2025年高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第7讲　探究性问题原卷版

第7讲探究性问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】探究性问题 2【专题精练】 6真真题自测一、解答题1．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．(1)求椭圆方程．(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．2．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点.(1)若点的横坐标为2，求的长;(2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围(3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.考点突破考点突破【考点一】探究性问题一、单选题1．（2024·湖南益阳·一模）已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（

）A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形C．存在四边形是菱形 D．存在四边形是矩形2．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（

）①关于轴不对称②关于轴对称③直线与只有一个交点④上存在点，使得A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2024·福建泉州·二模）双曲线，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，则下列命题正确的是（

）A．存在直线l，使得B．当且仅当直线l平行于x轴时，C．存在过的直线l，使得取到最大值D．若直线l的方程为，则双曲线C的离心率为二、多选题4．（2025·四川巴中·模拟预测）已知A，B为双曲线的左，右顶点，分别为双曲线C的左，右焦点．下列命题中正确的是（

）A．若R为双曲线C上一点，且，则B．到双曲线C的渐近线的距离为C．若P为双曲线C上非顶点的任意一点，则直线的斜率之积为2D．双曲线C上存在不同两点关于点对称5．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（

）A．若直线的斜率存在，则的取值范围为B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6C．当时，的面积为12D．当时，6．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则（

）A．若为的中线，则B．若为的角平分线，则C．存在直线，使得D．对于任意直线，都有三、填空题7．（2024·北京顺义·三模）已知直线l经过点，曲线：.①曲线经过原点且关于对称；②当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为；③当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个④存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2以上说法正确的是8．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，，，直线与轴交于点，抛物线：上存在两点，，，从点向直线作垂线，则垂足的轨迹方程为．9．（2024·浙江温州·模拟预测）椭圆的右焦点是F，过F的直线交椭圆C于A，B两点.点O是坐标原点，若直线AB上存在异于F的点P，使得，则的取值范围是.四、解答题10．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点F₂到双曲线.渐近线的距离为(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线与椭圆C交于A、B两点.①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为求实数k的值；②若直线过定点P(0,2)，且k>0，在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形?若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.11．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2.(1)求的方程；(2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值.12．（2024·全国·二模）椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，过点的动直线与椭圆相交于P，Q两点，当直线的斜率为1时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线AP与直线的交点为，是否存在定实数，使Q，B，N三点共线?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.规律方法：探索性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·北京丰台·二模）已知曲线与直线，那么下列结论正确的是（

）A．当时，对于任意的，曲线与直线恰有两个公共点B．当时，存在，曲线与直线恰有三个公共点C．当时，对于任意的，曲线与直线恰有两个公共点D．当时，存在，曲线与直线恰有三个公共点2．（2024·云南大理·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（

）A．5 B． C．4 D．3．（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知坐标原点为，抛物线的焦点为．若第一象限内的抛物线上存在一点，使得的外接圆与抛物线的准线相切，则直线与外接圆的关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心二、多选题5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知椭圆方程为，则下列说法错误的是（

）．A． B．存在m值使椭圆的离心率C．椭圆的焦距不确定 D．椭圆的焦点在y轴6．（2024·河南南阳·模拟预测）已知椭圆，点分别为的左､右焦点，点分别为的左､右顶点，过原点且斜率不为0的直线与交于两点，直线与交于另一点，则（

）A．的离心率为B．的最小值为C．上存在一点，使D．面积的最大值为27．（2024·安徽阜阳·一模）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（

）A．的最小值为4 B．为定值C．存在点，使得 D．8．（2022·广东韶关·二模）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（

）A．对于任意直线，均有B．不存在直线，满足C．对于任意直线，直线与抛物线相切D．存在直线，使三、填空题9．（2024·全国·模拟预测）在抛物线上存在一动点（非原点），过点作抛物线的切线分别交轴、轴于点，过点作的垂线分别交轴、轴于点．若与的面积相等，则直线的方程为．10．（22-23高二下·河南新乡·期末）已知抛物线上存在两点（异于坐标原点），使得，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小值为．11．（2023·上海闵行·二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为.12．（2023·安徽安庆·二模）已知在平面直角坐标系中椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上不同于四个顶点的任意一点，延长线段到，若在轴上存在一点，满足，垂足为，则.四、解答题13．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知A0,3和是椭圆Γ：上两点，O是坐标原点.(1)求椭圆Γ的离心率；(2)若过点P的直线交Γ于另一点B，且的面积为9，求直线的方程：(3)过中点的动直线与椭圆Γ有两个交点M，N，试判断在轴上是否存在点使得.若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由.14．（2022·广东茂名·一模）已知椭圆C：经过点，其右焦点为Fc,0，下顶点为B，直线BF与椭圆C交于另一点D，且．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，过点M作x轴的垂线，垂足为A，过点A的直线与C交于P，Q两点，直线OP与交于点H．直线OQ与交于点G，设的面积为，的面积为，试探究是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ的方程；若不存在，请说明理由．15．（2024·山西吕梁·三模）如图，已知分别为椭圆的左，右焦点，Px0,y0椭圆上的动点，若到左焦点距离的最大值为，最小值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过动点Px0,y0作椭圆的切线，分别与直线和相交于两点，记四边形的对角线相交于点，问：是否存在两个定点，使得