2025年高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系原卷版

第3讲直线与圆锥曲线的位置关系（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】弦长问题 2【考点二】面积问题 4【考点三】中点弦问题 5【专题精练】 7考情分析：直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．二、解答题2．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．3．（2023·全国·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．4．（2022·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．考点突破考点突破【考点一】弦长问题核心梳理：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).一、单选题1．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆，其右焦点为，若直线过点与交于，则最小值为（

）A． B．1 C． D．22．（2024·北京·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（

）A． B．9 C． D．6二、多选题3．（2024·山东·二模）已知抛物线焦点为，过点（不与点重合）的直线交于两点，为坐标原点，直线分别交于两点，，则（

）A． B．直线过定点C．的最小值为 D．的最小值为4．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，且与在第四象限交于点的左、右焦点分别为，则（

）A．离心率为 B．的周长为C．以为直径的圆过点 D．三、填空题5．（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是；直线与双曲线相交于，两点，则.6．（2024·黑龙江·二模）已知抛物线，经过焦点斜率为的直线交抛物线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的值为.规律方法：(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．(3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．【考点二】面积问题一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，直线与交于两点，四边形的周长为，若的面积是的面积的2倍（为坐标原点），则（

）A． B． C． D．2．（2024·天津·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为6，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，过点向双曲线的渐近线作垂线，垂足为，则与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（

）．A．2 B． C． D．3二、多选题3．（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（

）A．点的纵坐标为 B．的准线方程为C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为164．（2024·广东·三模）已知椭圆的长轴端点分别为､两个焦点分别为是上任意一点，则（

）A．的离心率为 B．的周长为C．面积的最大值为 D．三、填空题5．（2024·湖南常德·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为.6．（2024·江西南昌·二模）如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为.规律方法：圆锥曲线中求解三角形面积的方法(1)常规面积公式：S＝eq\f(1,2)×底×高．(2)正弦面积公式：S＝eq\f(1,2)absinC.(3)铅锤水平面面积公式：①过x轴上的定点：S＝eq\f(1,2)a|y1－y2|(a为x轴上定长)；②过y轴上的定点：S＝eq\f(1,2)a|x1－x2|(a为y轴上定长)．【考点三】中点弦问题核心梳理：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.若E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝eq\f(p,y0).一、单选题1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（

）A． B． C． D．2．（2024·广东肇庆·一模）已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（

）A．双曲线的离心率B．为定值C．AB的最小值为3D．若直线与双曲线的渐近线交于、两点，点为的中点，（为坐标原点）的斜率为，则4．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（

）A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上C．为定值 D．为定值（为抛物线的焦点）三、填空题5．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线，直线和相互平行，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点，直线和交于点（异于坐标原点）.若直线的斜率为3，直线是坐标原点的斜率，则双曲线的离心率的取值范围为.6．（2023·北京朝阳·二模）已知圆A：，抛物线C：，则圆心A到抛物线C的准线的距离为；过圆心A的直线与圆A相交于P，Q两点，与抛物线C相交于M，N两点，若，则.规律方法：处理中点弦问题常用的求解方法专题精练专题精练一、单选题1．（2024·四川内江·三模）设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（

）A． B．1或 C． D．1或2．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E的渐近线交于M、N两点，若则E的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．[3，2]4．（2023·陕西商洛·三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的的弦中最短的弦长为8，点在上，是线段上靠近点的五等分点，则（为坐标原点）的最大值为（

）A． B． C． D．6．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（

）A．2 B．4 C．6 D．87．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆过点，其右顶点，上顶点．那么以下说法正确的是（

）A．设是半焦距到的其中一个焦点的距离，那么必然有B．到直线的距离不是定值C．和没有交点D．三角形面积的取值范围是8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线为坐标原点，若直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则内切圆的半径等于（

）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（

）A．的面积为B．的离心率为C．点到轴的距离为D．10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线与双曲线，其中，则下列说法中正确的是（

）A．双曲线的焦距之比为B．双曲线的离心率相同，渐近线也相同C．过上的任一点引的切线交于点，则点为线段的中点D．斜率为的直线与，的右支由上到下依次交于点，则11．（2024·河北唐山·二模）设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（

）A． B．以为直径的圆与相切C．以为直径的圆过坐标原点 D．为直角三角形三、填空题12．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，平行于轴的直线与交于点，平行于轴的直线与交于点，直线与直线在第一象限交于点，且，，，，若过点的直线与交于点，且点为的中点，则的方程为．13．（2023·河南·模拟预测）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为．14．（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为.四、解答题15．（2020·浙江·模拟预测）已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线的方程；(2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，①求证：；②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.16．（2024·福建漳州·模拟预测）已知，我们称双曲线与椭圆互为“伴随曲线”，点为双曲线和椭圆的下顶点.(1)若为椭圆的上顶点，直线与交于，两点，证明：直线，的交点在双曲线上；(2)过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，双曲线的一条渐近线方程为，若为双曲线的上焦点，直线经过且与双曲线上支交于，两点，记的面积为，（为坐标原点），的面积为.（i）求双曲线的方程；（ii）证明：.17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．(1)求的方程．(2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．(3)证明：点H在直线