高中数学复习专题04 立体几何中的由夹角求其它量问题(原卷版)

第三篇立体几何专题04立体几何中的由夹角求其他量问题常见考点考点一已知线线角求其他量典例1．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求证：AB⊥A1C；（2）在棱AA1上是否存在一点F，使得异面直线AC1与BF所成角为60°，若存在，求出AF长；若不存在，请说明理由．变式1-1．如图：在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.（1）求证：平面；（2）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.变式1-2．如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形且垂直于底面，底面是矩形，，是的中点.（1）证明：平面；（2）点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.变式1-3．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成夹角的正切值；(3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长.考点二已知线面角求其他量典例2．已知梯形如图甲所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图乙所示的几何体．(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.变式2-1．如图甲，正方形边长为12，，，，分别交，于点，，将正方形沿，折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱，点在该三棱柱底边上．（1）若，证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．变式2-2．如图，三棱柱所有的棱长为2，，M是棱BC的中点.（Ⅰ）求证：平面ABC;（Ⅱ）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC所成角的正弦值为?若存在，求出CP的值;若不存在，请说明理由.变式2-3．如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点､分别是､的中点，是线段上的点.（1）求证：平面平面；（2）当时，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.考点三已知二面角求其他量典例3．如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC．(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.变式3-1．如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，､，，，PC与AD相交于O，现沿着AD折成四棱锥（如图2）.(1)当四棱锥的体积最大时，求点B到平面PCD的距离；(2)在（1）的条件下，线段PD上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.变式3-2．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，于点D，点E在侧棱PC上，且．(1)证明：平面ACD；(2)是否存在λ，使二面角的余弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．变式3-3．如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（1）求证：平面CC1D1D⊥底面ABCD；（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段ED1的长度．巩固练习练习一已知线线角求其他量1．已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，点是线段中点．（1）求证：平面；（2）求平面和平面的锐二面角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得与所成的角为？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．2．如图，在三棱锥中，底面.点D，E，N分别为棱的中点，M是线段的中点，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.3．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，且，，、分别、的中点.（1）证明：；（2）设，点在线段上，且异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.4．等边的边长为3，点，分别是，上的点，且满足.（如图（1）)，将沿折起到的位置，使面平面，连接，(如图（2）).（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.练习二已知线面角求其他量5．如图，在正方体中，E为棱上一点.(1)若E为棱的中点，求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.6．如图，四棱锥中，，，且是边长为2的等边三角形.(1)若，求证：；(2)若平面平面ABCD，，直线SC与平面SAB所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.7．在正四棱柱中，，E为的中点.（用向量的方法证明）(1)求证：平面.（用向量的方法证明）(2)若F为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求BF的长.8．如图，在五棱锥中，平面平面，是等边三角形，点、分别为和的中点，，，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)设是线段上的动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.练习三已知二面角求其他量9．如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若E是PB的中点，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．10．如图，在四棱柱中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，E是PD的中点．(1)求证：平面平面PDC；(2)若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．11．如图四棱锥P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等边三角形.(1)设面PAB面PDC=l，证明: