高考数学艺体生一轮复习高分突破讲义：专题24 空间几何体的表面积与体积【艺体生专供-选择填空抢分专题】2023年高考高频考点题

【艺体生专供一选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）

专题24空间几何体的表面积和体积

一、考向解读

考向：通过考杳几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特

征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养

考点：空间几何体的表面积和体积

导师建议：难点是组合体的表面积，需要对基本的立体图形非常熟悉！

二、知识点汇总

1.棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体：棱长都相等的长方体.

2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体

叫做棱锥.

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.

3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥

截得的棱台叫做正棱台.

4.圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

5.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几

何体叫做圆锥.

6.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

7.球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面.旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球.

球

三、题型专项训练

目录一览

①柱、锥、台的表面积

②柱、锥、台的体积

③球的表面积和体积

④组合体的表面积和体积

⑤多选题与填空题

高考题精选

题型精练，巩固基础

①柱、锥、台的表面积

一、单选题

1.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为‘‘里堵"，已知某"堑堵''的底面是斜边长为联勺

等腰直角三角形，高为.则该“堑堵”的表面积为（）

A.|回百冲B.|凶器叫C.|因TD.|国洒辨

【答案】D

【分析】利用柱体的表面积公式可求得结果.

［详解］由题意可知，该“堑堵”的表面积为|回…-…….

故选：D.

2.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧楂长为4,则其侧面积等于（）

A.12B.48C.64D.72

【答案】D

【分析】由六棱柱的底面是边长为3的正六边形，求出底面周长，再由侧棱长，即棱柱的高为4,代入棱柱

侧面积公式，可得答案.

【详解】解：取棱柱的底面是边长为3的正六边形,

故底面周长［有一~~1,

又柳面是矩形，侧棱长为4,

故棱柱的高耳

谡柱的侧面积［臼I,

故选：D

3.某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半球形，半径|区］.中间可视为圆柱，若该种胶

囊的表面积为国，则该种胶囊的体积为（）

A.叵［B.回C.眄父D.回；

【答案】A

【分析】设圆柱高为小左、右两端半球形半径犯其表面积为S,胶囊的体积为国由圆柱侧面积和

球的表面积公式列出等式，用国表示出,然后由圆柱与球体积公式求得［百并代入已知可得.

【详解】设圆柱高为由左、右两端半球形半径犯其表面积为S,胶囊的体积为Q依题意,

，故区，将I冈---------入可得

Ewm5*—*――-

故选：A

4.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.

它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙所示.

已知半球的半径为母酒杯内壁表面枳为国二则圆柱的高和球的半径之比为（）

甲乙

A.IB.I向C.|pgljD.|

【答案】B

【分析】根据给定的几何体，利用圆柱和球的表面积公式求出圆柱的高与球的半径关系，即可求解.

【详解】设圆柱的高为［心因为忽略杯壁厚度，所以酒杯内壁表面积为半球的表面积与圆柱的侧面积之和,

即0..........，解得［巨二］,所以圆柱的高和球的半径的比为［可.

故选：B

5.楂长都是1的三棱锥的表面积为（）

A.国B.同C.同D.回

【答案】A

【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果.

【详解】因为四个面是全等的正三角形，

6.已知正四楂锥国二zzi的底面正方形的中心为Q若高叵三］,I网I，则该四棱锥的表面积

是（）

A.I）一MR.|区尸曰C.I冈2冲D.|冈一叫:

【答案】D

【分析】先在正四棱锥中由高|冈I，I冈I，求出底面边长和侧棱的长，然后再求表面积.

【详解】依题意，正四棱锥的前耳族面耳口，且gI，知［痒二|为等腰直角三角形，则侧棱

f1一—。•■»一・•♦•••一・•-•

区，K|3-------］,

则底面正方形1的对角线回------------I，得正方形的边长I百一1,

从而知正四棱锥的脚侧面均是边长为聊正三角形；

所以底面积为：叵;侧面积为：0

,则该圆锥的表面积为（）

A.277rB.回年C|区D.16元

【答案】A

【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.

【详解】设圆锥底面半径为r,母线长为1,则I臼I，所以耳二|，所以圆锥的高为［冈

所以0,解得网一故其表面积।区］-------------|；故选：A.

8.如图是某灯具厂生产的一-批不倒翁型台灯外形，它由一个圆堆和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m,

底面直径和球的直径都是0.6m,现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（）

克（精确到个位数）

A.176B.207C.239D.270

【答案】B

【分析】求出圆锥的母线长，再由台灯是由一个圆锥和一个半球组成可求得台灯表面积后二二I的值，

进而求得涂胶的克数.

【详解】由己知得圆锥的母线长|囚------------|，

所以台灯表面积为I叵］-------------

需要涂胶的重量为I旧I（克），

故选：B.

9.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3,9,侧楂长是6,则它的表面积为（）

A.|冈mdB.向产一|：C,叵——1D.|区产一叶

【答案】A

【分析】利用正棱台的侧面是等腰梯形，根据已知条件计算斜高，然后根据梯形的面积公式计算侧面积,

进而求得表面积.

【详解】由题意可得，上底面的面积为9,下底面的面积为81,

侧面的高为［区二

所以该正四棱台的表面积为s

故选：A

【点睛】本题主要考查了正棱台的表面积，关键在于利用正棱台侧面是等腰梯形，根据已知条件，利用等

腰梯形的性质计算斜高，属于基础题.

10.正四棱台的上、下底面边长分别为国，同，侧棱长为同，则棱台的侧面积为（）

A.|gB.|回庄

C.|国TD.|臼脚冲

【答案】D

【分析】利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可.

【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为向，向侧棱长为同，

'I

I--1————一•—―2

所以棱台的斜高为：凶.

所以棱台的侧面积是：0.

故选：D.

11.已知圆台的上、下底面的半径分别为品口若I冈.I，岛|百哥则该圆台的侧面积为（）

A.B.ImhC.I目D.I高

1^1II:I1I—1

【答案】C

【分析】构造三角形求出母线长，再代入I冈..........可得结果.

【详解】如图所示，过A作AC垂直于同于点C,则不一1,I冈•

故选：C.

12.已知圆台下底面半径是上底面半径的2倍，若从该圆台中挖掉一个圆锥,圆锥的底面是圆台的上底面.

圆锥的顶点是圆台下底面的圆心，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的（）

A-0B.件D.伸

【答案】B

【详解】设圆台上底面半径为r,则圆台下底面半径为2r,圆锥的底面半径为r,

设圆台的高为h,则圆锥的的高为h

则圆台母线长为回,圆锥的母线长为回_二

则圆锥的侧面积为

圆台侧面积为区,则圆锥的侧面积是圆台侧面积的

故选：B

②柱、锥、台的体积

13.《九竞算术・商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖嚅,不易之率也我

们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱杜，称为空堵.再沿堑堵的一顶点与相对的楼剖开，

得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱隹称为整㈱.现已知某个鳖腭的体积是1,则

原长方体的体积是（

【答案】B

【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.

【详解】如图所示，原长方体向"一|，

设矩形［面三］的面积为用|冈T，

鳖咂三3的体积为生

即0

,所以।区I，

即原长方体的体积是地;

故选：B

14.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个

圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中后粉别是上、下底面圆的圆心，且|臼|,底面圆的半

径为2,则该陀螺的体积是（）

A.回B.回C.卬D.回

【答案】D

【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式,可得答案.

【详解】已知底面圆的半径百1由Ig],则回

故该陀螺的体积0

故选：D.

15.已知正三棱柱|冈：—拗底面边长为2,侧棱长为国则三棱锥应三）的体积为（）

A.[JB.回C.1D.国

【答案】C

【分析】根据三棱锥的体积与三棱柱体积的关系求解.

【详解】正三棱柱叵三三恤底面边长为2,侧棱长为国

棱柱的底面面积为：0

棱柱的体积为：I冈'-------二.

由三棱锥的体积的推导过程可知：

三棱锢因吁“I的体积为:s.

故选：c.

16.已知正四棱锥的高为3,底面边长为[向]则该棱锥的体积为（）

A.6B.回C.2D•国

【答案】C

【分析】直接利用棱锥的体积公式计算即可.

【详解】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为0...................

故选：C.

17.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为（）

A.|3|B.|回JC.|回|D..*

【答案】A

【分析】根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图的弧长，求得底面圆半径，根据勾股定理求出圆锥的高，结

合圆锥体积公式计算即可求解.

【详解】母线长为1,设底面圆半径为电

则月.回平

IfI•*■>>•»«■—»«•**•'-••

故圆锥的体积为凶

故选：A.

18.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的日信的正四棱锥，现

将一个校长为［两勺正方体铜块，熔化铸造一些高为［我勺胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（）个该

金字塔模型（不计损耗）？

A.1B.aC.注D.纵

【答案】B

［详解］在正四棱锥If।中,令।国连接［同，则正四棱锢8।的高为冈|

设正四棱锥［属――I的底面边长为a,则|冈L-------二|,即可

・••正四棱锥T后~1的体积为0

0-•।~~I

,则0

该铜块最多能铸造出4个该金字塔模型

故选：B.

19.圆台上、下底面半径分别是国，高为国这个圆台的体积是（）

A.啊JB.瓦，C.瓦|：D.啊；］

【答案】A

【分析】运用圆台体积公式直接计算.

【详解】由圆台体积公式知：凶；

故选：A.

20.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面匕其上、下底面的半径分别为4和5,则该圆台的

体枳为（）

A.|rq|：B.|同&C.|田|D.|同h

IIIII**|I118

【答案】A

【分析】先求得圆台的高，然后根据圆台的体积公式求得正确答案.

【详解】求得直径为口半径为怯

圆台的下底面半径为他所以圆台的高为［百

所以圆台的体积为0………….

故选：A

21.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为后二J,叶二1的

正四棱台，若棱台的高为同，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为()

A.|国冷।

B-Hc.|.@D.耳

【答案】c

【分析】利用台体的体积公式直接计算即可.

【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为向，面，

IIII

故该香料收纳罐的容积H区.....故选：c.

22.如图，是某种型号的家用燃气瓶，其盛气部分近似可以看作由一个半球和一个圆柱体组成，设球的半

径为R，圆柱体的高为伍若要保持圆柱体的容积为定值国二］立方米，则为使制造这种燃气瓶所用材料最

省(温馨提示:即由半球和圆柱体组成的几何体表面积最小)，)

A.0B・Hc-0。・博

【答案】C

【分析】根据题意，先求出表面积的表达式，利用向二|为定值求出醇聊关系，再利用基本不等式求解

即可.

【详解】依题意.

,所以国

区

吧J时取等,所以I:I,故区:

故选：C.

23.圆柱的高等于球的直径，圆柱的侧面积等于球的表面积，设球的体积为匕则I员I柱的体积为（）

【答案】A

【分析】根据题意，结合球与圆柱的体积和表面积公式计算即可求解.

【详解】由题意知，设球的半径为R,圆柱底面圆的半径为r,

对于球，表面积0…........,

对于圆柱，侧面积|区］------------

因为圆柱的侧面积等于球的表面积，所以直三三］,

得［网」，则JxJ

又0,所以B

故选：A.

③球的表面积和体积

24.在正四棱台|冈•一......|中,冈----------，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表

面积为（

A.r^iD.口

【答案】A

【分析】根据题意画出图形，由图构造直角三角形，即可求得回由求得表面积公式求得球体的表面积.

【详解】如图所示的正四棱台叵三三三］,I冈-----------I，取上下两个底面的中心直］,

连接C印，I因I，Ipqh过点回底面的垂线与I臼1相交于点、

因为四棱台|冈——…的正四棱台,所以外接球的球心一定在［用上，在向上取一点学球心，连

接冈，则向三3设।网」

因为回二二,所以I区］

叵一

故选：A.

25.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被

一个棱长为（回］的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的

C.|同D,回

【答案】A

【分析】求出球心到截面圆所在平面的距离以及截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球

的体积公式即可求得结果.

【详解】由题意可得，球心到截面圆所在的平面的距离冈一

设截面圆的半径为/球的半径为他则I冈I,解得寻，

所以I区U—二3

所以该球的体积为0

故选：A

26.用与球心距离为郎平面去载球，截面面积为比则球的体积为（）

A.回B.回C.国D回

【答案】A

【分析】根据截面面积求得截面半径r,进而求得球的半径R,再利用球的体积公式求解即可.

【详解】设截面半径r,球的半径R,截面与球心距离为叵口i

由题意得.截面面积后三三玉解得同，

因为国------------1,所以I臼工

所以球的体积S.故选：A.

27.己知圆锥的底面半径为2,高为向则该圆锥内切球的体积为（）

A.0B.国,C回D.倒

【答案】D

【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.

【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点中为球心，内切球的半径为呆后1为切点，设I冈..

即I臼一.…-J,

由条件可知，s,

在I回的仲,回--------=|,即回，解得：回二端

所以圆锥内切球的体积I区..........

故选：D

④多面体的表面积和体积

28.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2,圆柱的底面半径为1,高

为3,则该几何体的表面积为（）

A.|臼：B.|日|c.।8।D.।同।

【答案】D

【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可.

【详解】解：由题意得，球的半径耳），圆柱的底面半径国，高向二

则该几何体的表面积为T区----------］臼------------L

故选：D.

29.金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的如图

所示的正八面体.若某金刚石的棱长为2,则它的表面积为（）

B.回C.回

A.8D.EaU

【答案】c

【分析】求出一个等边三角形的面积求解即可.

【详解】根据题意，设等边三角形的高珥所以区1

所以每个边长为2等边三角形的面积为：H

所以正八面体的表面积为：面

故答案为；C.

30.如图，在多面体反一~|中.已知瓦二］是边长为I的正方形，且二三三1均为正三角形,

I叵Si•则该多面体的表面积为（）

D.I区4

【答案】A

【分析】先证析旧I,结合梯形面积公式求得正确答案.

［详解］由于I区……一~1，所以IgL

依题意，|国的为正三角形,

所以四边形［百二］和四边形［耳二］是等腰梯形，

两个等腰梯形的高为凶

所以多面体的表面积为：因

故选；A

31.何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词

的最早文字记载.何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm,上口直径约为28cm,

下端圆柱的直径约为18cm.经测量知圆柱的高约为24cm,则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，

B.

C.Lg_D.

【答案】c

【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.

［详解］下端圆柱的体积为：I区---------如心®

as冈.回

所以该何尊的体积估计为I国E--T冈4向,

因为fI最接近向，

所以估计该何尊可以装酒H国］.

故选：C

32.如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若正方体的棱长为1,则该几何体的体枳为

()

AD.伸

-BB•伸c•他

【答案】D

【分析】由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案.

【详解】由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是0

正方体的体积为耳•.

则所求体积是0

故选：r^|

33.西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）.西施壶的壶

身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体.球缺的体积区（R为球缺所在球

的半径，/?为球缺的高）.若一个西施壶的壶身高为8cm,壶口直径为6cm（如图2）,则该壶壶身的容积

约为（不考虑壶壁厚度，兀取3.14）（）

A.494mlB.506mlC.509mlD.516ml

【答案】A

【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据

球的体积公式和球缺的体积求解即可.

【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示，

依题意，Ipg产”-I，"为球心，壶口所在圆的圆心，所以।臼，-------I,

因为।臼I,所为臼i且旧I，|冈----------

所以球的半径后二I，所以球缺的诉I,

0--—■••--••II,■•••・・—-•••

凶，

所以该壶壶身的容积约为：0........

34.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为同的正四面体的魔方放入正方体盲

盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒楂长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（）

B.0C.0D.0

【答案】C

【分析】棱长为8的正四面体放入正方体.使正方体面对角线长等于正四面体棱长.然后求出体积作答.

【详解】依题意，要使梭长为耳］的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小,

则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，

如图，正四面体后二］的棱长为8cm,该正四面体的所有棱均为正方体对应的面对角线，

所以该正方体棱长为函一盲盒内剩余空间的体积为Si

故选：C

⑤多选题和填空题

二、多选题

35.圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）

A.I回“IB.回母

C.D.画

【答案】BD

【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm,高为

2cm的和圆柱的底面周长为2cm,高为4cm,两种情况分别由体积公式即可求解.

【详解】面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，

若圆柱的底面周长为4cm,则底面半径国的北，|叩.「；|,

此时圆柱的体积回"

若圆柱的底面周长为2cm,则底面半径回叼•'，|冈.

0-..*>■•a•>>

故选：BD

36.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径［口相等，下列结论正确的是（）

A.圆柱的侧面积为|回声B.圆锥的侧面积为向竺：

C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小

【答案】ABC

【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；

【详解】解：依题意球的表面积为宜，

圆柱的侧面积为I区-------------1,所以AC选项正确.

圆锥的侧面积为[回…---……，所以B选项正确.

圆锥的表面积为晅一一

圆柱的表面积为|回-----------=],所以D选项不正确.

故选：ABC

37.正三棱锥底面边长为3,侧楂长为向,则下列叙述正确的是（）

A.正三棱锥高为3B.正三棱锥的斜高为

D.正三棱锥的侧面积为叵J

C.正三棱锥的体积为

【答案】ABD

【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD

的正误.

【详解】

设中为等边三角形耳二I的中心，牛］的中点，连接Ix］一

则旧为正三棱锥的高，鼻1为斜高，

又0S,故

故AB正确.

而正三棱锥的体积为0,侧面积为0

故C错误，D正确.

故选：ABD.

38.有一个三棱锥,其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积

可能是（）

A.H■B.S.c.国D,回

【答案】BCD

【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.

【详解】如图所示:

①若与二］平面耳1，耳二］为边长为2的正三角形，耳二］，国二］,耳二］都是等腰直角三角形，满

足题目条件，故其体积区;

②若耳二］平面及1，耳ZI为边长为2的正三角形，|B1＞后二）都是等腰直角三角形，满

③若舁三］为边长为2的正三角形，耳豆，后三）都是等腰直角三角形，gI,

I区满足题目条件，取T同中点硬因为I国"!♦而出I,所以I臼~I,即有I同I

平幅二1,故其体积为凶;

故选：BCD

39.“堑堵"阳马”和“鳖帽是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术•商功》有如下叙述：“斜解立

力，得两堑堵，斜解堑堵.其一为阳马，其一为鳖睛意思是说：将一个长方体沿对角面斜载（图I）,

得到一模一样的两个堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2）,得一个四棱锥称为

阳马（图3）,一个三棱锥称为鳖膈（图4）.

若长方体的体枳为匕由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖嚅的体积分别为|叵］则下列选项不正

碘的是（）

A.|冈皿------fB.|冈百C.|冈汐时D.|回号

【答案】ACD

【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖麝的体积与长方体的体积理）数量关系，即可得答案.

【详解】解：由题意，堑堵的体积H",阳马的体积叵鳖膈的体积叵1.....,

所以I冈E——一二|回7|冈……Y，即I国；I

所以0

所以，ACD选项正确，B选项错误.

故选：ACD

40.已知圆锥的表面积等于回£|,其侧面展开图是一个半圆，则以下结论正确的是（）

A.圆锥底面圆的半径为2cm

B,该圆锥的内接圆柱（圆柱的卜底面在圆锥的底面上，上底面在圆锥的侧面上）的侧面积的最大值为|冈|

c.该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为日

D.该圆锥的内切球的表面积为回

【答案】ABC

【分析】利用圆锥的轴截面结合图形可求解.

【详解】设圆锥底面圆的半径为‘母线长为年

依题意得0，所以I网I，

根据圆锥的表面积解得I臼km.

所以A正确;

如图为圆锥和内接圆柱体的轴截面，由题可知,

rzi-----------------------------------------------------------------

0,即凶，解得I国R—=

则内接圆柱的侧面积等,国

当同时侧面积最大，等于回，所以B正确；

内接圆柱的体积等于|叵］一……“—

叵一

令［因I，解得可，令I因一|，解得回

所以回I在［叼单调递增,因工单调递减，

所以当旧时圆柱体积最大，此时圆柱的高为S"

所以c正确;

设国二1内切圆的圆心为［近半径为他

因为［冈-------------|>

即回...........

I«•»••••••»•••••••・，•…・—rw—e・，・

所以0

因为圆锥的内切球的半径等于也，

所以内切球的体积等于回'，所以D错误.

故选:ABC.

三、填空题

41.已知某一个圆锥的侧面积为耳，底面积为|耳，则这个圆锥的体积为.

【答案】国

【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理

求出圆锥的高，得到圆锥的体积.

【详解】设圆锥的底面半径为Q则旧解得：耳，

则圆锥底面周长为|冈设圆锥的母线长为小

则回“二解得：同，

由勾股定理得：|冈------------

故圆锥的体积为回'……….

故答案为：国.

42.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的倍.

【答案】2

【分析】求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.

【详解】设圆柱的高为小底面半径为Q则体积为函二体积扩大为原来的4倍,则扩大后的体积为回1

因为高不变，故体积|国一|，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为卬，扩大后的圆柱

侧面积为［万~~~~1，故侧面积扩大为原来的2倍.

故答案为：2

43.市面上出现某种如图所示的冰激凌，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该组合

体进行测量，圆台下底面半径为面，上底面半径为向］,高为［五］,上方的圆锥高为面，则此冰激凌

的体积为______后

【答案】0

【分析】先计算圆台的体积，再计算圆锥的体积，二者相加即可.

44.一个正四棱锥的高为7,底面边长为10,若正四棱锥的五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为

【答案】区##0.

【分析】根据正四棱锥的性质，结合球的性质进行求解即可.

【详解】设该正四棱锥为耳

由正四棱锥和球的性质可知球的球心在高上，设球心为耳底面中心为［我

因为底面是正方形，所以s

在直角三角形耳1中，I回………互设球的半径为5

所以有I区........卜

故答案为：叵

45.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2,3,体积分别为口口若它们的侧面积相等，则区k值是.

【答案】〕#曰

【分析】利用圆柱体的侧面积和体积公式求解即可.

【详解】设甲的高为［［乙的高为口

由题意可得Ti#----------I，所以|回.］,

［71-----------

所以U,

故答案为：u

46.如图，一个正六棱柱的茶叶盒,底面边长为再］,高为同,则这个茶叶盒的表面积约为____国，（精

确到0.1,叵三三］）

【答案］、P

【分析】根据所给数据算出答案即可.

［详解］边长为1。的正六边形的面积为区।.....向］

所以表面积为府------------1同

故答案为：1^31

47.如图甲是一水晶饰品，名字叫梅尔卡巴，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复

合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成，巨所有面都是全等的小正三角形，如图乙所

示.若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2,则该星形八面体的体积为

【答案】国I

【分析】由题意可知星形八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之

和，从而可求出体积

【详解】由题知星形八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和，

回—

故体积为

故答案为

48.无穷符号播数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在

一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20

附：一个半径为朝球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线

段长叫做球缺的高（记为他，球缺的体积公式为0

［答案］耳3

【分析】作出大圆截图，利用弦心距、直角三角形得到两个球缺的高，再利用球的体积公式、球缺的体积

公式进行求解.

【详解】记两球面的交线为圆口其大圆截面如图所示，

则I网------------且I区g—弓,

解得I区।；沙旧T且圆学半径为12,

两球体的公共部分可看作两个球缺，

故答案为：।臼

四、高考真题精选

一、单选题

1.（2020.天津.统考高考真题）若棱长为回的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为（）

A.国：B.C.国^D.

【答案】C

【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式,即可得解.

【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，

所以，这个球的表面积为|g

故选：C.

【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求

多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长

方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助

球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何

体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.

2.（2021•全国•统考高考真题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.［冈—•叶B.|区看C.区D.।回叶

【答案】D

【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.

【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

所以该棱台的高0,

下底面面积［面上底面面积I区

所以该棱台的体积0.

故选：D.

3.（2022•全国•统考高考真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为回和回:，其顶点都在同

一球面上，则该球的表面积为（）

A.|日JB.|同百：C.|臼&D.IpgI

【答案】A

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径回，所以s....................,即叵三］,设球心

到上下底面的距离分别为叵］,球的半径胆所以|叵］」|回~|，故I回恸向"T，

即0…-............阈冈----------解得I国.符合题意,所以球的表面积为

4.（2022.全国•统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某

水库.已知该水库水位为海拔［百二|时，相应水面的面积为|冈|；水位为海拔后二|时，相应水面的面

积为I回--I，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔［面二|上升到耳二I

时，增加的水量约为（|冈产3”|）（）

A|国—|-B.|回u—TC.|回一］・D.|回

【答案】C

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为I习l（m）,所以增加的水量即为棱台的体积咕

棱台上底面积|回-------------下底面积后---------|,

・・・回

叵.・WM•

故选：C.

5.（2021・天津•统考高考真题）两个圆锥的底面是•个球的同•截面，顶点均在球面上，若球的体积为色

两个圆锥的高之比为可，则这两个圆锥的体积之和为（）

A.0B.耳C.口D.目।

【答案】B

【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径,

再利用锥体体积公式可求得结果.

【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点口

设圆锥口和圆锥旧的高之比为[百，即旧Mil：：%EG

..-\'

“0，可得耳I，所以，|臼

所以，I曰=I,I网

|叵CR-1,则|回-----------所以，|冈5

又因为।旧I，所以，।[^]'•1'"

，冈I，

因此，这两个圆锥的体积之和为3

故选：B.

6.（2022•全国•统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为旧侧面积分

别为国口回体积分别沈丽反目回]，则回（）

A.同B.C.面

【答案】C

【分析】设母线长神甲圆锥底面半径为拉乙圆锥底面圆半径町根据圆锥的侧面积公式可得由口,

再结合圆心角之和可将回分别用蒋示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即

可得解.

【详解】解：设母线长为味甲圆锥底面半径为他乙圆锥底面圆半径为艮

所以甲圆锥的高

乙圆锥的高s

a

所以

故选：C.

7.（2022・天津•统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三楂柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形,

直三棱柱的底面是顶角为同，腰为3的等腰三角形，则该儿何体的体积为（）

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.

【详解】该几何体由直三棱柱［旧I及直三棱柱后与组成,作I旧I于M,如图,

因为冈------------所以因，

因为重叠后的底面为正方形.所以|匠］|；

在直棱杜I臼|中,I同用面BHC