云南省曲靖市2023-2024学年高三第二次教学质量监测数学试题

云南省曲靖市2023-2024学年高三第二次教学质量监测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y=2x−1(x∈{1,A．[1,5] B．{1,3,5}2．小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（）A．25元 B．18元 C．20元 D．16元3．曲线x2A．7π B．7π C．3π D．4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若A．−12或1 B．12或1 C．−5．大年初一，爷爷､奶奶､爸爸､妈妈､读高中的姐姐以及刚满周岁的小弟弟一家六口外出游玩，到某处景点时站成一排拍照，小弟弟由其中任意一人抱着，则不同的站法共有（）A．120种 B．480种 C．600种 D．720种6．在三棱锥O−ABC中，OA,OB,OC两两垂直，OA=OC=3,A．132 B．21313 C．27．已知O是△ABC的外心，AB+AC=2AO，|OAA．−14BC B．−24BC8．设点A,B的坐标分别是(−5,0),(5,0)，M是平面内的动点，直线MA,MB的斜率之积为λ，动点A．25411 B．25311 C．1211二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列命题正确的是（）A．(x−1x)B．(x+1C．(x+1D．(x−110．已知集合S,T，定义A．若S={1921,1949},T={0,B．若S={2021},R表示实数集，RC．若S={2024},RD．若S={2049},R+表示正实数集，函数f(x)=lo11．如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，水面在筒车圆弧内的宽度为3m.记筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m，在水面以下时d<0），若在盛水筒P某次刚出水面时开始计时，时间用t（单位：A．d与t之间的函数关系是d=3cos(B．d与t之间的函数关系是d=3sin(C．时间恰好到1小时时，水筒P处在水面以下D．筒车旋转3周，盛水筒P离开水面的时间总和等于100s三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．抽样统计得到某班8名女生的身高分别为160,155,13．已知x∈C，若x2+x+1=0，则|−1+14．设M,N是同一平面上的两个区域，点P∈M，点Q∈N,P,Q两点间距离的最小值叫做区域M,N间的距离，记作d(M四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；（2）若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数X的分布列和均值.16．已知函数f(x)=(x+a)e（1）求函数f(x)的图象在点T(0,（2）讨论方程f(x)=b的实根的个数.17．小红同学利用计算机动画演示圆柱的形成过程，将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转π2弧度时，CD到达EF（1）求证：平面ACF⊥平面BDE；（2）若M是DF的中点，求二面角C−AM−E的正弦值.18．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为（1）求角B的取值范围；（2）已知△ABC内切圆的半径等于32，求△ABC19．已知一菱形的边长为2，且较小内角等于60∘，以菱形的对角线所在直线为对称轴的椭圆（1）建立恰当的平面直角坐标系，求椭圆C的方程；（2）已知椭圆C所在平面上的点D到椭圆C的长轴､短轴的距离依次是33,2，点A,B在椭圆C上，直线AD（3）在（2）的条件下求△ABD面积的最大值.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：x=1时，y=2×1−1=1，x=2时，y=2×2−1=3，x=3时，y=2×3−1=5，所以y=2x−1(x∈{1,故答案为：B.【分析】把x的值代入解析式计算即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：因为三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，所以该数列为非零常数列，所以每本书的单价为603故答案为：C.【分析】根据已知条件知该数列为非零常数列，由60元恰好购买了3本课外书可求出单价.3．【答案】D【解析】【解答】解：由x2+y所以该曲线围成区域为半径为3的圆，面积为S=πr故答案为：D.【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定半径即可得解.4．【答案】A【解析】【解答】解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题可得a3故答案为：A.【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式列方程组，求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：先考虑谁抱着小弟弟，有5种可能，然后对5人进行全排列有A5所以共有5A故答案为：C.【分析】首先考虑谁抱着小弟弟，有5种可能，再对5人进行全排列即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：如图，

取AC的中点为D，连接OD,BD，作OE⊥BD交BD于E因为BO⊥OA，BO⊥OC，且OA∩OC=O，OA、OC⊂平面OAC，所以BO⊥平面OAC，

因为AC⊂平面OAC，所以BO⊥AC，因为OA=OC，D为AC的中点，所以OD⊥AC，因为BO∩OD=O，BO、OD⊂平面OBD，所以AC⊥平面OBD，OE⊂平面OBD，所以OE⊥AC，因为BD∩AC=D，BD、AC⊂平面ABC，所以OE⊥平面ABC，所以∠OBD就是直线OB与平面ABC所成的角，因为BO⊥OD,OD=1故答案为：D.【分析】取AC的中点D，作OE⊥BD交BD于E点，由线面垂直的判定定理和线面角的定义可得∠OBD就是直线OB与平面ABC所成的角，在Rt△BOD中计算即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：由AB+AC=2AO，所以O是BC的中点，又因为O是△ABC的外心，所以∠BAC=90∘，

因为|OA解法一：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD=12BO=所以向量AC在向量BC上的投影向量等于DC=解法二：设|BC|=2，则|AB所以向量AC在向量BC上的投影向量等于AC⋅故答案为：C.【分析】由AB+AC=2AO题意可知O是BC的中点，从而得到∠BAC=90∘，∠ACB=30∘，解法一：过点A作AD⊥BC，垂足为D，即可得到CD=38．【答案】B【解析】【解答】解：设M(x,y)，由题意可得yx+5⋅y设轨迹C与曲线y2=2|x|在第一象限的交点为P(x0,y0)，（x0>0,y0因为P(6,23)在曲线轨迹C的方程可化为x225−y2e2=c故答案为：B.【分析】由题意求点M的轨迹方程，再根据对称性，利用坐标表示四边形的面积，并求双曲线方程，即可得解.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、(x−1x)令6−2r=6，得r=0，含x6的项为TB、(x+1x)令6−2r=0，解得r=3，所以常数项为T4C、由(x+1x)6可知D、令x=1，所有项系数之和为(1−1)6故答案为：ABC.【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式可判断A，B；根据二项式系数之和为2n可判断C；令x=110．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、S={1921,1949},T={0,ST与TB、SRC、RS={y|可知幂函数y=x2024(x∈R)的值域为[0D、因为x∈(R+)S={x|故答案为：BD.【分析】根据题意可得TS={0,11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：如图，

对于AB选项，盛水筒P做匀速圆周运动，可设d与t之间的函数关系式为：d=3sin(ωt+φ)+h0因为筒车每分钟转1.5圈，所以周期为40s，ω=2π因为AB=OA=OB=r=3,

所以D到筒车轴心的距离h若在盛水筒P某次刚出水面时开始计时，则初相φ=−π3，

得由诱导公式可得：sin(π对于C选项，t=1h=3600s时，d=3sin(π对于D选项，筒车旋转1周，P离开水面的时段所对应的圆心角大小为2π−π3=5π3，对应时长为5π3×故答案为：ABD.【分析】设函数关系式为d=3sin(ωt+φ)+h0(t≥0)12．【答案】159【解析】【解答】解：将数据由小到大排列：154,8×75%=6，第75百分位数是故答案为：159.【分析】根据百分位数的估计公式计算即可.13．【答案】3【解析】【解答】解：x2x=−故答案为：3.【分析】利用配方法求出x，即可得出x，再由模的定义求解即可.14．【答案】20252【解析】【解答】解：d(M,N)表示函数y=ex+2024图象上的动点P与函数y=ln(x−2024)y=ex+2024⇔ex所以y=ex+2024与y=ln(x−2024)所以|PQ|min恰好等于函数y=exP(x,y)到直线y=x的距离设f(x)=ex−x+2024当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f'所以f(所以d(x)故答案为：20252【分析】d(M,N)表示函数y=ex+2024图象上的动点P15．【答案】（1）解：角度一：∵第一次摸到白球，∴第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，∴所求概率P=1角度二：设A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”，则P(A)=25∴所求概率P=P(B|A)=P(AB)（2）解：X的所有可能取值为0,P(X=0)=(35P(X=2)=C32X的分布列为：X0123P2754368∵X∼B(3,25)，【解析】【分析】（1）根据条件概率公式即可得解；（2）先写出随机变量的可能取值，再求出概率，即可求出分布列和期望.16．【答案】（1）解：∵f(x)又∵f∴函数f(x)的图象在点T(0,f(0))处的切线方程为即y=(a+1)x+a.（2）解：∵函数f(x)的定义域为R，且f'∴x<−a−1时，f'(x)<0，x>−a−1时，∴f(x)在(−∞,−a−1)上单调递减，在∴f(∵x<−a时，f(x)<0，x>−a时，f(x)>0，x→−∞时f(x)→0,x→+∞时∴f(x)的大致图象如图所示∴当b<−1ea+1当b=−1ea+1或b≥0当−1ea+1【解析】【分析】（1）求导，进而求得f'(0（2）求导，f'(x)=(x+a+1)ex，可知f(x)在(−∞,−a−1)上单调递减，在(−a−1,+∞)上单调递增，又17．【答案】（1）证明：∵AF⊥AB,AF⊥AD,∴AF⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AF⊥BD，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又AC∩AF=A,AC,∴BD⊥平面ACF，又BD⊂平面BDE,∴平面ACF⊥（2）解：由（1）知：AD,AF,AB两两垂直，以A为坐标原点，AD∵∠MAD=45∘，不妨设则A(∴AM设m=(x,y则AC·m=2x+2z=0AM·同理可得平面AME的一个法向量为n=(1∴|cos即二面角C−AM−E的余弦值的绝对值为1∴二面角C−AM−E的正弦值为22【解析】【分析】（1）易证AF⊥平面ABCD，可得AF⊥BD，又AC⊥BD，可证得BD⊥平面ACF，由面面垂直的判定定理即可得证；（2）以A为原点，AD,AF,AB所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出平面AMC的一个法向量18．【答案】（1）解：∵a由正弦定理得：sinAcosC+3∴sinAcos∴3∵sin∵−π6<A−π6∴角B的取值范围是(0,（2）解：∵S=1∴a+b+c=bc，即a=−b−c+bc，由余弦定理得：a2∴(∴bc=2(b+c)−3.，∵bc≤(b+c2∴2(b+c)−3≤(设△ABC与圆内切于点D,E,∴b+c=AC+AB>AD+AF=3∴b+c≥6（当且仅当b=c=3时取等号）.△ABC的周长L=a+b+c=b==32(∴L∵c=AB>DB=r∴B→0时，c→+∞，L→+∞，∴△ABC的周长的取值范围是[9,【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角可得sinAcosC+3sinCsinA=sinB+sinC，利用三角恒等变换可得sin(A−π6（2）由三角形的面积可求得a=−b−c+bc，再由余弦定理可得(bc)2−2bc(b+c)+(b+c)2=(b+c19．【答案】（1）解：∵菱形边长等于2且较小内角等于60∴菱形较短对角线的长度为2，较长对角线的长度为22以菱形较长对角线所在直线为x轴，较短对角线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设椭圆的方程为x2a2∴椭圆C的方程为x2（2）解：由对称性，不妨设点D位于第一象限，则D(2,3∵直线AD,BD与x轴的两个夹角相等，∴直线设直线AD的斜率为k，则直线AD的方程为：y−3即y=kx+33−得(1+3k设A(x1,y1∴2将x1中的k换为−k得：x又∵直线BD的方程为：y=−kx+3∴=−k(由对称性知，不管点D位于哪个象限，直线AB与菱形两条对角线的夹角是互余的，∴直线AB与菱形对角线的夹角的正切值等于63和6（3）解：点D位于第一象限时，设直线AB的方程为：y=由x23+由Δ=−4t2+12>0|AB|=1+点D到直线AB的距离d=|2∴