新高考数学二轮复习对点题型第30讲高考题中的解答题一（三角函数）（学生版）

高考题中的解答题一（三角函数）一、解三角形综合问题(一)利用正弦、余弦定理解三角形(1)解三角形在高考中的考查主要是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形．(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．[典例]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sinA＋sinB＋sinC)＝6S.(1)求角B的大小；(2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cosA，cosC的值．方法技巧(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理．(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形．(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝eq\f(1,2)absinC形式的面积公式．针对训练1．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)若A＝2B，求C；(2)证明：2a2＝b2＋c2.2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知锐角△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A＝eq\f(π,4)；②sinC＝eq\f(\r(3),3)；③a＝eq\r(10)；④c＝4.(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求△ABC的面积．(二)与多边形有关的解三角形问题[典例]如图，四边形ABCD的内角B＋D＝π，AB＝6，DA＝2，BC＝CD，且AC＝2eq\r(7).(1)求B；(2)若点P是线段AB上的一点，PC＝2eq\r(3)，求PA的值．[关键点拨]切入点(1)设BC＝CD＝x>0，在△ABC，△ACD中分别利用余弦定理可得出关于x，cosB的方程组，解出cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；(2)利用正弦定理可求得∠BPC的正弦值，再利用勾股定理求出PB，即可求得PA的长隐藏点B＋D＝π⇒cosD＝cos(π－B)＝－cosB在余弦定理中的应用方法技巧平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．针对训练(2022·济宁二模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD·sinD＝2CD·sinB．(1)求证：BC＝2CD；(2)若AD＝BC＝2，∠ADC＝120°，求梯形ABCD的面积．命题点(三)解三角形中的最值与范围问题(1)解三角形中的最值与范围问题主要是求平面图形(一般为三角形或四边形)的面积、周长、边长等的最值或范围．(2)解题的关键在于根据题目条件恰当的表示目标函数，并选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式、二次函数等．[典例](2022·枣庄一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsineq\f(B＋C,2)＝asinB．求：(1)A；(2)eq\f(a－c,b)的取值范围．切入点正确分析已知三角等式中的边角关系，合理选择边化角或角化边隐藏点由(1)中得到的角A的值及A＋B＋C＝π求出角B的范围，从而求出eq\f(B,2)的范围障碍点不能利用三角恒等变换把eq\f(a－c,b)表示成某个角的三角函数值方法技巧三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法(1)利用基本不等式求得最大值或最小值；(2)将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．针对训练1．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当eq\f(AC,AB)取得最小值时，BD＝________.2．(2022·济宁一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，eq\r(3)asinB－bcosA＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．命题点(四)正、余弦定理的实际应用[典例]如图，某景区有景点A，B，C，D，经测量得，BC＝6km，∠ABC＝120°，sin∠BAC＝eq\f(\r(21),14)，∠ACD＝60°，CD＝AC，则AD＝________km.现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台．为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A，D的视角∠AMD＝120°.为了节约修建成本，栈道BM长度的最小值为__________km.切入点把所求边放入三角形中求解迁移点求解第二空时设△AMD的外心为O，连接OC交AD于点O1，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆外一点到圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径求解方法技巧解三角形实际应用问题的步骤针对训练1．已知平面四边形SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求四边形SKIPIF1<0的面积；(2)求SKIPIF1<0的值（用SKIPIF1<0表示）；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的函数表达式，并求出SKIPIF1<0的最小值.2．如图，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0运动(不含端点，且SKIPIF1<0)，点SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0长；（2）当SKIPIF1<0､SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0运动时，设SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的解析式，并求出SKIPIF1<0的最小值.3．已知函数SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的最小正周期及SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值（2）在锐角SKIPIF1<0中，f（SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0，且a=SKIPIF1<0，求b+c取值范围.4．在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足SKIPIF1<0.(1)求B；(2)若SKIPIF1<0的周长为6，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.5．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是坐标原点，锐角SKIPIF1<0的终边SKIPIF1<0与单位圆的交点坐标为SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0按逆时针方向旋转SKIPIF1<0弧度后交单位圆于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的纵坐标SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的函数为SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的解析式，并求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．.6．在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求其面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在SKIPIF1<0，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，_________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．已知SKIPIF1<0的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0．(1)求角A的大小；(2)若SKIPIF1<0，D为BC的中点，求线段AD长度的最大值．8．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的最小正周期；(2)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间；(3)求函数f(x)在区间SKIPIF1<0上的最大值和最小值.9．已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间；(2)将SKIPIF1<