新高考数学二轮复习对点题型第28讲高考中的应用题解法（学生版）

第28讲高考中的应用题解法数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现，数学应用问题的是新高考的重点与热点，在近几年的高考题中，常见的有与经济有关即利润最大化和成本最小化为背景的应用题，也有以三角函数，平面几何图形、空间几何体为背景的图形应用题．本文集中介绍以三角，函数，不等式，几何图形为载体的应用问题.涉及平面图形的数学应用问题，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，结合所给平面图形的结构特征以及相关性质，适当选取参数(如角、线段的长度等)，建立数学模型，运用所学的数学知识予以解决，其中，运用基本不等式、三角函数的最值以及利用函数的性质求最值是常见数学知识和方法．三角函数例1：1．如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中SKIPIF1<0．(1)将十字形的面积表示为SKIPIF1<0的函数；(2)SKIPIF1<0为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？2.某隧道横断面由半圆及矩形的三边组成，尺寸如图，一平板车车身高1米，车上装载截面为长方形的货物，为了保证行车安全，要求货物距隧道顶部距离不得少于0.5米．（1）如果车上装载货物截面长方形的宽为3米，货物的最大高度是多少？（2）适当调整货物的宽与高（不受车宽影响），可以使货物截面的面积最大，从而使运载的货物最多，试问应如何调整，才能使装载的货物最多？分段函数例2：某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地时间的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)＝(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；试讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．许多实际应用问题在转化为函数问题去解决时，无法用一个等量关系去表达，需要列出若干个关系式，这些关系式构成了一个整体，即为分段函数，在建构分段函数模型时，要根据实际问题的条件，将自变量的取值范围划分为若干个区间，分别考察在每个区间上的最优解，并加以比较以确定问题的解答，涉及分段变换的数学应用问题，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，结合条件，分段解决，这类问题常常会转化为二次函数、三次函数、分式函数等函数问题，求最值的方法不限定仅用函数方法，有时也会用到基本不等式等其他求最值的方法．不等式例3：（1）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某SKIPIF1<0企业春节期间加班追产提供SKIPIF1<0（万元）的专项补贴.SKIPIF1<0企业在收到政府SKIPIF1<0（万元）补贴后，产量将增加到SKIPIF1<0（万件）.同时SKIPIF1<0企业生产SKIPIF1<0（万件）产品需要投入成本为SKIPIF1<0（万元），并以每件SKIPIF1<0元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益SKIPIF1<0销售金额SKIPIF1<0政府专项补贴SKIPIF1<0成本.(1)求SKIPIF1<0企业春节期间加班追产所获收益SKIPIF1<0（万元）关于政府补贴SKIPIF1<0（万元）的函数关系式；(2)当政府的专项补贴为多少万元时，SKIPIF1<0企业春节期间加班追产所获收益最大？（2）.某城市受雾霾影响严重，现欲在该城市中心P的两侧建造A，B两个空气净化站（A，P，B三点共线），A，B两站对该城市的净化度分别为a，1a，其中a(0，1)．已知对该城市总净化效果为A，B两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，与中心P到净化站距离成反比．若AB=1，且当AP=时，A站对该城市的净化效果为，B站对该城市的净化效果为1a．（1）设AP=x，x(0，1)，求A，B两站对该城市的总净化效果f(x)；（2）无论A，B两站建在何处，若要求A，B两站对该城市的总净化效果至少达到，求a的取值集合．几何图形例4：如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB和曲线DE分别是顶点在路面A，E的抛物线的一部分，曲线BCD是圆弧，已知它们在接点B，D处的切线相同，若桥的最高点C到水平面的距离H＝6米，圆弧的弓高h＝1米，圆弧所对的弦长BD＝10米．(1)求弧所在圆的半径；(2)求桥底AE的长．选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。切记不要“小题大做”。注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。多写不会扣分，写了就可能得分。一、单选题1．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．随着工业自动化和计算机技术的发展，中国机器人进入大量生产和实际应用阶段，下图为2022年中国服务机器人各行业渗透率调查情况.根据该图，下列结论错误的是（

）A．物流仓储业是目前服务行业中服务机器人已应用占比最高的行业B．教育业目前在大力筹备应用服务机器人C．未计划使用服务机器人占比最高的是政务服务业D．图中八大服务业中服务机器人已应用占比的中位数是33.3%3．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为SKIPIF1<0，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值SKIPIF1<0称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角SKIPIF1<0满足，SKIPIF1<0，则其焦径比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距SKIPIF1<0的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距SKIPIF1<0正切值的乘积，即SKIPIF1<0．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍5．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列SKIPIF1<0，那么此数列的项数为（

）A．17 B．18 C．19 D．20二、填空题6．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．根据权方和不等式，函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为______．三、解答题7．均值不等式SKIPIF1<0可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：SKIPIF1<0.(1)证明不等式SKIPIF1<0.(2)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中SKIPIF1<0指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想.（SKIPIF1<0个数的平方平均数为SKIPIF1<0）8．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则曼哈顿距离为：SKIPIF1<0，余弦相似度为：SKIPIF1<0，余弦距离为SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求A，B之间的曼哈顿距离SKIPIF1<0和余弦距离；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值1．记SKIPIF1<0是内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.2．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边长分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积；（2）是否存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为钝角三角形?若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．3．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，SKIPIF1<0．（1）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：SKIPIF1<0的一个最小正实根，求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．4．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，样本方差分别记为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果SKIPIF1<0，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．5．如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的正弦值．6．如图，直三棱柱SKIPIF1<0的体积为4，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)求A到平面SKIPIF1<0的距离；(2)设D为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．7．设抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，点SKIPIF1<0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)设直线SKIPIF1<0与C的另一个交点分别为A，B，记直线SKIPIF1<0的倾斜角分别为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0取得最大值时，求直线AB的方程．8．抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：SKIPIF1<0交C于P，Q两点，且SKIPIF1<0．已知点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与l相切．（1）求C，SKIPIF1<0的方程；（2）设SKIPIF1<0是C上的三个点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均与SKIPIF1<0相切．判断直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系，并说明理由．9．已知函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线SKIPIF1<0，其与两条曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．10．已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求a的取值范围；(3)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．11．如图，SKIPIF