故答案为：C.【分析】根据复数的除法运算化简求得复数z=−1+i，再求共轭复数，结合复数的几何意义判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：易得3a−b=2m,4，因为3a−b与b垂直，所以故答案为：B.【分析】根据3a−b与b垂直，可得34．【答案】B【解析】【解答】解：若{an}为等比数列，则an=2qn−1，所以am⋅若am⋅an=am+n（∀m，n∈所以2an=an+1，即a故“{an}为等比数列”是“am⋅故答案为：B.【分析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：设男生体质健康状况的平均数为x，女生的平均数为y，总体的平均数为w，方差为s2则w=s=2故答案为：A.【分析】设男生体质健康状况的平均数为x，女生的平均数为y，总体的平均数为w，方差为s26．【答案】C【解析】【解答】解：sin(α−β)+cos(α−β)=22则sinαcossinαcossinαcos两边同除cosαcosβ，可得则tan(α+β)=故答案为：C.【分析】由题意，利用正弦、余弦的两角和差公式展开化简，再两边同除cosαcos7．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，P点初始速度107即为Q当P在靠近A点的三等分点时：23×10当P在中点时：12×10所以经过的时间为：[10故答案为：D．【分析】易知，它们的初速度相等，故Q点的速度为107，然后可以根据y=107(1e)8．【答案】B【解析】【解答】解：设双曲线C的右焦点为F1，连接AF1，B由双曲线的对称性可得：|AF|=|BF1|则四边形AFBF1是平行四边形，又因为∠AFB=120°，则设|AF|=x，由双曲线的定义可得：|BF|=|AF在△AFB中，由余弦定理可得：|AB|2则(27a)2=x则|AF|=|BF1|=2a在△AFF1则(2c)2整理可得：c2=3a故答案为：B.【分析】设|AF|=x，结合已知条件以及双曲线的定义求得|BF|，再利用余弦定理列方程，求得a,9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、fx+π=1sin(x+π)B、f2π-x=1C、设t=sinx+cosx，则sinx当x∈(−π2,0)时，x+因为g'所以函数gt在−1,1上单调递减，又因为t=2sin所以函数fx在x∈(−D、当x∈(0,π2)时，x+当g't<0，解得x∈1,2当x+π4∈(π4当x+π4∈(π2由复合函数的单调性，可得函数fx在x∈(0,π4所以fx故答案为：BCD.【分析】由fx+π≠fx即可判断A；由f2π-x=−f10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、若A与B互斥，则A与B不能同时发生，即P(AB)=0，因为A∩B表示A与B都不发生，则A∩B的对立事件为A与而P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=P(A)+P(B)，所以P(A因为P(所以P(A∩B)≠P(AB、若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)⋅P(B)，因为0<P(A)<1，0<P(B)<1，所以0<P(A)⋅P(B)<1，则P(AB)≠0，所以A与B不互斥，故B正确；C、若P(A|B)⋅P(B|A)=P(AB)，因为P(A|B)⋅P(B|A)=P(AB)因为P(AB)≠0，则有P(AB)=P(A)⋅P(B)，所以A与B相互独立，故C正确；D、抛掷一枚质地均均的骰子，事件A表示出现点数为1,事件B表示出现点数1,5,6，事件事件ABC表示出现点数为1,P(ABC)=16，满足P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)，事件AB表示出现点数为1,P(AB)=1但P(AB)=16≠P(A)⋅P(B)=36故答案为：ABC.【分析】由题意，根据互斥事件和相互独立事件的概念逐项分析判断即可.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、当λ=μ时，因为点P满足AP=λAD+μAA1，所以AP=λAD+AA1=λ则线段DC1即为C1P+PD的最小值，在△DD解得C1D=2+2，则B、当P在D1时，过点P在平面ADD1C、以D为原点，分别以DA,DC,DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则D(0,0,0),C1(0,1,1),A(1,0,0),B(1,1,0),P(x,0,z)若C1P与AD所成的角为π4，则cosD、当λ=1时，AP=AD+μAA1正方体经过点A、P、C1的截面为平行四边形AP以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D−xyz，如图所示：则A1,0,0，C10,1,1，APC1=0,1,1−μ，PC1=点P到直线AC1的距离为当μ=12时，dmin=2当μ=0或1时，dmax=63，所以正方体经过点A、P、C1的截面面积的取值范围为6故答案为：ACD．【分析】将平面AD1D展开到与D1ABC1同一平面，由两点间线段最短得解即可判断A；当P12．【答案】280【解析】【解答】解：由(2x−1x)n展开式的二项式系数之和为128，则则(2x−1x)令7−32r=1，解得：r=4，则展开式中x故答案为：280.

【分析】由二项式系数和为128，求得n，再写出(2x−1x)13．【答案】x=−1（答案不唯一）【解析】【解答】解：易知圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1=设O到直线AB的距离为d，则AB=22−d2则S△AOB=12AB⋅d=d2−d2=−d当直线AB的斜率存在时，设AB：y=kx+m，则由题意可得1=|m|k化简可得|3k+m−4|=|4m|，即3k−3m=4或3k+5m=4，代入①可解得k=−34m=所以满足条件的切线方程为x=−1或y=−34x+故答案为：x=−1（答案不唯一）.【分析】由圆的弦长公式求出AB=22−d2，再利用三角形面积公式求出面积最大时的d=114．【答案】-4【解析】【解答】解：对任意a∈(−∞,1]，且x>0时，因为存在x∈(0,1)使得不等式f(x)≥g(x)成立，所以存在x∈(0,1)使得(x−2)e令F(x)=(x−2)ex+lnx−x令m(x)=ex−1x，x∈(0,1)，则m(x)所以∃x0∈(12,1)所以当0<x<x0时F'(x)>0，当所以F(x)在(0,x0所以F(x)因为x0∈(12,依题意b≤F(x)max，又b为整数，所以b≤−4，所以b的最大值为−4.【分析】由题意存在x∈(0,1)使得(x−2)ex+lnx≥x+b，参变分离可得(x−2)ex+ln15．【答案】（1）证明：由题意an+2−a所以3an+2−3a所以数列{an+1−an（2）解：因为a1=1，a2因为数列{an+1−所以n≥2时，an由累加法可得n≥2时，a=41−所以，当n≥2时，an经检验，a1=1满足上式，所以【解析】【分析】（1）由题意，可得an+2−ana（2）根据题意，求得a2−a1=4，求得a16．【答案】（1）解：取AB的中点G，连接CG，PG，如图所示：因为CG//AD，所以∠PCG（或其补角）为异面直线AD与PC所成的角，①当∠PCG=45°时，在△PCG中，PC=22，CG=2由余弦定理可知PG=2，故CGCG⊥PG，所以AD⊥PG，又AD⊥AB，AB∩PG=G，AB，PG⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，AD⊥PB.②当∠PCG=135°，假设AD⊥PB，则有AD⊥平面PAB，因为PG⊂平面PAB，所以AD⊥PG，CG⊥PG，这与∠PCG=135°相矛盾，故此时AD与PB不垂直.综上所述，当∠PCG=45°时，AD⊥PB；当∠PCG=135°时，AD与PB不垂直.（2）解：由PB=PA=22，AB=4可得PG=2，故PG⊥AB，PG⊥GC故可以G为坐标原点，GB，GC，GP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.故A(−2,0,0)，B(2,0,因为EF//PC，设平面BEF的法向量为n=(x,设E(t,2,0)，则BE令x=2，则y=z=2−t，故平面BEF的一个法向量为n=(2设直线AC与平面BEF所成的角为θ，则sin=|令t−4=s，则sin当s=0时，sinθ=0当s≠0时，sinθ=1（当且仅当s=−3，t=1时取“＝”）.又0°≤θ≤90°，所以θ≤60°.综上所述，直线AC与平面BEF所成角的最大值为60°.【解析】【分析】（1）取AB的中点G，连接CG，PG，即可说明CG//AD，则∠PCG（或其补角）为异面直线AD与PC所成的角，分∠PCG=45°和∠PCG=135°两种情况讨论，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）以G为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.17．【答案】（1）解：（ⅰ）前两次均取到红球即为事件A1A2（ⅱ）P(=P(A（2）解：（ⅰ）事件：其中有一个球为红球的“对立事件”为：两个球均为白球，即为事件B1B2所以在一个球为红球的前提下另一个球也为红球的概率P=1（ⅱ）若不换：在取到的一个球为红球的前提下取到的另一个球也为红球的概率记为P1若换：换后取到红球的概率记为P2由于P1【解析】【分析】（1）不放回取球可以用条件概率公式的变式公式