人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：1 1 2 空间向量的数量积运算

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE11．1.2空间向量的数量积运算学习目标1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题．知识点一空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.思考当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？〖答案〗当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向．知识点二空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).思考1向量的数量积运算是否满足结合律？〖答案〗不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的．思考2对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝eq\f(k,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或b＝\f(k,a)))？〖答案〗不能，向量没有除法．知识点三向量a的投影1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．1．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角等于向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))的夹角．(×)2．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(×)3．对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×)4．若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(√)一、数量积的计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).解(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)cos60°＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)cos120°＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉－|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝cos60°－cos60°＝0.反思感悟求空间向量数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．跟踪训练1(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于()A．1 B．2C．3 D．4〖答案〗A〖解析〗∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.〖答案〗2〖解析〗∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝4－0＋0－2＝2.二、利用数量积证明垂直问题例2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.证明设eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.∵eq\o(A1O,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c，∴eq\o(A1O,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)＝c·b－c·a＋eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2－eq\f(1,2)b·a＝eq\f(1,2)(b2－a2)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.于是eq\o(A1O,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即A1O⊥BD.同理可证eq\o(A1O,\s\up6(→))⊥eq\o(OG,\s\up6(→))，即A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.反思感悟用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．跟踪训练2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.证明在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得，BD＝eq\r(3)AD，所以AD2＋BD2＝AB2，所以DA⊥BD，则eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝0.又eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，即PA⊥BD.三、用数量积求解夹角和模例3如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．(1)求eq\o(BN,\s\up6(→))的模；(2)求cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉的值．解由已知得|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(CC1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→)).〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))〉＝90°，所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.(1)因为eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，所以|eq\o(BN,\s\up6(→))|2＝eq\o(BN,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(CC1,\s\up6(→))－\o(CB,\s\up6(→))))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(CC1,\s\up6(→))2＋eq\o(CB,\s\up6(→))2＝12＋eq\f(1,4)×22＋12＝3，所以|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(BN,\s\up6(→))|2)＝eq\r(3).(2)因为eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))，所以|eq\o(BA1,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA1,\s\up6(→))2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(CC1,\s\up6(→))2＋eq\o(CB,\s\up6(→))2＝12＋22＋12＝6，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|2＝eq\o(CB1,\s\up6(→))2＝(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))2＝eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\o(CC1,\s\up6(→))2＝12＋22＝5，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝eq\o(CC1,\s\up6(→))2－eq\o(CB,\s\up6(→))2＝22－12＝3，所以cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(CB1,\s\up6(→)),|\o(BA1,\s\up6(→))||\o(CB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,\r(6)×\r(5))＝eq\f(\r(30),10).延伸探究1．(变结论)本例中条件不变，求eq\o(BN,\s\up6(→))与eq\o(CB1,\s\up6(→))夹角的余弦值．解由例题知，|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(BN,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(CC1,\s\up6(→))－\o(CB,\s\up6(→))))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))2－eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)×22－12＝1.所以cos〈eq\o(BN,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BN,\s\up6(→))·\o(CB1,\s\up6(→)),|\o(BN,\s\up6(→))||\o(CB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(3)×\r(5))＝eq\f(\r(15),15).所以eq\o(BN,\s\up6(→))与eq\o(CB1,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq\f(\r(15),15).2．(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角．解由已知得|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CC1,\s\up6(→))|＝1，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，因为|eq\o(CA1,\s\up6(→))|2＝eq\o(CA1,\s\up6(→))2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(CC1,\s\up6(→))2＝12＋12＝2，所以|eq\o(CA1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))2＝eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))2＝12＋12＝2，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，又因为eq\o(CA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))·(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))2＝－1.所以cos〈eq\o(CA1,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(CA1,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(CA1,\s\up6(→))||\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,2).所以〈eq\o(CA1,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝120°，所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.反思感悟求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉．(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝eq\r(a2)，计算出|a|，即得所求长度(距离)．跟踪训练3(1)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，则〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉等于()A．30° B．60°C．90° D．120°〖答案〗D(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为()A．6 B.eq\r(6)C．3 D.eq\r(3)〖答案〗B〖解析〗设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).由eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c得|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，故选B.1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(C1A1,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(A1D1,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(B1A1,\s\up6(→))〖答案〗A2．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有()A.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(C1A,\s\up6(→))＝a2 B.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\r(2)a2C.eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝a2 D.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(C1A1,\s\up6(→))＝a2〖答案〗C3．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．0〖答案〗D〖解析〗eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＝eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|－eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,